最优模糊控制在悬臂梁振动控制系统中的研究

缑新科 杨宏斌

（1.兰州理工大学 电气工程与信息工程学院，甘肃 兰州 730050;2.甘肃省工业过程先进控制重点实验室，甘肃 兰州 730050）

0 引言

振动的控制在大范围运动或转动的航空、航天精密设备中的应用越来越广泛，针对这类设备系统所具有的固有特性，如模态频率低且密集、阻尼小的特点［1］。在太空运行中，由于太空环境空气稀薄，没有空气阻尼，一旦受到某种激励或干扰的作用就会使这些挠性结构激烈且长时间持续的振动，并且容易引起共振。长时间的结构振动将会影响系统的准确性，不仅会影响内部仪器的正常工作，产生的噪声还将造成工作环境污染，甚至导致整个系统无法正常工作。针对这类系统中存在的这种不能忽视的问题，近年来引起了广泛的重视［2］。因此必须对这类系统所产生的振动进行控制。

1 模糊控制的基本原理

1.1 模糊控制的基本思想

模糊控制的基本思想就是把人类专家对特定的被控对象的控制策略归纳、总结成一系列以“IF….THEN”形式表示的模糊控制规则，通过模糊逻辑推理得到控制作用集，作用于被控对象。控制作用集为一组条件语句，状态语句和控制作用均为一组被量化了的模糊语言集。通过搜索量化了的模糊语言集得到响应的输出。而由工业过程的要求和定性认识出发，模糊控制比较容易建立其语言控制规则，因此对那些数学模型难以获取、动态特性不易掌握或变化非常显著的控制对象非常适用。

1.2 传统模糊控制的基本步骤

模糊控制算法的控制简图如图1所示。

图1 模糊控制简图

模糊控制系统的核心部分为模糊控制器，模糊控制器的控制律由计算机的程序实现。实现模糊控制的过程基本描述如下:微机经中断从被控对象上采样获取控制量的精确值，然后将此量与设定好的给定值进行比较得到误差信号E，一般选误差信号E作为模糊控制器的一个输入量。然后把误差信号E的精确量进行模糊化处理使其变成模糊量。误差信号E的模糊量可以用相应的模糊语言表示，得到由误差E的模糊语言集合的一个子集e，再由e和模糊关系R根据推理的合成规则进行模糊决策和判断，得到该被控对象模糊控制量U，即:

这时控制器的输出仍为一个模糊矢量，为了对被控对象施加精确的控制，还需要将得到的模糊量U转化为精确量。这一步骤在图3称非模糊化处理。得到精确的数字量之后，经数模转换为精确的模拟量送给执行机构。对被控对象进行下一步控制。中断等待第二次采样进行第二步控制。这样依次循环下去，就实现了模糊控制对被控对象的模糊控制。

2 最优控制的基本原理

最优控制是现代控制理论的核心，在研究和工程领域有这十分重要的意义。它研究的主要问题是:在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。也可以表述为:在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数求取其极值。

最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。它可概括为:对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制范围或控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态或位置的同时，其性能指标值为最优。

线性二次型最优控制问题简称为LQ问题，在LQ问题中，受控系统为:

其中，x为状态向量，u为系统输入，A和B为系统矩阵和输入矩阵，性能指标为关于状态和输入的一个二次型性能函数:

Q为半正定对称阵，R为正定对称阵，加权阵S为半正定对称阵。控制函数和运动状态的性能指标J（u）是以函数u为变量的一个函数，J（u）是函数u的泛函。

所谓的LQ最优控制问题，其本质就是寻找一个控制输入u*，使得系统性能指标满足关系式

控制函数u*为LQ问题的最优控制，x*为相应的最优轨线，J（u*）为最优性能值。从数学上看，LQ最优控制就归结为，对J（u）在系统状态方程的约束下，相对于u求条件极值的问题。

3 最优模糊控制

3.1 最优模糊控制的基本原理

为了取得较合适的工程控制方法，提高系统的品质。离线测量系统系统的振动情况，并将采集到的信号通过处理进行LQ最优化计算，得到系统控制的最优解，通过利用离线计算出来的最优解建立所对应的模糊控制表，得到IF（条件）THEN（作用）的模糊控制规则，进行在线控制，采集系统状态量，通过模糊控制规则表，得到与之对应一个系统所应有的最优控制量。这样将大大提高系统的响应速度，并能输出系统所对应的最优控制解。为工程实践提供了较好的控制方法。

图2 最优模糊控制的基本框图

3.2 最优模糊控制振动控制控制的步骤

（1）最优控制模块离线计算

压电柔性悬臂梁的状态空间表达式为:

系统状态空间的原理框图，如图3所示:

为了能够得到柔性梁末端位移状况，这里增加一个柔性梁自由端位移:

以末端位移为输出的压电柔性梁状态空间表达式可表示为:

为了研究反馈控制增益以及输入对柔性梁振动主动控制的影响，这里引入系统状态向量和控制向量的二次型性能指标，因为系统平衡状态是稳定的，所以该式中不考虑系统最终状态的二次项，这样，LQ问题的优化目标函数简化为:

式中Q和R为状态变量x和输入变量的加权矩阵，且Q为半正定对称矩阵，R为正定对称矩阵。

二次型最优控制问题就是对于压电柔性梁系统状态空间表达式，确定最优控制的输入规律:

对关于u的J（u）求极小值问题，则建立如下汉密尔顿（Hamilton）函数进行求解:

要使的二次型性能指标达到最小值，则最优控制信号u可以由求解汉密尔顿方程H对u的导数所构成的方程求出，即满足:

可以得出最优控制信号，并记之为u*，这里得到:

整理得出

由（8）、（11）得出:

反馈增益矩阵G为:

（2）模糊在线控制

得到最优控制量，并建立响应的控制规则表:

采集系统状态量，通过这个模糊控制规则表，得到与之对应一个系统所应有的最优控制量。并输出到执行器，作用到被控对象上。

4 控制系统设计及仿真分析

系统闭环控制器设计如图4所示。

表1 控制规则表

图4 闭环控制系统原理图

当挠性构建悬臂梁受到扰动时，控制系统的工作过程如下:压电片作为传感器，电桥电路输出与振动速度成比例的感应电压Us，经过最优模糊控制器处理后，输出控制电压Uja反馈到压电片的电极上;作为执行器，当受到反馈电压Uja的控制，压电片会产生相应的执行力来抑制梁的扰动变形，从而达到振动控制的目的。

这里不计压电片对悬臂梁的影响，基 梁的几何尺寸和材料属性:长度L=800mm、宽度bb=10mm、厚度tb=3mm、密度 ρ=2.7×103Kg/m3。驱动器和传感器采用压电陶瓷长度lp=30mm、宽度bp=10mm、厚度tp=1mm。根据驱动器位置优化理论［5］，将驱动器布置于梁的根部。对不施加控制电压的振动曲线、施加控制电压时的振动曲线和施加控制电压曲线进行观测，从直观的角度去具体分析控制量对振动拟制的作用。从而得到对振动进行控制的目的。

使用MATLAB进行仿真，结果如图5、图6和图 7所示。

从图5、图6和图7中的振幅曲线可以看出，采用本文设计的控制器对悬臂梁进行控制之后，由于控制器输出控制电压使压电片产生抑制力，悬臂梁的振动衰减明显加快，经过几次震荡后很快就到达了稳态。

图7 施加控制电压曲线

5 结束语

本文选取挠性构建的悬臂梁作为研究对象，并采用智能结构为材料作为自感知执行器，设计了挠性悬臂梁振动主动控制系统。系统中采用了电桥电路法分离出感知信号。利用智能材料作为致动器对悬臂梁振动进行主动控制。通过理论分析、数值仿真，仿真结果表明，所设计的控制系统能够很好的抑制了柔性悬臂梁振动。

［1］顾仲权，马扣根，陈卫东.振动主动控制［M］.北京:国防工业出版社，1998.

［2］蒋丽忠，钟伟芳，李美之，等.大运动柔性梁非线性动力响应分析［J］.振动与冲击，2005，24（1）:1 －4.

［3］董维杰，孙宝元，崔玉国，等.基于压电自感知执行器悬臂梁振动控制［J］.大连理工大学学报，2001，41（1）:77 －80.

［4］ Zadeh L A.Fuzzy sets［J］.Information and Control，1965，8（2）:338－353.