改进的CORDIC限幅器

李雪萍，刘昌银，蔡超时，杨刚

(中国传媒大学信息工程学院，北京100024)

1 引言

自 1959 年 Volder J［1］提出坐标旋转数(Coordinate Rotation Digital Computer，简称 CORDIC)以来，CORDIC算法得到了广泛的应用［2］。CORDIC的优越性表现在它通过简单的移位加减操作就能完成三角函数，指数，对数，乘法和除法，开方等运算。并且CORDIC是一种规则化算法，结构简单，便于硬件实现。因此，它普遍应用于信号处理，通信系统等领域。

限幅运算是畸变类峰均比抑制算法极其重要的组成模块之一［3-4］。限幅是将高峰值的信号截断，而其后的滤波引起一定程度的峰值再生，为获得良好的抑制效果，需要多次迭代。因此，每次迭代每个模块需合理的支配硬件资源，尤其是DSP资源。传统限幅操作通过乘除运算实现。FPGA虽内嵌了专用的DSP模块，但峰均比抑制算法中FFT和FIR模块包含了大量的乘法运算，其他模块可支配的DSP较少。同时传统限幅器的除法模块由较大的组合时序逻辑实现，限制了设计的时钟速率。因此，提出新的限幅算法，减小硬件开销，提高设计速率有着重要意义。

Altera公司早在2007年提出了一种极坐标限幅(Polar Clipping，PC)(以下简称 PC 限幅器)［5-7］，PC限幅器是一种基于CORDIC旋转的限幅器。它将传统限幅器的乘除运算转化为寄存器移位加减运算，极大地减少了硬件资源的使用，同时避免使用除法极大地提高了时钟速度。PC限幅器采用了两个独立的CORDIC模块分别完成幅值计算和限幅向量的旋转，模块间通过存储的相位旋转变量通信。PC限幅器需额外存储旋转相位信息，增加了设计的复杂度。

文章提出了一种改进的CORDIC限幅器(Improved CORDIC Clipper)(以下简称IC限幅器)。IC限幅器将幅值计算和限幅向量的旋转合并到同一个CORDIC模块中，将模块间的通信转化为模块内的通信，从而避免存储额外的相位旋转变量，简化了设计。仿真表明，相比于传统限幅器，IC限幅器使用的资源减少了近一半，最大时钟速率提高了约2.4倍。

文章第二部分介绍了CORDIC算法的原理，第三部分阐述了传统限幅器的设计，第四部分是关于PC限幅器原理，第五部分讨论了IC限幅器的设计原理及考虑，最后两部分分别分析了仿真结果以及给出了设计的结论。

2 CORDIC算法

CORDIC有旋转法和矢量法两种，本文只讨论旋转法。

假设点A沿逆时针方向旋转θ角度至点B，点A 坐标为(xi，yi)，点 B 为(xi+1，yi+1)，见图 1。经推导有如下关系:

同样旋转θ角，当点A沿顺时针方向转至点B＇时，有

设每次旋转的角度为α=arctan2-(i-2)，

其中

zi是当前坐标点与目标点相差的角度，决定了当前旋转方向。则总的旋转度数为

旋转次数n决定了算法精度，经过n次旋转，向量的幅度因子

当n足够大时，K≈0.607253。

图1 坐标旋转示意图

3 传统限幅器

3.1 CORDIC求幅值

由(3)，设原始向量(x0，y0)，其向量角 θ，使用CORDIC旋转模式，经过n次旋转，旋转角度为-θ，则

变量xn与该向量幅值息息相关。

CORDIC算法的关键之一是旋转方向的确定。(3)中zi决定了旋转方向，由于每次旋转的角度已知，可以将各次旋转角度事先存储在ROM表中。求幅值的CORDIC算法特殊性在于它是将向量旋转到x轴上，因此，旋转的方向可由y向量确定。

CORDIC旋转角θ的大小和迭代次数n相关，其取值范围为［-99.88o，99.88o］，而不是整个象限［-180o，180o］，因此，第二、三象限不在旋转范围内。迭代前应将初始向量变换到一、四象限［8］。

CORDIC算法引入了幅度增益因子K，初始向量(x0，y0)经CORDIC旋转的输出并不是其幅度，而是幅度的1/K。

3.2 传统限幅器设计

限幅器是畸变类峰均比抑制算法中的重要模块之一。通过限幅器，大功率的信号被抑制，降低了OFDM峰值功率，从而降低了OFDM的峰均比。

限幅是将超过设定门限的信号截断，是一种非线性操作。输入复信号c(n)，设定限幅门限为A，限幅原理如下:

其中|c(n)|表示复信号c(n)的模。当c(n)幅值小于等于门限值A时，限幅器没有非线性操作，当c(n)幅值大于A时，限幅器将c(n)的幅值限定在A。

传统限幅器由乘除运算实现，见图2。MAG模块计算复信号幅值，MULT模块实现如下功能:若幅值大于门限值，输出 VCLIP与向量的乘积，否则MAG与向量乘积。DIV模块完成除法运算。其中乘法用FPGA自带的专用乘法器实现，以提高乘法运算速度。除法可直接调用Altera的IP核，速度较慢。

如上所述，MAG模块输出幅值MAG并不是输入的幅度，而是幅度的1/K。

4 PC限幅器

Altera公司的PC限幅器是一种完全基于CORDIC算法的限幅器。CORDIC首先变换笛卡尔坐标为极坐标，选择器选择输出幅值R或门限值Amax，第二个CORDIC模块与第一个相反，它将极坐标重新转化为笛卡尔坐标。

图2 传统限幅器

PC限幅器用CORDIC算法的移位加减运算替代了乘除运算。不仅减少了资源消耗，也提高了运算速度。它采用了两个CORDIC模块分别完成幅值计算和限幅向量的旋转，模块间通过存储的相位旋转变量通信。

图3 PC限幅器

5 改进的CORDIC限幅器

PC限幅器CORDIC模块2将极坐标沿着CORDIC1的旋转路径旋转回笛卡尔坐标。这意味着需要存储CORDIC1旋转方向，增加了设计的复杂度。在设计CORDIC算法的限幅器时，可充分考虑逻辑和资源复用以简化程序设计和减少资源消耗。IC限幅器在PC限幅器的基础上做了改进。

传统限幅器使用了CORDIC算法计算信号幅值。它通过将向量旋转到x轴，以此计算复信号幅值，向量的分量决定了旋转方向。IC限幅器在同一CORDIC模块中经过相反的旋转，将限幅向量由x轴旋转到与信号重合位置，以实现限幅操作，算法流程如图4。

输入 vinit是预设的限幅门限。c1x0，c1y0是CORDIC1的初始寄存器值，c2x0，c2y0是 CORDIC2的初始寄存器值，c1yi是CORDIC1每次迭代的y向量。

输入信号有效时，首先判断其是否在一、四象限，若在，CORDIC1初始值即为输入向量值，CORDIC2为(vinit，0)，否则 CORDIC1 为其原点对称值，CORDIC2为(-vinit，0)。迭代中，若当前 CORDIC1的 y值 大 于 0，则 CORDIC1，CORDIC2分别顺时针、逆时针旋转，否则相反。迭代结束后，若幅值MAG大于门限Vclip，选择器选择输出CORDIC2旋转输出值，否则输出原输入向量。

图4 改进的CORDIC限幅器

由第2部分得知，CORDIC输出与输入幅值存在比例关系K，在设定初始值时考虑到这点，可避免在输出端作乘法以补偿K因子。设仿真得到限幅门限值为，则vinit应设为max*K，由此旋转后的I分量和Q分量与原信号的I、Q分量具有可比较性，而不用额外作比例转换。Vclip应设为max/K，如此这样，CORDIC1输出幅值与限幅门限可直接比较，进一步简化了设计复杂度。

6 仿真结果

6.1 仿真系统搭建

仿真系统如图5所示。仿真激励是一个时隙的CMMB信号［9］，每个时隙由53个 OFDM 帧组成，每个OFDM帧有3076个有效子载波和1020个零载波。有效子载波采用QPSK映射方式。

激励信号首先经过4倍升采样滤波。用数字信号表示模拟信号波形时，升采样可以更真实地反映模拟信号的峰均比分布情况。研究表明，4倍升采样已足够表示真实信号的时域分布［10］。

升采样后的CMMB信号进入限幅器，高电平信号被截断。限幅引入了非线性误差，带内表现为星座图弥散和旋转，带外表现为噪声迭起。其后的滤波模块可有效地降低带外噪声。

图5 仿真系统框图

6.2 仿真效果

激励信号经过4倍上采样和限幅滤波后，原始信号幅值分布更加平滑，原来出现概率较低的大信号消失，峰均比有效降低，如图6。

图6限幅前后时域分布

6.3 精度

CORDIC算法的迭代次数决定了运算复杂度和精度，有限的迭代次数导致了有限的精度。Matlab浮点运算可以得到精度很高的结果，以此为基础，可以分析理想限幅器和传统限幅器间的误差大小。

输入4096*53个随机数据，经图5所示数据处理，定义变量SNR来衡量IC限幅器的精度，信噪比

其中，Pclip是理想限幅器输出总功率，Perr是总误差功率。SNR(dB)随迭代次数N变化如表1:

表1

由表可以看出，随着迭代次数的增加，SNR越来越高，IC限幅器的精度越来越高。迭代8次SNR为53.52dB，满足一般应用。

6.4 资源使用和时钟速率

基于Altera的EP3C25F256C8平台，输入输出16比特。传统限幅器模块乘法输出结果截取19比特，CORDIC算法迭代8次，IC限幅器，PC限幅器及传统限幅器资源使用情况如表2:

表2

可以看出，IC限幅器相比于传统限幅器和PC限幅器，减少了资源消耗。传统限幅器设计组合逻辑和时序逻辑比例约为2.8，其中的除法模块达到了460∶82≈5.6，庞大的组合逻辑，对时序提出了挑战。当除法器的分子输入为19比特时，仿真结果表明，IC限幅器fmax可达220.4Mhz，而传统限幅器只有92.58Mhz。随着除法输入比特数的增加，组合逻辑的比例随之增加，时钟速率不断下降。

使用了大量组合逻辑的除法模块，不适合应用于高速设计。基于IC算法的限幅器，采用了简单的移位运算替代传统的乘除运算，同时将PC限幅器模块间通信转化为模块内通信，不仅减少了资源的使用，也极大地提高了时钟速率。

7 结论

IC限幅器采用简单的移位加减运算替代传统限幅器的乘除运算，它抑制了OFDM大信号出现的概率，有效地降低了其峰均比。当除法模块分子输入19比特，CORDIC迭代8次时，相比于传统限幅器，IC限幅器逻辑资源使用减少了近一半，DSP使用0个，并且最大时钟速率提高了约2.4倍。

CORDIC迭代次数限制了其精度。迭代8次时，SNR为55.52dB，满足一般用途。

［1］JACK E VOLDER.The cordic trigonometric computing technique［J］.Electronic Computers，IRE Transaction on，1959.9，EC-8(3):330-334.

［2］Meher P K，Valls J，Tso-Bing Juang，Sridharan K Maharatna K.50 Years of CORDIC:Algorithms，Architectures and Applications［J］.IEEE Transactions on，2009，56(9):1893-1907.

［3］Xueping Li，Peng Zhang，Lanxiang Jiang.HPA linearization technique of cascading PAPR reduction and predistortion［J］.Image and Signal Processing，2011，(10):2818-2821.

［4］吴炳洋，程时昕.多载波通信中峰均比问题研究［D］.南京:东南大学，2004.

［5］Altera Corporation.Crest Factor Reduction for OFDMA Systems［EB/OL］.Altera官方网站http://www.altera.com.cn/literature/an/an396.pdf.2007.

［6］Altera Corporation.Crest Factor Reduction［EB/OL］.Altera官方网站:http://www.altera.com.cn/literature/an/an396.pdf.2007.

［7］Altera Corporation.Altera wireless solution［EB/OL］.Altera官方网站 http://www.altera.com.cn/literature/an/an396.pdf.2008.

［8］Xiao Hu，R G Harber，Steven C Bass.Expanding the Range of Convergence of the CORDIC Algorithm［J］.Ieee transacation on computers，1991，40(1):13-21.

［9］GY/T 220.1-2006.移动多媒体广播 第1部分:广播信道帧结构、信道编码和调制［S］.北京:国家广播电影电视总局，2006.

［10］江涛，朱光喜.OFDM无限通信系统中峰均功率比的研究［D］.武汉:华中科技大学，2004.