冲击荷载下一端简支一端固支高桥墩的动力屈曲

周 慧，李 礼，罗松南

(湖南大学 机械与运载工程学院工程力学系，长沙 410082)

桥墩是桥梁的重要支撑构件，由于主要承受轴向压力作用，稳定性问题是该类构件要考虑的首要问题。由于运行中的车辆作用是动荷载，因此，对在动荷载作用下的高桥墩的动力屈曲分析的研究非常重要。目前的设计大多为参数共振问题，对冲击荷载作用下的动力稳定问题也有一定的研究。对于动力屈曲问题，有不少学者进行了初步研究，严东晋等［1]对结构冲击屈曲准则提出了讨论;王安稳［2]研究了轴向冲击荷载下圆柱壳的塑性动力屈曲的问题;张家忠等［3]基于时滞惯性流形对浅动力屈曲问题进行了研究;Razdolsky［4]计算了带花纹圆柱的欧拉临界力;文献［5] 研究了直杆中冲击载荷产生的前期效应以及后期效应，这些研究为研究冲击荷载的临界力奠定了基础;魏勇等［6]研究了轴向冲击载荷作用下直杆弹性动态屈曲;孙强等［7－10]对直杆的动力稳定性及参数共振问题做了一些探讨;钱宁等［11]对压弯杆件的动荷性能进行了分析;罗松南等［12]近期对两端简支高桥墩在冲击荷载作用下的动力屈曲问题进行了研究。

本文研究桥墩在三角形冲击荷载及矩形冲击荷载作用下的动力屈曲问题，考虑剪切变形和大位移的影响建立了动力学基本方程式。通过数值算例比较了三角形冲击荷载和矩形冲击荷载作用下的荷载－位移响应曲线;给出了矩形冲击荷载作用下，各种几何参数和荷载参数对临界荷载的影响。分析了B-R准则的局限性，给出了高桥墩动力屈曲的全过程。可为工程设计提供依据。

1 基本方程式

将高桥墩简化为如图1所示一端简支另一端固支的等截面受压圆柱，根据桥墩承受恒载和活载的承载特点，将轴力假设为N0+N1(t)，其中N0为静荷载部分，N1(t)为冲击荷载部分。设柱长为l，截面直径为d。在临界荷载作用下，柱产生弯曲，设中面位移为u0(x，t)，w0(x，t)，横截面转角为φ(x，t)。则柱内任意一点的位移可表示为［13－14]:

应变分量可表示为:

应用本构方程以及应力与内力之间的关系可得内力与位移的关系为:

图1 一端固支一端简支高桥墩简化模型图Fig.1 Simplified model of high pier with one end simply supported and other end fixed

其中，N，Q和M分别为柱内的轴力(以压为正)、剪力和弯矩;E为材料的弹性模量;Q为材料的剪切弹性模量;A为柱的横截面面积;I为横截面对y轴的惯性矩。

考虑微段的内力平衡，忽略轴向和转动惯性力的影响，可得到平衡微分方程为:

其中ρ为材料的质量密度。

该问题的边界条件为:

x=0时，

设该问题的初始条件为:

将式(3)至式(5)代入式(6)至式(8)，得到用w，φ和N表示的基本方程式:

由式(14)可以得到:

2 求解方法

设基本方程式具有如下形函数解:

上述形函数满足边界条件式(9)和式(10)。

将式(16)至式(18)代入基本方程式(12)至式(15)，并应用伽辽金积分可得:

其中a1至a10为伽辽金积分后有关的常数。

由式(21)可得:

将式(22)代入式(19)式可得:

将式(22)和式(23)代入式(20)，可得:

其中:

由式(24)通过数值计算可以得到位移w(t)，把w(t)代入式(22)可以求出转角 φ(t)，把w(t)代入式(23)可以求出内力N(t)。

本文将利用差分形式和间接采用泰勒级数且具有其截断误差为O(h5)的四阶Runge-Kutta法［15]进行数值求解，给定N0和N1，求出位移w。参照文献［14] 中Ellishakoff的观点，采用B－R准则确定临界冲击荷载，即当冲击荷载微小增加但柱的最大位移发生较大的增量时，对应的荷载为临界荷载值，即冲击屈曲发生。因此问题的关键是给出在冲击荷载N1(t)作用下w(t)的变化规律，找出临界位移点，进而确定临界冲击荷载。

3 数值求解

设高桥墩为C30混凝土，其具体参数为:E=30 GPa，ρ=2.6 ×103kg/m，ν=0.2，l=25 m，d=1.0 m(λ=100)，此时桥墩的静力失稳临界力为Ncr=4.745 8×107N，荷载分别为三角形冲击荷载和矩形冲击荷载，设冲击荷载部分的峰值为N1，以后用k1=N1/Ncr来描述冲击荷载峰值，用k0=N0/Ncr来描述静载值。设冲击荷载的持续时间为t0=2 s。

图2给出了矩形和三角形形式的两种不同冲击荷载作用下，当k0=0.7时的k1～wmax(t)曲线。在三角形冲击荷载下，从k1～wmax(t)曲线可知，随着k1的增加，wmax存在一个快速突变的区域，而不是一个点，此时后屈曲路径是稳定的。根据B－R准则［16]的定义，如果受冲击的结构在微小作用增量下引起剧烈响应，则认为结构屈曲，因此B－R准则在这里的应用有一定的困难。在矩形冲击荷载作用下，当k1达到某个值后，对应k1的微小增加wmax有显著的增加，为方便应用B－R准则，定义位移wmax=0.15 m为临界位移wcr时对应的快速突变区域内有k1=0.309 74=kcr。为表述的一致性，以后对应于λ=100的柱依然选取wcr=0.15 m。

图3给出了矩形冲击荷载作用下，当k0=0.6时的k1～wmax(t)曲线。与图2中k0=0.7时矩形荷载的变化规律比较可知，当k0越小时，上述规律依然成立，并且kcr越大。

图2 不同形式冲击荷载下，k1～wmax(t)的变化曲线Fig.2 The loads-displacement curves under different impulse loads

图3 矩形荷载下，k0=0.6时，k1～wmax(t)变化曲线Fig.3 The loads-displacement curves under rectangle impulse load(k0=0.6)

图4 不同k1时，w(t)随时间t的响应曲线Fig.4 The displacement response curves under rectangle impulse loads for different k1

图4 给出了在矩形冲击荷载下，当k0=0.7，不同k1时位移响应曲线，由图中可见，当k1＜kcr=0.309 74时，位移响应为幅值较小的振动，桥墩处于稳定状态，当0.309 74＜k1＜0.341 35时，位移响应为幅值较大的振动，桥墩处于大幅振动状态;如果将k1＜0.341 35都视为稳定状态，符合B－R准则判别方法。当k1≥kb=0.341 35时，桥墩不发生振动，挠度趋于无限大使桥墩弯曲破坏。图4的响应曲线的变化全面描述了桥墩随着冲击荷载幅值的增加时的失稳路径。

图5给出了在矩形冲击荷载下k0=0.7时，冲击临界荷载值kcr随持续时间t0的变化曲线。当t0较小时，kcr随t0的增加而迅速减少;但当t0较大时，kcr随t0的增加而缓慢减少。这说明高桥墩具有较强的短时抗冲击能力。由曲线的下降趋势可以看出，三角形冲击荷载的减少幅度比矩形冲击荷载的减少幅度大。

图5 矩形荷载下，k1cr随冲击持续t0的变化曲线Fig.5 The critical loads curves for different persist time under rectangle impulse loads

图6 不同λ时，N1～wmax(t)变化曲线Fig.6 The N1～ wmax(t)curves for differentλunder rectangle impulse loads

图6 给出了在矩形冲击荷载下，当k0=0.7时，不同柔度系数下的N1～wmax(t)曲线。当柔度系数不同时，对应的临界位移值不同，wcr随λ的减小而减小;当柔度系数越小时，临界冲击荷载幅值越大。

4 结论

本章对混凝土高桥墩在一端简支一端固支情况下受到三角形冲击荷载和矩形冲击荷载作用时的非线性动力屈曲荷载进行了分析，给出了冲击荷载作用下的位移响应曲线，描述了高桥墩的动力屈曲路径，分析了各种几何参数和荷载参数对动力屈曲的影响。

(1)在三角形冲击荷载和矩形冲击荷载作用下，当高桥墩动力屈曲时，前者的临界值要比后者大得多;BR准则应用于三角形冲击荷载作用时是偏于安全的，同时可见冲击荷载的持续时间对高桥墩的动力稳定性有很大的影响。当荷载超过临界值kcr的某一区域时，高桥墩会产生大幅值振动，但并不会弯曲失效，这一点与静力屈曲和线弹性动力屈曲不同。只有当冲击荷载k1＞kb时，高桥墩才会挠度趋于无限大而弯曲破坏。

(2)高桥墩具有较强的短时抗冲击能力，当冲击荷载的持续时间延长时，高桥墩的抗冲击能力明显减弱。

柔度系数对临界位移(或对应的临界冲击荷载)有很大的影响，当柔度系数越小时，临界冲击荷载幅值越大。

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