非均质各向异性油藏水平井流入动态

王海静，薛世峰，高存法，仝兴华

（1.南京航空航天大学航空宇航学院，江苏南京 210016； 2.中国石油大学储运与建筑工程学院，山东青岛266555； 3.山东大学威海分校机电与信息工程学院，山东威海 264209）

非均质各向异性油藏水平井流入动态

王海静1，薛世峰2，高存法1，仝兴华3

（1.南京航空航天大学航空宇航学院，江苏南京 210016； 2.中国石油大学储运与建筑工程学院，山东青岛266555； 3.山东大学威海分校机电与信息工程学院，山东威海 264209）

为分析渗透率非均质性对水平井流入动态的影响，根据质量和动量守恒定律，建立全耦合的非均质各向异性盒式油藏渗流与水平井筒变质量流的耦合模型；通过坐标变换建立各向异性油藏水平井非均质表皮计算模型，将非均质渗透率场转化为等效均质渗透率场和沿井筒变化的非均质表皮；应用源函数法和势的叠加原理得到油藏渗流模型的解，给出基于模型离散的顺序迭代解耦方法.结果表明：渗透率非均质性对水平井流量剖面和采油指数影响较大.水平井流量分布规律与近井渗透率变化规律基本相同；高渗区流量大，低渗区流量小；在等效渗透率相同的情况下，随着近井非均质性的增强，水平井平均采油指数逐渐降低，平均流量分布不均衡因数逐渐增大.该研究为非均质各向异性油藏水平井产能预测和完井参数优化提供了依据.

非均质性；各向异性；油藏；水平井；耦合模型；渗透率场；源函数法；势的叠加原理；采油指数；不均衡因数；流量分布；等效渗透率

0 引言

随着世界范围内油气资源需求量的不断增长以及钻完井技术的日益完善，水平井成为高效开发油田的重要手段，在油气勘探开发中得到越来越广泛的应用.储层非均质性是影响水平井开发效果的重要因素，由此引发的储量动用不均衡、局部边底水过早突破是水平井开采过程中遇到的主要问题，越来越受到人们的关注.结合非均质油藏地质条件开展水平井流入动态研究，对于水平井产能预测以及完井方案设计具有重要意义.油藏内的流体经过水平井筒采出的过程按其流动规律可以划分为油藏渗流与井筒变质量管流两部分.

1989年，Dikken B J［1］首次将井筒紊流压降引入水平井产能计算，分析水平井产能随长度的变化规律，指出在水平井油藏模拟和设计中应该考虑井筒压力损失的影响.随后，人们在水平井筒管流与油藏渗流的耦合方面开展大量研究.Ouyang L［2］和Penmatcha V R［3］等基于源函数法，建立非稳态的均质盒式油藏水平井筒—油藏流动耦合模型，分析井斜角和产液量等因素对水平井瞬态流量和压力剖面的影响.刘想平［4］、苏玉亮［5］等根据镜像反映原理和势的叠加原理，分别提出均质无限大油藏裸眼水平井和射孔水平井的稳态井筒—油藏耦合模型及求解方法，分析井筒压降对水平井稳态流量剖面的影响.李松泉等［6］应用Green函数，建立非稳态的均质盒式气藏水平井筒—油藏流动耦合模型，分析不同阶段井筒压降对水平井流量剖面的影响.目前关于水平井流入动态的研究大多针对均质油藏，而对非均质油藏的研究鲜有报道.在建立非均质油藏—井筒耦合模型的基础上，笔者分析渗透率非均质性对水平井流入动态的影响，首先建立适用于非均质各向异性盒式油藏单相微可压缩流体不稳定流的油藏—井筒全耦合微分模型；然后提出渗透率非均质性定量评价方法，将非均质渗透率场转化为等效均质渗透率场和沿井筒变化的非均质表皮；采用源函数法求解油藏渗流方程，给出耦合模型的离散形式和解耦方法；通过算例验证文中模型及方法的准确性，分析渗透率非均质性对水平井压力／流量剖面以及产能的影响.

1 油藏—井筒耦合模型

盒式油藏中有1口水平井（见图1），井筒与油藏边界平行，长度为L，半径为rw.假设储层孔隙度φ为常数，渗透率各向异性.流体单相微可压，作等温不稳定流动.以井筒趾端O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，使Ox轴与井筒轴线重合，Oy，Oz平行于油藏边界.

1.1 油藏渗流方程

根据质量守恒定律和Darcy渗流定律，建立油藏渗流控制方程：

图1 盒式油藏水平井系统

式中：p为流体压力；kx，ky，kz分别为x，y，z方向的渗透率；φ为孔隙度，无因次；μ为流体黏度；ct为综合压缩系数；t为时间.

1.2 井筒变质量流方程

定义“比流量”q为单位长度井筒的径向流入量，单位为m3／（s·m），则水平井筒变质量流的质量守恒方程和动量守恒方程为

式中：ρ为流体密度；v为井筒截面平均流速；A为井筒横截面积；α为动量修正因数［7］；f为考虑井壁入流影响的摩擦因数［8］；d为井筒内径.

1.3 初边值条件

假设整个系统初始压力均匀分布，即

式中：p0为油藏初始压力.

油藏外边界为定压或封闭，即

井筒趾端边界封闭，即

井筒跟端边界定压或流量.当水平井以定压力生产时，有

式中：L为井筒长度；pwf为井筒跟端压力.

当水平井以定产量生产时，有

式中：B为体积因数；Q为油井产量.

1.4 耦合模型

方程（1－3）构成非均质各向异性油藏中水平井的油藏—井筒耦合模型，含有3个未知量：压力p，比流量q和井筒截面平均流速v.水平井油藏—井筒耦合问题就是求方程（1－3）满足初边值条件（4－8）的解.

定解问题（1－8）由于具有较强的非线性，很难采用解析法求解，尤其在非均质油藏中.根据实际情况对模型进行适当简化处理后，可以采用半解析方法求解.

2 非均质性定量评价

储层渗透率属区域化变量，其分布具有结构性和随机性双重特点.Durlofsky L J研究指出，渗透率非均质性对油井产能的影响可以分解为全局影响和近井影响［9］.其中，全局影响体现为一个大尺度的全局等效均质渗透率K＝｛kx，ky，kz｝，近井影响体现为一个以井筒为轴心、半轴长为各方向渗透率相关长度一半的椭圆形影响区（见图2），并给出近井非均质表皮计算模型.然而，在推导非均质表皮时，Durlofsky L J直接应用Hawkins的各向同性油藏中表皮的计算方法，忽略渗透率各向异性对近井流动形态和压降的影响，严重影响该模型在各向异性油藏的精度.

为建立各向异性条件下的非均质表皮计算模型，假设近井非均质影响椭圆与等压线重合，并作坐标变换将各向异性影响区转化为等效各向同性影响区：

图2 近井非均质影响区示意

取等效各向同性平面内椭圆形井筒的等效半径为两半轴长的平均值，根据Hawkins方法，建立各向异性油藏非均质表皮计算模型：

式中：Kh，y为近井非均质影响区y方向的等效渗透率；rh，y为非均质影响椭圆的y半轴；rw为井筒半径.

3 耦合模型解法

3.1 模型简化

式中：上标“′”为坐标变换后参数.

基于势的叠加原理，得到用源函数表示的定解问题（1）、（4－5）的井筒压力解：

式中：G（M′wf，M′w，t－τ）为等效各向同性油藏中井筒轴线上一点M′w在井壁M′wf处的瞬时源函数［11］，随着油藏边界条件的不同而不同；St为由储层非均质性、污染、完井引起的总表皮系数，St＝Sh＋Sd＋Sc，无因次.其中，污染表皮系数Sd和完井表皮系数Sc的计算见文献［14－16］.

当井筒流量分布达到稳定时，式（12）写成

此时，井筒内流动为稳定流，可以忽略质量守恒方程（2）和动量守恒方程（3）中的时间导数项，偏微分方程简化为常微分方程.若同时假设流体不可压缩，则式（2）和式（3）简化为

3.2 模型离散

简化后的油藏—井筒耦合模型（13－15）形式更简洁，各未知量之间的关系更清楚.由于模型方程具有非线性特征，仍然无法直接求解.因此，采用离散方法，将对连续变量的求解转化为对有限个离散变量的求解.将井筒离散为n个微元Li（i＝1，2，…，n），从趾端开始依次编号（见图1）.将各井筒微元看作是流量均匀的线汇，取井壁中点Mwf，i（i＝1，2，…，n）作为其压力计算点.根据式（13），建立各井筒微元的压力计算公式：

式中：pw，i为第i个井筒微元的压力；qj为第j个井筒微元的比流量；ΔLj为第j个井筒微元的长度；G（M′wf，i，L′j，t－τ）为等效各向同性油藏中井筒微元线汇L′j在第i个微元井壁中点M′wf，i处的瞬时源函数［11］，随油藏边界条件的不同而不同；St，i为第i个井筒微元的总表皮.

同样，根据式（6）、式（14－15），得到井筒变质量流的离散方程：

式中：vi为第i个井筒微元中点处的截面平均流速；vi，i＋1为第i和i＋1个井筒微元交点处的截面平均流速.

内边界条件式（7－8）的离散形式：

控制方程（16－18）与边界条件式（20）或式（21）构成离散形式的油藏—井筒耦合模型.

3.3 解耦方法

油藏—井筒耦合模型（16－18）与式（20）或式（21），共3n个方程，3n个未知量，分别是各井筒微元的压力pi、比流量qi和截面速度vi（i＝1，2，…，n），方程组有唯一解.鉴于模型的弱耦合特点，采用顺序迭代法求解.

（1）在定压生产条件下，给压力赋初值pwf，根据式（16－18）和式（20）循环计算比流量、截面速度和压力，直到满足计算精度为止；

（2）在定产量生产条件下，给比流量赋初值BQ／L，根据式（16－18）和式（21）循环计算速度、压差、比流量，直到满足计算精度为止.

4 算例分析

4组对数正态分布，平均值为1μm2，变异因数Cv分别为0，0.2，0.4和0.6的近井水平渗透率见表1.

定义近井渗透率非均质性定量评价指标“变异因数”Cv为标准差与平均值之比，即

表1 近井水平渗透率分布

采用文中模型和方法，计算100d时水平井筒的压力及流量分布，流量剖面已经稳定.井筒压力分布见图3.受管壁摩擦和径向入流影响，井筒内存在压力损失，趾端压力高，跟端压力低.由于油井定产量生产，4种渗透率情况下的跟、趾端压差基本相同，约为0.02MPa.4种情况下的井筒压力有所不同.第3组渗透率时井筒压力最高，第2组时井筒压力最低，其他组的井筒压力介于二者之间.井筒压力与变异因数之间无明显对应关系.

井筒流量剖面见图4.均质情况下（第1组渗透率），井筒两端流量较高，中间流量较低，流量剖面呈现较明显的端部效应.由于井筒压力损失与生产压差相比较小，跟、趾端流量差异较小，流量剖面的均衡性较好.非均质情况下（第2、3、4组渗透率），水平井流量剖面出现明显波动，均衡性较差.高渗区流量大，低渗区流量小，流量分布规律与渗透率基本相同.渗透率变化幅度越大，则流量剖面波动越明显.对文中模型计算结果与有限元计算结果进行比较（见图4），2种方法得到的流量剖面变化规律基本一致.与有限元计算结果相比，文中模型计算结果略有不同，但最大误差不超过8%，可以满足油藏工程设计的需要.

图3 井筒压力剖面

图4 井筒流量剖面

为定量评价近井非均质性对油井产能和井筒流量剖面均衡性的影响，定义采油指数PI和不均衡因数Cu：

近井非均质性对产能的影响见图5，其中每个点代表同一变异因数下100组渗透率实现的采油指数平均值，误差线代表标准误.由图5可以看出，随着变异因数的增大，平均采油指数逐渐降低.当变异因数从0增加到2.0时，采油指数大约降低9%.此外，随着变异因数的增大，采油指数标准误逐渐增大，即产能的离散程度逐渐增强.

近井非均质性对流量剖面均衡性的影响见图6，其中每个点代表同一变异因数下100组渗透率实现的不均衡因数平均值，误差线代表标准误.由图6可以看出，当变异因数为0时，即均质情况下，不均衡因数为0.012，仅由井筒压力损失引起，流量剖面的均衡性较好.随着变异因数的增大，标准误和平均流量不均衡因数逐渐增大，即随着非均质性的增强，平均流量不均衡性逐渐增强.

图5 非均质性对产能的影响

图6 非均质性对流量剖面均衡性的影响

5 结论

（1）建立非均质油藏渗流与井筒变质量流的耦合模型，提出基于非均质表皮和源函数的解耦方法.该模型考虑储层非均质性、渗透率各向异性、井筒压力损失、近井地层损害和完井工艺对产能的影响，适用于非均质各向异性盒式油藏水平井的产能评价与动态预测.

（2）渗透率非均质性对水平井流量剖面和采油指数影响较大.水平井流量分布规律与近井渗透率变化规律基本相同.高渗区流量大，低渗区流量小.在等效渗透率相同的情况下，随着近井非均质性的增强，水平井平均采油指数逐渐降低，平均流量分布不均衡因数逐渐增大.

（3）文中提出的非均质性定量评价方法为非均质各向异性油藏水平井产能预测提供了一个简单、快捷的途径；与数值模拟方法相比，该简化方法能够满足一般油藏工程设计的精度要求，但有待进一步改进.

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Inflow performance for horizontal wells in heterogeneous，anisotropic reservoirs／2012，36（3）：79－85

WANG Hai－jing1，XUE Shi－feng2，GAO Cun－fa1，TONG Xing－hua3
（1.College of Aerospace Engineering，Nanjing University of Aeronautics ＆Astronautics，Nanjing，Jiangsu210016，China；2.College of Pipeline ＆Civil Engineering，China University of Petroleum，Qingdao，Shandong266555，China；3.College of Mechanical，Electrical ＆Information Engineering，Shandong University atWeihai，Weihai，Shandong264209，China）

The process of oil recovery with horizontal wells is a coupling process of reservoir flow and wellbore variable－mass flow.The influence of reservoir heterogeneity cannotbe ignored.A fully coupled reservoir／wellbore model for horizontal wells in heterogeneous，anisotropic reservoirs is developed.The heterogeneous permeability field is represented by a homogenous permeability field of equivalentpermeability with a heterogeneity skin varying along the well.On this basis，the solution for the reservoir flow model is obtained by source function method and superposition principles.The solution methodology based on model discretization is presented.The inflow performance of horizontal wells in heterogeneous reservoirs is studied.Permeability heterogeneity has a greatimpacton flux profile and productivity of horizontal wells.The flux distribution along the well is basically the same as the near－permeability distribution.The flux in high permeability zone is bigger than thatin low－permeability zone.Equivalentpermeability being the same，with the increase of near－well heterogeneity，the average productivity of horizontal wells decreases，while the average unbalance of flux distribution increases.This study provides a theoretical basis for the productivity prediction and completion optimization of horizontal wells in heterogeneous，anisotropic reservoirs.

heterogeneity；anisotropy；reservoir；horizontal well；coupling model；permeability；source function method；superposition principle；productivity index；unbalance factor；flux distribution；equivalentpermeability

book=3,ebook=40

TE355

A

1000－1891（2012）03－0079－07

2012－01－17；编辑：任志平

国家科技重大专项（2008ZX05031－02－03）

王海静（1983－），女，博士研究生，主要从事油气田地下工程力学方面的研究.