基于对称α-稳定分布的可靠性试验场道路时域激励建模方法*

丛 楠，尚建忠，任焱晞

(1.国防科技大学机电工程与自动化学院，长沙 410073; 2.工程装备系统研究所，北京 100093)

前言

道路模拟试验是检验车辆可靠性的重要手段，路面激励作为模拟试验的输入，直接决定了试验结果的准确性。对于标准化道路，早在20世纪70年代就已确立了以功率谱密度函数作为对其描述的基本形式［1］。我国标准GB 7031—86中给出了一种幂函数形式的功率谱密度函数拟合公式，并定义了相应等级道路标准化功率谱密度函数的拟合参数［2］，对于非标准的试验场道路，文献［3］和文献［4］中在对我国海南和定远等汽车试验场道路进行测量的基础上，给出了以功率谱密度函数描述的道路谱。

定义在频域上的功率谱需要还原为随机时域激励信号，才能被道路模拟台架使用。文献［5］中提出将功率谱密度函数定义下的道路谱还原为时域信号的方法，该方法直接使用功率谱密度函数的傅里叶反变换来生成时域激励，但不久证明该方法并不可靠。目前常用的时域还原方法主要可分为两类，即谐波叠加法与线性滤波法［6-9］，两类方法虽然形式各异，但均基于高斯假设，即还原出时域信号的幅值呈高斯分布。

实测数据表明，由于实际道路本身包含有超过“标准”预期的不规则性，使得实测道路激励的幅值并不严格地满足高斯分布［10］。对于以强化可靠性试验为目的的试验场路面，此点尤为明显，因为与一般公路相比，可靠性试验场路面能够给予车辆更多和更大的激励，使得其在时域幅值上表现为更频繁的冲击，幅值分布体现出一定峰度及“厚尾”的非高斯特征。在可靠性强化试验领域的相关研究早已表明，激励的非高斯特性极大地影响受试产品的寿命［11］，现有基于高斯假设的频域还原方法所得到的时域谱进行道路模拟试验，无法准确模拟试验场道路对车辆疲劳耐久性的影响。

本文中在对实测试验场道路激励进行非高斯特性分析的基础上，使用双参数对称α-稳定分布模型描述试验场路面谱幅值的非高斯分布特征，给出了对于实测道路的稳定分布参数辨识方法，并研究了产生适合台架模拟且具有指定稳定分布参数的道路激励方法，为可靠性试验场道路的模拟试验提供了一种新的道路模型建模方法。

1 试验场道路激励的非高斯特性分析

为对可靠性试验场道路进行准确模拟，须预先进行实车采谱工作。图1为某型工程车在某试验场环形跑道上完成单圈行驶所采集到的左前轮垂向加速度响应谱。

从图1中的整圈采集谱中截取两条近似直线路段所对应的历程，其分布在经过时间/空间转换、去直流分量、野点剔除、抗混叠低通滤波等一系列前处理后，两路段的加速度激励历程如图2所示。可以看出，图2(a)所对应的路况显然比图2(b)恶劣。

将图2中所示的两路段加速度谱绘制于正态坐标纸上，以验证其幅值是否满足高斯分布，如图3所示。图3示出所测加速度谱在其“极限值”上与正态分布的显著差距，直观地说明了该路谱的非高斯性，且随着路况劣化，这种非高斯特性愈发显著。如使用现有基于高斯假设的时域激励生成方法，将无法还原出该类具有非高斯幅值分布特性的时域激励。

2 试验场道路激励的对称α-稳定分布参数估计

α-稳定分布是一类广义化的高斯分布(高斯分布是α=2时的对称稳定分布的特例)，研究结果表明，对存在大量突变因素的非高斯随机信号，往往均能由α-稳定分布对其进行准确地描述［12］。

α-稳定分布的一个显著特性是其没有有限的二阶矩(确切地说，对于非高斯α-稳定分布序列，其没有稳定的m阶矩，m＞α∈(0，2］)。因此，为验证试验场道路谱是否满足α-稳定分布，“无穷方差检验”是一个快速而有效的方法。其具体步骤如下。

(1)对于含有N个点的随机序列，设其第k个值为 xk，k=1，2，…，N，对于每一个 n(1 ＜ n ＜N)，求其含有前n个值的样本方差:

将图2所示的两路段上的轮轴响应谱按照式(1)计算得到的样本方差变化如图4所示。为便于比较，使用一组样本均值、方差和数据长度与第一路段相同的高斯序列作为参照。由图4可知，虽然两路段长度不同且样本长度有限，但与高斯信号相比已有明显差别，即样本方差无收敛迹象。初步验证了试验场道路谱的非高斯α-稳定分布特性。

此外，由于功率谱密度函数可认为是信号二阶原点矩的傅里叶变换，因此图4还说明了对于此实测试验场道路时域激励历程，没有稳定的功率谱密度函数，以往的基于功率谱密度函数的道路描述方法对其也不再适用。

α-稳定分布本身是一类四参数分布，其特性可以由特征指数 α∈(0，2)、对称系数 β∈(-1，1)、分散系数γ∈R+以及位置系数δ∈R完全确定。对于车辆的加速度响应，不妨假设其为对称分布，即对称参数β=0。进一步，在忽略路面自身高程变化的前提下，车辆在行驶全程中并无累加的垂向加速度，且对采集谱的去直流分量操作进一步保证了加速度谱的位置参数δ亦应为0。由此，对于该加速度谱，只有α、γ两参数需要辨识。对于位置参数亦为0的对称稳定分布，使用负阶矩法(又称为森克函数法)［13］相对简便。该方法主要思想源于以下定理。

设X为对称稳定分布的随机变量，且其位置参数δ=0、分散参数为γ时，其分数阶矩为

更为一般的是，式(2)中当-1＜p＜α时，该式仍然成立，且C(p，α)表达式与式(3)相同。即对称稳定分布存在有限的负阶矩。

由以上定理及Γ(·)函数性质可得

式中可任取0＜p＜min(α，1)。

由式(5)可知，特征指数α仅与随机变量的正负分数阶矩p有关，与分散系数γ无关，因此可利用该式对α进行估计。一旦得到α的估计值，则可由式(2)计算出γ的估计值。

3 基于对称α-稳定分布的道路激励历程生成

在辨识出特征指数α和分散系数γ后，即可由以下方法生成具有指定参数的对称α稳定分布序列［14］。

此外，需要说明的是，对于图3所示的经过时间-空间转换的采集谱，此时生成的序列仍应代表空间采样的序列 X(n)={x(Δn)，x(2Δn)，…}，在进行道路模拟时，须将其转换为时域历程X(t)={x(Δt)，x(2Δt)，…}。对于给定车速 v，空间采样间隔Δn与时间采样间隔Δt的关系为:Δt=Δn/v。

4 应用实例

仍以图2中所示的两段采集谱为例，使用式(5)所述的方法分别辨识出的稳定分布参数的估计值如表1所示。

表1 稳定分布参数估计值

根据表1所示的估计参数，按照式(6)和式(7)所示方法生成与原采集路段数据等长的稳定分布序列分别如图5所示。

由于稳定分布的厚尾特性，图5所示的原始稳定分布序列必含有少量具有极高幅值“奇异”数据，如前所述，须根据道路模拟台架的实际加载能力(此处为±5g)对上述序列进行截断(对应于幅值概率密度曲线上的“截尾”)，截断处理后的序列见图6。

由前论述，所使用序列的RMS值来检验所生成序列与采集谱在振动强度上的一致性。按表1所示参数，对两路段各生成200组如图5所示的稳定分布序列，对其进行截断处理前后的RMS统计特征值如表2所示。

表2 采集与重构谱的RMS值 g

由表2可知，当不进行截断时，由于极限值的影响，使序列的RMS值远高于(且不呈正态分布)原采集谱。经截尾后，所得序列在振动强度上已相当接近采集谱，具有一定的等效意义。与此同时，根据表1所示的估计参数分别绘制概率密度曲线，并将其与正态假设下的概率密度曲线和原数据经验概率密度分布情况进行比较，结果如图7所示。

图7直观地说明稳定分布对试验场道路非高斯特征描述的准确性，尤其对路况较差的路段1，该方法可更好地反映车辆对路面响应的幅值分布情况。

5 结论

通过对可靠性试验场实车采集道路谱进行幅值分布特性分析，证明了采集谱随路况劣化将呈现出显著的非高斯特性;针对道路谱这类具有对称、零均值的特征，基于对称稳定分布的负阶矩参数估计理论，提出了适用于试验场道路的非高斯幅值分布特征参数的估计方法，进而在结合现有试验操作规程的基础上，提出了可靠性试验场道路时域激励的生成方法。

通过应用所论述的道路谱生成方法，得到了某高速工程车单轮垂向加速度历程。与以往道路时域激励生成方法相比，该方法产生的道路激励能更准确地反映出车辆对试验场路面输入响应的幅值分布特征，为开展车辆的模拟试验场行驶试验以至车辆的虚拟行驶疲劳试验提供了一种新型道路时域激励模型生成方法。

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