矩形折叠中的学问

☉江苏省高邮市临泽镇初级中学 朱晓芳

矩形折叠中的学问

☉江苏省高邮市临泽镇初级中学 朱晓芳

图形折叠问题其实就是轴对称问题，与矩形相关的折叠问题，常常需要借助于矩形的边的平行关系转化角，或者用折叠转化矩形中的直角来解决问题.

一、求角度

例1 如图1所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C 分别落在 D′，C′的位置.若∠EFB=65°，则∠AED′等于（ ）.

A.70° B.65°

C.50° D.25°

解析：在矩形 ABCD 中，AD//BC，所以∠DEF=∠EFB=65°.而四边形FED′C′由EFCD折叠而得，所以∠DEF=∠D′EF=65°，所以∠AED′=180°-∠D′EF-∠DEF=50°.故选 C.

评注：翻折变换可得出相等的角，这就能把矩形中的角实施转化，再由矩形的对边平行，就可以求相关角的度数.

图1

二、求线段

解析：在 Rt△ABE中，∠AEB=90°- ∠BAE=60°，AE=AB=2，BE=1.而△ABE 由

图2

1△ABE折叠而得，所以∠AEB=∠AEB1=60°，∠BAE=∠EAB1=30°，所以 ∠B1AC=30°. 所 以△AEC1是等边三角形，AE=EC1=2.又△FEC1由△FEC折叠而得，所以EC=EC1=2，所以BC=BE+EC=3.故选C.

评注：翻折的特点是，折痕两边的部分是全等形.由此可得出相关的等角与等线段，再由题目中所给出的角和线段，就可以得出特殊图形，并进行相关的计算.

三、求面积

例3 如图3，在矩形纸片ABCD中，BC=10，DC=4，将它沿对角线AC折叠，使点D落在点F处，求图中阴影部分的面积.

解析：由题意可知：AB=DC=CF，∠B=∠F=90°.而∠AEB=∠CEF，可得△EFC≌△EBA，则 BE=EF，AE=EC.

设 BE=x，则 EF=x，AE=CE=BC-BE=10-x.

在Rt△ABE中，由AE2=AB2+BE2得：

图3

评注：翻折后把矩形中的直角予以转化，就可得到新的直角三角形，再借助翻折时，利用角的变化特征，得出边之间的关系，为借助勾股定理构建方程提供便利.

四、作判断

例4 如图4，在▱ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻折，得到△AB′C.则以A，C，D，B′为顶点的四边形是什么特殊四边形？为什么？

解析：在▱ABCD 中，AB//CD，AB=CD.而△AB′C是由△ABC翻折得到的，且AB⊥AC，

所以 AB=AB′，点 A、B、B′在同一条直线上.所以AB′∥CD，

所以四边形ACDB′是平行四边形.

又因为 B′C=BC=AD，

所以四边形ACDB′是矩形.

评注：沿着直角三角形的一条直角边，把图形翻折，实施了边的转化，为矩形的产生提供条件，再借助于平行四边形的有关性质，可得知所得四边形是矩形.

图4

五、作探究

图5

例5 如图5，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F.

（1）求证：△ABF≌△EDF；

（2）试猜想AE与BD有何关系？并说明理由.

（3）若BC=8，AF=3，P为线段AC上的任意一点，PM⊥AD于M，PN⊥BE于N，试求PM+PN的值.

解析：（1）由折叠可知，CD=ED，∠C=∠DEB=90°.

在矩形ABCD中，AB=CD，∠BAD=∠C=90°，所以AB=ED，∠BAD=∠DEB.因为∠AFB=∠EFD，所以△AFB≌△EFD.

（2）AE//BD.

因为△AFB≌△EFD，所以AF=EF，BF=DF.所以∠FAE=∠FEA，∠FBD=∠FDB.

又因为∠AFE=∠BFD，所以∠FAE=∠FDB，所以AE//BD.

（3）在矩形ABCD中，AD=BC=8，所以BF=FD=AD-AF=5.

而 S△BPD=S△BPF+S△FPD，所以 PN·FD+PM·FD=AB·FD，所以PN+PM=AB=4.

评注：把矩形沿着对角线进行折叠，不但可以出现等腰三角形，而且还有等腰梯形等特殊图形的产生，这就会把它的边与角进行转化，并由这些图形的性质得出相关的线段与角的关系，为进一步解决问题提供便利.

六、结束语

折叠是图形变换的基本形式.在矩形中，把它的一部分进行折叠后，常把图形的折叠与平行线、直角三角形和等腰三角形的相关性质结合起来，解决相关问题.有时，还需根据具体情况构建方程解题.充分显示转化思想、方程思想等重要数学思想的运用.