一般数域 P上方阵的标准形

杜翠真，林建富

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

1 引言

方阵的相似标准形是代数学的重要问题之一，文献[1－3]运用不同的方法对方阵的相似标准形进行了讨论，给出了复数域上矩阵的相似标准形—若当标准形，一般数域 P上方阵的有理标准形.本文给出一般数域 P上的方阵的一种相似标准形 P－若当标准形.记 P为数域，A为数域 P上的 n级方阵，E为单位矩阵.与若当标准形理论类似，有方阵 A的不变因子、初等因子和伴侣阵的定义.

定义1 称形如

的矩阵为 P－若当块，其中 Λ 为多项式 q(λ)=λk+a1λk－1+…+ak－1λ+ak的伴侣阵 .

设 f(λ)为数域 P上的任意多项式，则

定义2 由数域 P上若干个 P－若当块组成的准对角矩阵称为 P－若当形矩阵，其一般形状如

其中

P－若当形矩阵 J的全部初等因子就是由数域 P上的全部 P－若当块的初等因子构成的.

P－若当形矩阵除去 P－若当块的排列次序外被它的初等因子惟一决定.

引理1 数域 P上两个 n级方阵相似的充要条件是它们在数域 P上有相同的初等因子.

证明利用文献[1]的定理8可证.

引理2 首先用初等变换化特征矩阵 λE－A为对角形式，然后将主对角线上元素分解成数域 P上互不相同的首1的不可约因式方幂的乘积，则所有这些不可约因式的方幂就是 A在数域 P上的全部初等因子.

证明利用文献[1]的定理9可证.

引理3 设 f(λ)=(q(λ))i，i=1，2，…，m，则 r(f(J))=(m－ i)k.特别的，J 的最小多项式为(q(λ))m，即 J的最小多项式与特征多项式相等.

证明注意到 q(λ)是 Λ 的最小多项式，且 q(λ)是 f(λ)，f'(λ)，…，f(i－1)(λ)的因式，但不是 f(i)(λ)的因式.因此 f(Λ)=f'(Λ)=… =f(i－1)(Λ)=O 而 B=f(i)(Λ)可逆 .于是

显然 r(f(J))=(m－i)k.

特别地，当 f(λ)=(q(λ))m时，f(J)=[q(J)]m=O.设 J 的最小多项式为 g(λ)，则 g(λ)|(q(λ))m，于是 g(λ)=(q(λ))i，i=1，2，…，m，但是当 i=1，2，…，m 时，(q(J))i≠O，g(λ)=(q(λ))m.

2 主要结论

定理1 每个数域 P上的 n级方阵 A都与一个 P－若当形矩阵相似，且这个 P－若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵 A惟一决定的，称为 A的 P－若当标准形.

证明设 n级方阵 A的全部初等因子为

其中 q1(λ)，q2(λ)，…，qs(λ)可能有相同的，m1，m2，…，ms也可能有相同的.每一个初等因子(qi(λ))mi对应一个 P－若当块

这些 P－若当块构成 P－若当形矩阵通过计算可得 J的全部初等因子也是(1).因此 J与 A有相同的初等因子，所以它们相似.

如果另一 P－若当形矩阵 J'与 A相似，J'与 A就有相同的初等因子，因此 J'与 J除了 P－若当块的排列次序外是惟一的，惟一性得证.

这个 P－若当形矩阵 J就是数域 P上的方阵 A的相似标准形.

定理2 设 V是数域 P上 n维线性空间，σ为 V的线性变换，则在 V中存在一组基，使 σ在这组基下的矩阵为 P－若当形矩阵，且这个 P－若当形矩阵除去其中 P－若当块的排列次序外是被 σ惟一决定的，称为 σ的 P－若当标准形.

证明在 V中取一组基 α1，α2，…，αn，设 σ 在这组基下的矩阵是 A，由定理1，存在可逆矩阵 T，使T－1AT 为 P － 若当形矩阵.于是在由(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，αn)T 确定的基 β1，β2，…，βn下，线性变换σ的矩阵就是 P－若当形矩阵 T－1AT.

由定理1，惟一性是显然的.

推论1 设 V为数域 P上 mk维线性空间，σ 为 V的线性变换，且 σ 在基 α11，α12，…，α1k，α21，α22，…，α2k，…，αm1，αm2，…，αmk下的矩阵为数域 P 上的若当块

其中 Λ为数域 P上不可约多项式 q(λ)=λk+a1λk－1+…+ak的伴侣阵.则

1)σ的任一非零的不变子空间 W的维数为 k的倍数，且 σ|W的特征多项式与最小多项式相等.

2)σ有 m个非零的不变子空间，分别为

证明1)注意到 σ的特征多项式为(q(λ))m.设 W为 σ的任一非零的不变子空间，记 σ|W为 σ在W 上的限制.设 σ|W 的特征多项式为 g(λ)，最小多项式为 h(λ)，则 h(λ)|g(λ)，g(λ)|(q(λ))m.

设 g(λ)=(q(λ))i，i=1，2，…，m，所以 dimW=ik.设 h(λ)=(q(λ))l，这里 l≤i.

由 h(σ)|W=h(σ|W)=O知，

所以 ik≤lk.故 l=i，g(λ)=h(λ)且 W=ker(q(σ)i).

2) 显然 Wj=L(αj1，αj2，…，αjk，…， αm1， αm2，…，αmk)是非零的 σ 不变子空间，而 dimWj=(m － j+1)k，因此 Wj=ker(q(σ)m－j+1).

推论2 设 V为数域 P上 n维线性空间，σ为 V的线性变换，设 σ的特征多项式

则

2)设 W为 σ 的任一非零不变子空间，则 W=W18W28…8Ws，其中 Wi=W∩Vi，i=1，2，…，s.

证明1)根据文献[1]的定理12可得.

2) ∀ξ∈W⊂V，由 1)得

所以存在 u(λ)，v(λ)，使得

于是

所以

所以

所以

显然有 W=W18W28…8Ws，其中 Wi=W∩ Vi，i=1，2，…，s.

证明设 σ在 V的某组基下的矩阵为数域 P上的若当形矩阵，

其中 Ji=J(qi(λ)，mi)， i=1，2，…，s，且 V=V18V28…8Vs，其中 Vi=ker(qi(σ)mi).设 W为 σ 的任一不变子空间，由 σ的特征多项式与最小多项式相等，则 W=W18W28…8Ws，其中 Wi=W∩Vi是包含在 Vi中的 σ不变子空间.易见 σ|Vi在 Vi的某组基下的矩阵为若当块 Ji，因此包含在 Vi中的 σ不变子空间恰有 mi+1个.故 σ恰有(m1+1)(m2+1)…(ms+1)个不变子空间.不难看出它们就是

下列结论给出的 Λ和 Γ可以看成是矩阵特征值和特征向量的一种推广.

引理4 设 A为数域 P上的 n级方阵，f(λ)为 A的特征多项式，p(λ)为数域 P上的首1的不可约多项式，且 P(λ)|f(λ)，设 Λ 为 p(λ)的伴侣阵 .则

1)存在数域 P上列满秩矩阵 Γ，使得 AΓ=ΓΛ.

2)存在数域 P上行满秩矩阵 Ψ，使得 ΨA=ΛΨ.

证明1)由已知可得 p(λ)m是 A的初等因子，因此存在可逆矩阵 P，使得

其中

设 P=(P1，P2，…，Pm)，取 Γ =Pm，则 AΓ = ΓΛ.

2)同理可证.

推论4 设 V为数域 P上的 n维线性空间，σ为 V的线性变换.则 σ的特征多项式与最小多项式相等的充要条件是 σ只有有限个不变子空间.

证明 必要性由推论3即得.

充分性 设 σ在 V的某组基下的矩阵为 P－若当形矩阵 A，若 σ的特征多项式与最小多项式不相等，则 P－若当形矩阵 A中至少有两个同属于某一不可约多项式 p(λ)的若当块.

记 ∂(p(λ))=k，Λ 为 p(λ)的伴侣阵，由引理4知，存在数域 P上列满秩矩阵 Γ1，Γ2，使得 AΓ1=Γ1Λ，AΓ2= Γ2Λ，且(Γ1，Γ2)列满秩 .因此存在 V 中线性无关向量 α1，α2，…，αk，β1，β2，…，βk使得 W1=L(α1，α2，…，αk)，W2=L(β1， β2，…， βk)，皆为 σ 不变子空间，且 σ 限制在 W1和 W2上的矩阵皆为 Λ.任取λ∈P，令 γi= αi+ λβi，i=1，2，…，k.则 W(λ)=L(γ1， γ2，…， γk)为 σ 的不变子空间.当 λ1≠ λ2时，W(λ1)≠W(λ2).这与 σ只有有限个不变子空间矛盾.

所以 σ的特征多项式与最小多项式相等.

推论5 设 V为数域 P上 n维线性空间，σ为 V上线性变换.设 σ的特征多项式与最小多项式相等.若 W为 σ的任一非零的不变子空间，则 σ|W的特征多项式与最小多项式相等.

证明由 σ的特征多项式与最小多项式相等，V的线性变换 σ只有有限个不变子空间.则 σ|W只有有限个不变子空间.于是 σ|W的特征多项式与最小多项式相等.

推论6 设 V为数域 P上的 n维线性空间，σ为 V的线性变换.则以下等价:

1)与 σ可交换的线性变换皆为 σ的多项式.

2)σ的最小多项式与特征多项式相等.

3)V的线性变换 σ只有有限个不变子空间.

[1]李炯生，查建国.线性代数[M].合肥:中国科学技术大学出版社，2005.

[2]许以超.代数学引论[M].上海:上海科技出版社，1982.

[3]HORN R A，JOHNSON C R.Matrix analysis[M].London:Cambridge University Press，1985.

[4]万哲先.代数导论[M].北京:科学出版社，2004.