一种新的谐波检测算法及其对比研究

闫朝阳，朱桂萍

(清华大学电力系统国家重点实验室，北京 100084)

近几年有源滤波器在电网中得到了广泛的应用，与之相关的谐波检测算法也获得很大发展。目前谐波检测算法主要分为频域和时域两大类，频域算法以FFT理论为代表，时域算法以Fryze理论和瞬时无功功率理论为代表。1983年赤木泰文［1］为瞬时无功理论定义了基波瞬时有功和无功功率，但只适用于三相三线制电压不畸变的情况下检测谐波和无功电流，1999年赤木泰文改进了瞬时无功功率［2］理论，使之适用于三相四线制。本文在参考前人工作的基础上，对瞬时无功功率理论给出了详细的数学解释;并与“信号与系统”课程中介绍的传统的FFT算法进行了对比研究，阐明了这两种算法本质上的一致性，两种谐波检测算法中各自采用的低通滤波器LPF和积分器环节是二者实时性能差异的根源。本文最后提出了一种采用LPF的FFT改进算法。

1 瞬时无功功率理论的数学本质

1.1 传统pq算法简介

设三相电压分别为 ea、eb、ec，三相电流分别为ia、ib、ic，通过坐标变换将 abc坐标系变换为 αβ 坐标系，变换如下:

abc坐标系的三相电压、电流变换为αβ坐标系后，分别为 eα、eβ和 iα、iβ。将瞬时功率定义成

整理成矩阵形式为

通过计算可以证明，在电网电压无畸变(没有谐波，没有负序和零序分量)的情况下，瞬时有功功率P和瞬时无功功率直流分量由正序基波电流产生，交流分量由谐波和负序基波电流产生。通过低通滤波器LPF将交流分量滤除，得到直流分量之和，再对其进行反变换，就可以得到正序基波三相电流的参考信号iaf、ibf和ief。其表达式为

负荷电流减去正序基波电流信号，就可以得到包含负序基波和所有谐波的APF参考信号。这就是瞬时无功功率理论的pq算法，图1是正序基波电流信号提取流程图。

图1 瞬时无功功率理论正序基波提取流程

1.2 三维时变向量空间正交变换和反变换［2］

上述pq算法中Cpq变换及其逆变换是瞬时无功功率理论检测谐波算法的核心，故忽略C32变换及其反变换，直接分析图2所示的过程。

图2 αβ相瞬时无功功率理论正序基波提取

假设电网电压无畸变，电网电流为

C32变换后的电压为

C32变换后的电流为

由图2所示流程提取到的αβ两相正序基波电流为

利用C32变换后得到的αβ两相电压构造一组正交坐标基，令

其中，e2=+为常量。pq 算法中 e2=1，因此Cpq就是正交投影的矩阵形式。经过低通滤波器LPF得到pe和qe的直流分量和，即

Cpq逆变换对应向量合成，计算结果与式(4)相同，说明基于瞬时无功功率理论提取基波电流的过程其实就是对三相/二相变换后的电流进行正交变换和反变换的过程，选用的正交向量坐标基为式(5)所示的和。

选取另一组正交向量坐标基，令

该计算结果与式(4)、式(7)相同，因此可以得到以下结论:忽略C32变换及其逆变换，在αβ两相下是一个二维时变向量空间正交变换和反变换的过程。C32变换及其逆变换是abc三相和αβ两相的变换过程，因此瞬时无功功率理论在abc三相下是一个三维时变向量空间正交变换和反变换的过程。这和FFT算法具有相同的数学本质。此外，尚需注意如下问题。

(1)若正交向量坐标基是完备的，选取不同正交向量坐标基，瞬时无功功率理论可以提取任意次、任意序的有功或无功电流［3］;

(2)电网电压畸变与否及电流序分量检测和电网电压相位没有关系，检测谐波要对电网电压锁相;检测有功、无功电流才需要对电网电压锁相;

(3)C32变换及其逆变换是没有必要的，选取三维正交向量坐标基，瞬时无功功率理论可以直接在abc三相下使用。

假设电网电压有畸变，首先对电网电压进行正交变换和反变换，得到正序基波电网电压;其次可以直接采用pq算法提取正序基波电流，也可以通过锁相环得到其相位，采用ipiq算法提取正序基波电流，解决了电网电压畸变时锁相困难的问题。

值得一提的是，通过图1所示流程得到的补偿指令电流，在电网电压无畸变时，只包含负序、零序无功基波电流和谐波无功电流;电网电压畸变时，还可能包含负序、零序有功基波电流和谐波有功电流，此时APF直流侧需要使用储能单元才可以滤除这部分有功电流。电网电压畸变时，可以定义瞬时功率(瞬时ui乘积)的直流分量之和为有功功率，但瞬时功率交流分量中包含不同频率，无功功率是否可以定义为各频率交流分量均方根还值得探讨［4］。此外，不同频率电压、电流乘积得到的瞬时功率交流分量的物理意义还不明了。

2 FFT 算法［5］

任意周期非正弦信号可以表示为

其基波分量为A1cosωt+B1sin(ωt)。其中

积分运算是函数向量空间中的正交投影，同时还起到保留直流分量、取出交流分量的作用。因此将FFT算法提取基波的过程分解为与瞬时无功功率理论相似的运算步骤。

(1)将 f(t)分别与 cosωt和 sinωt相乘，这对应式(6)中的点乘运算，结果中包含直流分量和交流分量:

(2)进行积分(离散信号则为求和)运算(对应上文的低通滤波)，交流分量变为零，得到的直流分量为

(3)由A1、B1合成f(t)的基波分量:

对二相信号，不考虑序分量时，可以看成两个单相信号，分别检测谐波。图3是FFT算法下对iα、iβ分别提取基波的计算流程图。

图3 FFT算法基波提取流程图

由 Aα、Aβ和 Bα、Bβ与 cosωt和 sinωt合成基波分量。如果三相电流中不包含负序基波电流，则FFT算法得到的iα和iβ基波分量为

它与式(4)、式(7)及式(9)计算结果相同。如果三相电流中包含负序基波电流，则iα和iβ基波分量为

进一步将正序、负序分量分辨出来，需要αβ平面上的正序基波正交向量函数坐标基和负序基波正交向量函数坐标基，分别如下:

3 两种算法的对比

3.1 LPF 和积分器

根据上文的分析，对比图2和图3可知，基于瞬时无功功率理论和基于FFT算法提取谐波的过程主要区别有两点:

(1)向量空间不同，选取的坐标基或变换矩阵不同。瞬时无功功率理论建立在三维或者二维时变向量空间，选取的正交旋转向量坐标基，FFT算法建立在一维或多维函数向量空间，选取的是正交函数向量坐标基;

(2)瞬时无功功率理论中的低通滤波环节代替了FFT算法中的积分环节，实时性得到质的改变。积分环节与低通滤波环节本质上是一致的［6］，当积分环节的时间常数足够大时，就可以近似看成低通滤波器。但二者在实时性能上却有很大差别，积分需要至少一个周期的数据才可以准确提取出其中的谐波分量，而低通滤波却可以实时提取出信号中的谐波分量。这就是基于瞬时无功功率理论提取谐波比基于FFT算法提取谐波实时性好的本质所在。

3.2 采用LPF的FFT算法

根据上文的分析，用低通滤波器取代FFT算法中的积分环节，以改善FFT算法实时性能。令

改进后的FFT算法流程如图4所示。该算法可以得到和瞬时无功功率理论相同的结论，变换计算相对比较简单;而与传统的FFT算法相比，实时性有显著提高，选取不同正交基提取不同性质的基波电流。

图4 FFT改进算法的基波电流提取流程

4 对比仿真验证

4.1 三相稳态不平衡负荷的对比仿真

基于Matlab仿真软件，分别对图1所示的瞬时无功功率pq算法，图2所示选取 sinωt和cosωt为正交函数坐标基的FFT算法(以下简称FFT算法一)和图2所示选取式(10)所示正交向量函数坐标基的FFT算法(以下简称FFT算法二)进行仿真对比分析。负荷选取三相稳态不平衡负荷。

负荷为三项不平衡阻感负荷并联整流器，负荷电流如图5所示，其中ia、ib、ic和 in分别表示A、B、C三相负载线电流和中线电流。

图5 三相稳态不平衡负荷电流

三种谐波提取算法提取的基波电流分别如图6所示，其中 ifa、ifb、ifc分别表示提取出的 A、B、C 三相负载线电流的基波成分。

图6 三种算法提取的正常基波电流

从上面的结果我们可以看到FFT算法提取的电流中包含有正序和负序基波分量，没有谐波分量;而FFT改进算法提取出来的电流中只包含正序基波分量，和pq算法结果一致。

4.2 三相动态负荷的对比仿真

基于Matlab仿真软件，分别对图1所示的瞬时无功功率pq算法，FFT算法二及图4所示选取式(10)所示正交向量函数坐标基的FFT算法(以下简称FFT新算法二)进行仿真对比分析。负荷采用受控电流源来模拟电弧炉负荷，三相电弧炉及中线电流如图7 所示，其中 ia、ib、ic分别表示 A、B、C 三相负载线电流。

图7 三相动态负荷电流

三种算法提取的基波电流分别如图8所示，其中 ifa、ifb、ifc分别表示提取出的 A、B、C 三相负载线电流的基波成分。

图8 三种算法提取的正序基波电流

从仿真结果可以看出，FFT算法提取的电流只包含正序基波分量，但实时性较差;FFT改进算法提取出来的电流中只包含正序基波分量，实时性和pq算法相差无几。

5 结语

本文对瞬时无功功率理论进行了详细的数学解释，证明了基于瞬时无功功率理论提取基波的过程本质上是对三相电流进行正交变换和反变换的过程，这与FFT算法具有相同的数学本质;另一方面本文详细阐释了瞬时无功功率理论和FFT算法二者在实时性方面的差异—低通滤波器和积分器，给出了仿真验证实验;最后通过使用低通滤波器代替积分器改进传统的FFT算法，其实时性和pq算法相差无几。

［1］ Akagi Hirofumi，Kanazawa Yoshihira，Nabae，Akira.Instantaneous reactive power compensators comprising switching devices without energy storage components［J］.IEEE Transactions on Industry Applications，1984，20(3):625-630

［2］ Akagi，H，Ogasawara，S.Hyosung Kim The theory of instantaneous power in three-phase four-wire systems:a comprehensive approach［C］.Industry Applications Conference，1999，(1):431-439

［3］ 姜齐荣，赵东元，陈建业.电力有源滤波器［M］.北京:科学出版社，2005:45-60

［4］ 罗欢.基于Fryze功率定义的有功电流检测与实现［D］.武汉:武汉大学

［5］ 刘卫东.信号与系统分析基础［M］.北京:清华大学出版社，2008:53-64

［6］ 朱桂萍，于歆杰，陆文娟.一阶RC电路时域分析和频域分析的对比［J］.南京:电气电子教学学报，2007，(03):29-34