S域初值定理与终值定理教学方法探讨

周 城，候建华，熊承义，刘 玉

(中南民族大学电子信息工程学院，湖北武汉 430074)

0 引言

在“信号与系统”课程的教学中，连续系统的S域分析占有重要的地位，在微分方程求解、电路分析等领域发挥着关键作用。而S域分析的要点在于掌握拉普拉斯变换及其性质。

本课程中，普拉斯变换的重要性质包括尺度变换、时移、频移、微分、积分、卷积，初值定理与终值定理。与其他性质相比较，初值定理与终值定理始终是教学中的重点和难点。从物理意义上来说，两个定理是连续信号的时域与复频域之间的桥梁，反应了两者之间相互转换的规律。而多数教材与参考书均采用直接给出定理的使用条件和证明过程的叙述方式，并未解释为何使用定理时需要条件的限定，而且在证明过程中，往往回避了连续信号中含有冲激函数项的情况。这样的处理方式割裂了定理使用条件和定理内容之间的联系，使学生在学习过程中感到十分困惑。

笔者所在的教研组通过“信号与系统”省级精品课程的多年讲授，对这两则定理已摸索出一套较好的教学方法。该方法首先从两个定理的使用条件出发，分析特定象函数的拉普拉斯逆变换;其次引导学生发现定理使用条件与定理本身之间的关联;最后再给出定理的严格证明。即先从频域到时域进行引导，再从时域到频域证明。通过这样的教学方式，能够让学生加深定理的理解，真正读懂教材的内涵。

1 定理的知识点分析

S域初值定理定义如下:

设连续函数f(t)不含δ(t)及其各阶导数，且有

则初值定理可表达为

S域终值定理定义为:设连续函数f(t)当t→∞时的极限存在，且有

则终值定理可表达为

式(2)与式(4)说明，当满足一定使用条件时，可由S域的象函数直接得到时域连续函数f(t)的初值和终值。

现有教材一般直接给出了定理的使用条件和证明过程，而并未说明定理为何采用这样的使用条件。另外各类教材的知识点安排并不适合定理教学。如教材［1］将两个定理的教学内容安排在第五章“连续系统的S域分析”的第2节“拉普拉斯变换的性质”之中。此时学生虽可了解连续时间信号的拉普拉斯变换定义，但对S域系统函数、零极点分析等概念并不了解。教材［2］和［3］的情况类似。教材［4］将S域分析内容安排在连续信号与离散信号的傅里叶变换之后，并且将初值/终值定理的教学内容安排在S域分析的靠后部分，此时学生已经充分理解系统函数与系统零极点的概念，这对理解定理很有帮助。但遗憾的是该教材仅仅给出了这两个定理，并未完成证明。

2 初值定理的教学方法

2.1 初值定理使用条件的解析

初值定理使用条件是要求连续函数f(t)不含冲击函数δ(t)及其各阶导数，或者象函数F(s)为真分式。为帮助学生理解这一点，可先给出两道例题，让学生体会使用条件与定理之间的关联。

［例1］已知因果函数f(t)的象函数为:F(s)=1/(s+2)，根据初值定理求其初值f(0+)。

解:该象函数满足初值定理的使用条件，故有

由该例可以看出，当象函数为真分式时，根据初值定理可直接由象函数得出函数的初值。

［例2］已知因果函数f(t)的象函数为F(s)=(s2+s+1)/s，根据初值定理求其初值f(0+)。

解:该象函数不满足初值定理的使用条件，若直接使用初值定理得

显然，会得出初值f(0+)不存在的错误结论。下面可用F(s)的逆变换进行验证

从中上式可以看出当F(s)为假分式时，其原函数中含有冲击函数项，但此时函数的初值存在，f(0+)=1。若剔除掉f(t)中的冲击函数项，则可使用初值定理求出初值，此时可令F1(s)=1/s，则有

至此，学生可意识到定理与使用条件之间的联系，下面可通过严格证明来解释此问题。

2.2 连续函数中含有冲击函数项时的解析

考虑连续函数f(t)中含有冲击函数δ(t)及其各阶导数时的情况。下面首先证明冲击函数项对f(t)的拉氏变换在0－到0+变化时所造成的影响。

［例3］我们现在来证明连续函数f(t)中含有冲击函数项时，有

证明:此时不妨设f(t)为

其中，a和b为常数，而f0(t)不含冲击函数与阶跃函数项。因此f0(t)在0－到0+上是连续函数。容易观察出f(t)从0－到0+变化时只在阶跃函数上发生了跳变:

下面对f(t)求一阶导数，并在0－到0+区间上计算其拉氏变换积分，有

由于f0(t)在0－到0+上是连续函数，故有

又根据冲击函数的广义函数定义［1］，有

联合式(12)可得

从证明过程中可以看出，两者不相等的原因在于f(t)中含有冲击函数项，因此可得到对应结论，即f(t)中不含有冲击函数项时，下式成立:

2.3 初值定理的证明

以式(14)为条件，可容易证明当f(t)中不含有冲击函数项时，式(2)所描述的初值定理成立。

由拉氏变换的时域微分性可知

计算式(15)左边的单边拉氏变换有

代入式(14)有

与式(15)联立得

从而初值定理得证，这也充分说明了其使用条件中为何要求f(t)不能含有冲击函数项的原因。

需要指出，从上述证明过程中容易得到如下初值定理的一个加强使用条件:

当f(t)中含有冲击函数项时，即其象函数F(s)为假分式时，可通过长除法将F(s)转换为真分式F0(s)，再使用初值定理:

其原理在于f(t)中的冲击函数项只在0时刻这一瞬间存在，并不会影响其时域初值f(0+)，此时的初值可由其象函数中的真分式部分确定，例2即为实例。

3 终值定理的教学方法

3.1 终值定理使用条件的解析

终值定理的使用条件是连续函数f(t)当t→∞时的极限存在，或者s=0在sF(s)的收敛域内［1］。由于多数教材将该内容安排在系统函数与极零点分析之前，给学生的理解造成了一定困难。在处理该知识点时，可结合已学的收敛域知识，先通过几个特例，引导学生思考定理使用条件。

［例4］考虑下列因果函数的象函数能否利用终值定理计算其终值。

(1)F1(s)=1/(s+2)，Re［s］＞ －2;

(2)F2(s)=1/s，Re［s］＞ 0;

(3)F3(s)=s/(s2+1)，Re［s］＞ －2;

(4)F4(s)=1/(s－2)，Re［s］＞2。

解:(1)求F1(s)的逆变换可得

(2)求F2(s)的逆变换可得

(3)求F3(s)的逆变换可得

可观察出其终值不固定，故不存在，此时用终值定理试验发现

说明不满足定理使用条件时，得到了错误结果。

(4)求F4(s)的逆变换可得

可观察出其终值趋近于无穷，故不存在，此时用终值定理试验发现

说明不满足定理使用条件时，得到了错误结果。

我们可以通过上述四个例题看出:在已知f(t)为因果函数的前提下:①当收敛域包含S域虚轴时，s=0在sF(s)的收敛域内，满足终值定理使用条件;②当收敛域刚好在虚轴上时，只有阶跃函数ε(t)的终值存在，还可通过象函数F(s)=1/s2进行验证;③当收敛域不包含虚轴时，时域函数一般为发散函数，终值肯定不存在，也就无法使用终值定理。需要指出，在学习了零极点知识点之后再来考虑该问题就要简便很多。

3.2 终值定理的证明

终值定理的使用条件实际上隐含了上述分析。以教材［1］为例，其使用条件为函数f(t)当t→∞时极限存在，且满足 f(t)F(s)，Re［s］＞ σ0，其中σ0＜0，即说明收敛域包含了虚轴。此时取式(16)两边s→0的极限可得

需要指出，终值定理的使用条件与初值定理不同，只要终值存在，即收敛域满足使用条件即可。当F(s)为假分式时，同样可以使用定理，如例2中，可直接应用终值定理得到

可见，终值与逆变换f(t)=δ'(t)+δ(t)+ε(t)是一致的。

4 结语

初值定理与终值定理是“信号与系统”课程的S域分析教学中的重点和难点，理解相应的使用条件是掌握两个定理的关键。通过改进教学方法，先解析定理的使用条件，引导学生思考两者之间的联系，再讲解定理的证明，可让学生透彻理解教学内容，为系统函数与极零点分析等后续知识点打好基础。Z域分析的初值定理和终值定理教学同样可参考本文的方法。

［1］ 吴大正.信号与线性系统分析［M］.第4版.北京:高等教育出版社，2005

［2］ 郑君里等.信号与系统［M］.第2版.北京:高等教育出版社，2000

［3］ 管致中等.信号与线性系统［M］.第4版.北京:高等教育出版社，2004

［4］ 奥本海姆等.信号与系统［M］.第2版.西安:西安交通大学出版社，1998