化归思想在常微分方程教学中的应用

姬利娜，郑群珍

(1.河南农业大学信息与计算科学系，河南郑州 450002;2.河南教育学院数学系，河南郑州 450046)

化归思想在常微分方程教学中的应用

姬利娜1，郑群珍2

(1.河南农业大学信息与计算科学系，河南郑州 450002;2.河南教育学院数学系，河南郑州 450046)

通过分析常微分方程(组)的解法及一阶常微分方程解存在唯一性定理的证明，全面总结了常微分方程中的化归思想，并阐述了在常微分方程教学中融入化归思想的意义.

常微分方程;教学;化归思想

0 引言

常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.在历史上，牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆的;亚当斯和勒威耶通过常微分方程的计算预见了海王星的存在.随着科学的发展，常微分方程渗透到了诸如电信、化工、航天、生物、医药、经济、信息、军事、控制、管理乃至社会科学等各个领域，显示了其蓬勃的生机和活力.

常微分方程是数学相关专业的必修基础课，对先修课程(数学分析和高等代数)及后继课程(数学物理方程、微分方程的数值解、微分几何、数学模型等)起到了承前启后的作用.

数学思想方法以具体的教学内容为载体又高于具体的教学内容，在教学过程中融入数学思想方法可以使学生深化理解、发展思维、提高素质.化归思想是常微分方程的重要数学思想方法，常数变易法、代换法、逐次逼近法等都体现了该思想的应用.化归思想是指“在解决数学问题的过程中，把待解决的问题进行转化，将复杂的问题转化为简单的问题，将困难的问题转化为容易的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题”［1］.关于在常微分方程教学中融入化归思想的重要性和意义以及化归思想在常微分方程求解中的应用已有一些研究［2－4］.本文将全面讨论总结常微分方程中体现化归思想的问题.

1 常微分方程中的化归思想

1.1 一阶常微分方程初等解法中的化归

一阶常微分方程的5种常见类型(变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程)中，作为基础的是变量分离方程和恰当方程，其他类型的方程均可借助变量变换或积分因子化为这两种类型.

1.2 一阶隐常微分方程解法中的化归

一阶隐常微分方程F(x，y，y')难以直接解出y'，可通过引入参数将其化为导数已解出的类型(即一阶常微分方程的五种常见类型之一)求解.

1.3 高阶微分方程解法中的化归

求解常系数齐次线性方程的特征根法(或欧拉待定指数函数法)把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题，从而省去了相对繁杂的积分运算.用于求非齐次项为多项式函数、指数函数、正弦(或余弦)函数以及它们的某种乘积组合的常系数非齐次线性方程的待定系数法，如同特征根法一样，把原问题化为代数方程求根问题.求一般二阶非齐次线性方程特解的幂级数解法和待定系数法的简化思想类似.求解常系数非齐次线性方程特解的拉普拉斯变换是先将线性微分方程转化为复变数的代数方程，再由拉普拉斯变换表或反变换公式求出微分方程的解.求解一般非齐次线性微分方程的常数变易法，是利用对应齐次线性方程的通解通过变量变换将其转化为易求解的方程或方程组.通过变量替换将高阶方程化为低阶方程也是化归思想的应用.

1.4 一阶微分方程解的存在唯一性证明中的化归

一阶微分方程解的存在唯一性证明，是将微分方程的求解转化为积分方程的求解;而相应积分方程的解的存在唯一性证明，又是通过逐步逼近法将其转化为相应的逐步逼近函数序列的极限函数的存在唯一性证明的.

1.5 线性微分方程组解法中的化归

小型线性微分方程组可通过微分及线性运算消元逐步转化为含一个未知函数的高阶方程.求解常系数齐次线性方程组的特征值法将方程的求解问题转化为高等代数中的特征值求解问题.

2 结论

化归思想是数学思想方法论中重要的思想方法之一.尽管不同的问题所体现的数学化归方法不同，但其思想原则都是化难为易、化繁为简、化未知为已知.化归思想在待解决的问题和已解决的问题之间架起了桥梁.化归思想在微积分中也有广泛的应用［5－6］，如高斯公式的证明可化为斯托克斯公式，斯托克斯公式的证明可化为格林公式，而格林公式的证明可化为牛顿—莱布尼兹公式.

在常微分方程教学中融入化归思想，不仅可以使学生站在更高层面理解学习内容、体会问题本质，还可使学生领悟学习方法，在后续课程的学习中受益并形成创新意识、敢于挑战新的问题.

［1］ 喻平.数学问题化归理论与方法［M］.桂林:广西师范大学出版社，1999.

［2］ 黄雪燕.常微分方程的化归思想［J］.长春师范学院学报:自然科学版，2007，26(4):24－26.

［3］ 张亚图，王贝.常微分方程教学中化归思想的渗透［J］.江苏教育学院学报:自然科学版，2006，23(4):53－55.

［4］ 余惠霖.几种常微分方程解法中的数学化归思想［J］.柳州师专学报，2011，26(2):123－126.

［5］ 严慧萍，夏恒.化归在微积分学中的应用［J］.陕西工学院学报，2004，20(4):66－68.

［6］ 张敏.数学分析中导数知识的数学思维方法［J］.宁德师专学报:自然科学版，2010，22(3):285－287.

Application of Transformation Thought in Ordinary Differential Equation Teaching

JI Li-na1，ZHENG Qun-zhen2

(1.Department of Information and Computational Science，Henan Agricultural University，Zhengzhou450002，China; 2.Department of Mathematics，Henan Institute of Education，Zhengzhou450046，China)

The transformation thought in ordinary differential equation is overall summarized by analyzing the solutions of ordinary differential equations(systems)and the proof of the theorem of existence and uniqueness of the solution of first-order ordinary differential equation.The importance of emphasizing the transformation thought in the ordinary differential equation teaching is also discussed.

ordinary differential equation;teaching;transformation thought

G642.0;O175.1

A

1007－0834(2012)01－0053－02

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.01.017

2011－11－24

国家自然科学基金(11101332)

姬利娜(1979—)，女，河南新安人，河南农业大学信息与计算科学系讲师，博士，主要研究方向:偏微分方程.