儿童对等分概念的认知发展研究综述

乔 佳

（江苏师范大学科文学院，江苏 徐州 221000）

1 问题提出

早在人类还没出现语言之前，人们为了生存已开始用简单的符号来计数[1]。分数作为重要的数字知识之一，儿童是何时开始认识分数，他们又是如何掌握并运用分数的呢？很多研究显示，儿童在没有正式学习分数之前就已开始接触分数并对等分概念有了初步的感性认识。如:儿童会把苹果分成两半，把蛋糕分成四份等。在日常的生活中，我们也会看到即使很小的儿童都有能力把东西较等分地分成两份。本研究以儿童对分数中等分概念的认知发展进行阐述，以供为其深入研究奠定基础。

2 等分的概念

2.1 分数的概念

在古代，人们在分东西的时候，经常出现结果不是整数的情况，于是渐渐产生了分数。在我国，最初是用算筹表示，像2/5就表示成。后来，阿拉伯人发明了分数线，就把分数表示成现在的样子了[2]。

从数学角度考量，分数在小学教科书中被定义为“把整体‘1’平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数”[3]。从这个定义可以看出，分数的实质是等分。从教育心理学考量，Yoshida&Sawano认为，分数包括“部分与整体”、“比率”、“运算”等方面，但部分与整体的关系是分数认知的基础和前提[4]。

2.2 等分的概念

不论从何角度去定义分数概念，“等分”都是作为掌握分数的基础。而学会等分之前，儿童还需要了解“整体—部分”的关系，即了解整体与部分的关系又是认识等分概念的基础。

等分的概念比较容易理解，张新华认为，等分是分数概念的核心，指整体平均分成相等部分[5]。林福来等则将等分定义为是指将一个连续量或非离散量分开，而分开的各部分的量都是均等的，等分是儿童必须具备的基础概念[6]。

3 儿童对等分概念的认知发展

3.1 儿童对部分与整体关系的认知

部分与整体的关系是在研究分数概念中必不可少的重要内容。儿童对整体及部分关系的认识水平直接反映他们的思维水平与阶段，同时也是他们掌握等分概念的基础。

何记全在非除法运算解答包含除的实验中对6-7岁儿童对部分与整体的关系认知进行研究。结果表明，6-7岁的儿童具有一定的整体与部分的概念。此外，研究结果还显示，儿童对部分与整体关系的掌握有助于分数和数学知识的学习[7]。

Hunting研究发现，对于“整体与部分”关系的认知，3－4岁的儿童就已经可以初步理解，在5岁时，就可以完全掌握“一半”的概念[8]。

我国学者刘静和等就儿童对数及数学上的部分与整体关系的认知发展进行了系统研究。研究发现，儿童认识部分和整体的关系中，存在两个时间拐点，分别是5.5至6.5岁和7至8岁[9]。

由以上文献可以看出，在有关儿童分数中，部分与整体的关系研究时间都比较早，但在这些早期的整体与部分研究中却已包含了等分关系内容（如:在刘静和的研究项目中“一块蛋糕分给三个小朋友吃，怎么分可以让他们吃得一样多？”）部分与整体的关系是理解等分概念的先决条件，正如儿童必须先会数数，才能进行后续的数学运算一样。

3.2 儿童对等分概念的认知

皮亚杰等人在研究3-8岁儿童在处理等分任务中发现，儿童完成顺序依次是1/2、1/4、1/3、1/5和1/6。此外，皮亚杰认为，儿童的认知发展有以下几个阶段:（1）4至4.5岁的儿童，他们还不理解部分和整体之间的关系；（2）4至6岁的儿童对较简单的物体可以进行二等分，三等分对于儿童来说，比较困难；（3）6至7岁的儿童，已能完成三等分任务；（4）10岁左右的儿童，能对物体进行六等分。皮亚杰指出，明确等分的概念是儿童理解分数概念的重要前提。4岁左右的儿童基本可以进行二等分，6岁左右的儿童则可以进行三等分。Streefland观察他的孩子时也发现，孩子先会处理1/2、1/4的分数问题，然后才会处理1/3的分数问题[10]。

Inhelder&Szeminska在探讨被分割的整体是离散量还是连续量的研究中，发现儿童先会处理1/2，然后是1/3，1/4，1/5，三等分先于四等分被儿童所掌握。Hiebert&Tonnessen在对5-8岁的儿童进行面积的分数问题研究时，也发现儿童对长度的等分能力是三等分先于四等分[11]。

Pothier等人对儿童完成等分任务提出了一个五阶段的理论。首先是机械的分开:儿童只是机械地学习到将物体“分开”，而并没有意识到分开的物体要相等；其次是分半法则:儿童能以对折来获得分母为2n的分数，但并没意识到是否等分；第三是偶数等分:儿童能作出分母为偶数的等分；第四是奇数等分:此阶段的儿童可以对分母为奇数的数进行等分；最后是和数等分:即对于较大的份数，儿童开始寻求更有效的策略，他们先进行较小数目和较简单的等分，然后再继续等分下去，直到完成为止[12]。

Hunting&Sharpley对22名从3岁10个月到4岁10个月的儿童进行研究，分别让他们对不同形状的物体进行等分。结果表明，儿童首先掌握二等分，三等分相对困难；对线性物体的二等分易于圆形物体，其次是柱状物体，没有一名儿童能对容积问题进行等分[13]。

我国台湾学者许惠欣在对幼儿园大班儿童 (平均年龄5岁7个月)的连续量的分割研究中，也得到相似结论[15]。

张新华指出，3-6岁儿童等分的得分均数最高的依次是二等分、四等分，得分均数最低的是五等分。在各个等分任务上，除五等分外，在其余等分任务上不同年龄的儿童均存在显著差异[14]。

4 结语

由以上研究可知，儿童在生活上虽有“分”东西的经验，但对于简单的等分概念却无法从生活经验中直接习得。这表现为无论是在离散量还是连续量的情境，儿童都只是将东西分割，却没有注意到所分的物体是否存在相等。从等分的份数上看，儿童最先掌握二等分，然后是四等分、三等分和五等分等较为复杂的等分任务，而在四等分和三等分的发展上，不同的研究却存在差异。从研究材料的类型上，对线段等长度物体的等分易于圆形等平面图形，最难的立体图形如球形或柱形以及溶剂问题，儿童最后才能完成。从掌握的时间上看，儿童在3岁时就已经能开始进行二等分，不过5岁时才能对所有类型材料进行完全正确的二等分，6岁时才能理解和完成三等分。

随着社会各方面的不断进步，儿童对简单的等分问题是不是也会有所发展，更小的儿童是不是已能掌握二等分甚至是三等分的概念，这一问题值得思考。其次，儿童在平时生活中会接触等分的概念，对于国内特殊的三口之家的家庭结构，儿童平时接触最多的是数字“三”，这是否对其掌握三等分有帮助，甚至早理解三等分的概念先于二等分呢？第三，儿童在等分概念的学习中是不是也存在所谓的“关键期”，如果存在是在什么时期，这也是以后所要进一步研究的方向之一。

[1]傅海伦，中外数学史概论[M].北京:科学出版社，2007(2)，176.

[2]三年级上册数学课本[M].南京:江苏教育出版社，2008,98.

[3]五年级下册数学课本[M].南京:江苏教育出版社，2006,36.

[4]Yoshida,H.&Sawano,K.Overcoming cognitive obstacles in learning fractions:Equal－partitioning and equal－whole[J].Japanese Psycho－Logical Research,2002(44).

[5]张新华.3－6岁儿童早期分数概念发展的研究[D].华东师范大学硕士学位论文,2008.

[6]林福来，黄敏晃，（1993）；吕玉琴（1996）.分数启蒙的学习与教学之发展性研究[J].科学教育学刊，4（2），161－169.

[7]何记全.关于儿童部分与整体关系认知发展的实验研究[J].心理学报，1982(1):41－48.

[8]Hunting,R.P.Alan:A case study of knowledge of units and Performance[J].Journal for Research in Mathematics E-ducation.1983（14），3:182－197.

[9]刘静和.儿童在数及数学上对部分与整体关系认识的发展[J].心理学报，1982（3）:35－43.

[10]Piaget,J.Inhelder,B.&Szeminska,A.The child’s conception of geometry[M].New York:Basic Book,1960.

[11]Hiebert,J.&Tonnessen,L.H.Development of the friction concept in Two physical contexts:An Exploratory Investigation [J].Journal for Research in Mathematics Education,1978（9）:374－378.

[12]Pothier，Y.&Sawada,D.Partitioning:The emergence of rational number ideas in young children[J].Journal for Research in Mathematics Education,1983,14(4):307－317.

[13]Hunting,R.P.&Sharpley,C.F.,Fraction knowledge in preschool children[J].Research in Mathematics Education,1998（19），2: 175－180.

[14]许惠欣.幼儿分配能力之研究:从切割与折纸探析.台南师院学报，1998(31):327－369.

[15]詹婉华.国小高年级血统分数概念之探究[D].国立台北师范学院数理教育研究所硕士论文,2003.