基于拟欧拉角描述的上面级姿态控制律设计

夏喜旺 刘汉兵 杜 涵

上海宇航系统工程研究所,上海 201108



基于拟欧拉角描述的上面级姿态控制律设计

夏喜旺 刘汉兵 杜 涵

上海宇航系统工程研究所,上海 201108

上面级在多星部署过程中将涉及大角度姿态机动问题，卫星释放所引起的质心横移将给上面级姿态控制带来困难。根据系统质心的横移情况，在上面级体坐标系中确定矢量喷管的平衡位置，进而确定出矢量喷管指向指令方向时的上面级姿态。调制姿态四元数可以得到描述上面级姿态偏差的拟欧拉角及相应的拟欧拉角速度，在拟欧拉角描述的上面级姿态运动模型的基础上，选择合适的滑模面，构造变结构控制律。仿真结果表明，该控制律可对上面级姿态进行控制，进而实现对矢量喷管指向的间接控制，喷管摆角的限幅不会影响姿态控制的过程。

姿态控制; 拟欧拉角; 推力矢量控制; 变结构控制

运载火箭上面级负责将所携带的载荷送入预定轨道。在执行多星部署任务过程中，上面级需在轨运行相当长的时间，其姿态将在大范围内变动。三元姿态参数(如欧拉角，Rodrigures参数，修正的Rodrigures参数等)所描述的姿态运动方程存在奇异性，因此基于三元姿态描述参数的姿态运动模型不适于描述上面级的姿态运动。另外，上面级并排布局的载荷的释放将引起系统质心的横移，此时轴向变轨推力必将严重影响上面级姿态。

基于姿态四元数的姿态运动方程可以避免欧拉角姿态运动学方程中的奇异现象，且四元数姿态描述具有计算量小、速度快、运动模型简单的优点，因而在处理大角度姿态机动的场景中得到了广泛应用。但姿态四元数的物理意义不明确，且因计算机字长所限，四元数的模在长时间计算之后将不再为1，相应的坐标变换矩阵也将失去正交性，而这将引起姿态偏差。Sheppherd[2]、Markley[3]等人研究了从失去正交性的坐标变换矩阵中提取单位四元数并重构正交矩阵的方法。另外，在反馈控制过程中，姿态四元数的符号二义性还将引起反馈控制过程中不必要的unwinding现象[1]。将姿态四元数进行调制可以获得描述飞行器姿态偏差的姿态拟欧拉角参数[4-8]，基于拟欧拉角的姿态运动模型继承了四元数姿态运动模型的非奇异性；由于控制力矩为目标姿态四元数与拟欧拉角参数的函数，因此可以回避四元数的符号二义性，即可避免unwinding现象。在姿态控制过程中，拟欧拉角参数的3个分量分别描述3个控制通道的状态，并由控制力矩的3个分量分别控制。三通道间的耦合项随着上面级姿态向目标姿态的趋近而逐渐减小；在到达目标姿态时，拟欧拉角及拟欧拉角速度都将为0。

推力矢量控制(TVC, Thrust Vector Control)能迅速响应姿态控制指令。但若系统质心因载荷释放而发生了较明显的横移，位于平衡位置时的矢量喷管指向与上面级体轴间存在预置偏角[9]并指向系统质心。据矢量喷管平衡位置相对于上面级的位置可确定出上面级需求姿态，采用TVC技术将上面级姿态控制到该需求姿态即可保证推力沿指令方向。在设计矢量喷管摆角时需要对其变化规律进行预测，故可采用变结构控制律或PD控制律来设计矢量喷管摆角的变化率。本文即是以TVC加滚控发动机作为姿控执行机构，基于拟欧拉角参数来设计上面级变结构姿态控制律的。

1 四元数及姿态运动的四元数描述

假设坐标系绕空间矢量E旋转了α角，则定义旋转过程所对应的四元数[10]为:

q0+q1i+q2j+q3k=q0+q

(1)

这里，Ex，Ey和Ez为矢量E的分量，q0，q1，q2和q3为任意实数，q0和q=q1i+q2j+q3k分别为四元数的标部和矢部。q的共轭四元数q*为:

(2)

将四元数p=p0+p1i+p2j+p3k，q=q0+q1i+q2j+q3k写成向量形式，即为：p=[p0p1p2p3]T，q=[q0q1q2q3]T，此时有:

(3)

这里，“·”表示四元数乘法。

由于3个独立参数即可描述上面级姿态，因此四元数的4个分量并不完全独立，通常会将姿态四元数选为单位四元数。

设θ，ψ和γ为3-2-1旋转下的姿态描述，3次旋转轴E分别为Z，Y和X3个坐标轴，应用式即可得到3次旋转所对应的旋转四元数

(4)

运用式(3)并化简，则可得弹体姿态所对应的姿态四元数q，即：

(5)

姿态四元数描述的上面级姿态运动学方程[10～11]为：

(6)

其中，q=[q0,q1,q2,q3]T，ω=[ωx,ωy,ωz]T，并有：

(7)

易有：GT(q)G(q)=I3(I3为3×3单位矩阵)。

2 期望姿态四元数的确定

设上面级因载荷释放而发生了质心横移，显然，轴向变轨推力将对偏航和俯仰通道的控制带来较大影响。设系统质心C在坐标系OXYZ(见图1)中的坐标为[xC,yC,zC]，则C指向变轨推力作用点O的矢径为：

(8)

这里，L为点C到点O的距离，θ20为矢径r与平面XOZ的夹角，θ10为矢径r在平面XOZ上的投影与OX轴的夹角。显然有：

(9)

图1 上面级质心横移示意图

θ10和θ20决定着矢径r在坐标系OXYZ中的指向。由于上面级质心横移主要是因载荷分离所引起的，故在变轨推进过程中可认为此二角不发生改变(事实上，若此二角因质心位置变化而发生了轻微改变，可视其所引起的附加力矩为干扰力矩，并采用具有较好鲁棒性的控制律，如变结构控制律进行抑制处理)。

若θ10和θ20不全为0，即系统质心出现了横移，则轴向变轨推力将显著影响上面级的姿态。旋转矢量喷管使变轨推力线通过系统质心，可以消除推力对姿态的影响，但此时上面级的姿态将无法保证推进方向即为指令制导方向。由于姿控机构的控制对象为上面级姿态而非变轨推进方向，故此时需由上面级的指令制导方向qZD、质心位置确定出其需求姿态qf。

设上面级姿态四元数为q，矢量喷管相对于弹体的2个旋转角分别为θ10和θ20，则矢量喷管所对应的姿态四元数qG满足：

(10)

式(10)中，QQ为合成旋转四元数，其共轭四元数为QQ*。由式(1)可得：

(11)

根据式(10)和式(3)可知，由喷管姿态可反求得上面级姿态：

(12)

对心过程完成后，姿控系统须将矢量喷管的姿态由qG控制到qZD，此时上面级的需求姿态qf应为：

(13)

3 上面级姿态运动模型

上面级姿态动力学方程可写为：

(14)

上式中，ω=[ωxωyωz]T为上面级相对于惯性空间的转动角速度，MC为控制力矩，II为上面级转动惯量。在采用欧拉角描述上面级姿态时，由于欧拉角的次递性，三通道间存在耦合。三通道间的强烈耦合将给姿态控制律的设计带来困难，因此在设计姿态控制律时应尽可能地去除这种耦合影响。姿态四元数对应的只是1次空间旋转，拟欧拉角参数继承了这个特点。由于拟欧拉角3个分量对应于3个控制通道，并分别由控制力矩的3个分量所控，因此可认为基于拟欧拉角的姿态运动模型的3个通道是解耦的。

根据当前姿态四元数q和需求姿态四元数qf，并引入式(6)，构造上面级的姿态拟欧拉角及拟欧拉角速度，即：

σ=2GT(qf)q

(15)

对拟欧拉角速度求导，有：

(16)

经过简单的数学运算可有：

(17)

这里，ω为角速度的模。此时有：

(18)

式(18)即为上面级的姿态运动模型。

4 变结构姿态控制律设计

在拟欧拉角参数所确定的相平面上取开关面(为超平面)为s=σ+υ，对其求导，并代入式(18)，则有：

(19)

为加快相轨迹向开关面趋近的速度，这里取指数趋近律，即，

(20)

则有：

(21)

可解得：

(22)

MC为变结构控制律所确定出来的需求控制力矩。由式(15)可知，目标姿态四元数分别取为qf和-qf时，所对应的拟欧拉角参数符号相反；但又由式(22)可知，MC表达式中有关拟欧拉角参数的项前面又乘了一个GT(qf)，因此MC的取值与目标姿态四元数取qf或-qf无关。

(23)

即，所设计的变结构控制律可保证系统渐近稳定。

推力矢量方向在上面级体坐标系中可由推力偏角θ1和推力仰角θ2(如图2所示)共同决定，写成分量形式为：

(24)

若θ1和θ2不完全与θ10和θ20相等，则由式(8)和式(24)可以确定出推力矢量所形成的控制力矩：

(25)

图2 推力矢量及滚控喷管在参考坐标系中的描述

式(25)中，rx，ry，rz分别为矢量r在x，y，z轴上的分量，并对应于式(8)。

对比式(22)中MC的后2项和式(25)中MThrust的后2项，可以确定出产生变结构控制要求的控制力矩所对应的推力偏角θ1与推力仰角θ2。此时推力矢量对滚转通道的干扰即MThrust的第一项MTx也将得以确定。随着控制进程的推进，系统的姿态将不断向目标姿态趋近，角速度及拟欧拉角参数也将趋近于0，式(22)所确定的需求控制力矩也将不断减小，相应地，变轨发动机矢量喷管摆角相对于其平衡位置的摆动幅值也不断减小。但控制开始时刻所需的控制力矩可能较大，进而可能造成矢量喷管的需求摆动角过大，而过大的摆角可能会引起过大的推力损失。为保证变轨推力不因姿控过程而产生较大的推力损失，这里可对姿控过程中矢量喷管的推力偏角和推力仰角进行限幅，如设定

(26)

这里，θm为相应摆角的变化幅值。

滚转通道主要由安装在YOZ平面上、提供侧向力的4个滚控发动机来控制(见图2)，其中，1#和3#发动机提供正向控制作用，2#和4#发动机提供反向控制作用。由于滚转通道由这两对控制作用相反的姿控发动机来控，则滚控发动机所应提供的控制力矩Mr为：

(27)

由于滚控发动机所提供的正向或反向的控制力矩是定额的，因此滚控发动机可采用PWPF策略来提供时变的控制力矩。任一时刻，滚控发动机所提供的控制力矩为：

Mx=Mesgn(Mr)=Tdsgn(Mr)

(28)

这里，Me为滚控发动机所提供的滚控力矩的大小，T为滚控发动机推力，d为上面级直径。

5 仿真

上面级初始参数，包括上面级直径，初始姿态，质心坐标，滚控发动机推力，变轨发动机推力等，由表1给出。这里上面级存在有较大的质心横移，而矢量喷管的平衡位置为θ10=-26.565°及θ20=-53.301°，即只有当矢量喷管偏转θ10和θ20时，变轨推力对姿态的影响方为0。

表1 初始参数

式(20)中的参数k取为1，ε分别取为0.01和0.000001，则在不限矢量喷管摆角幅值的情况下，其摆角变化曲线见图3，易有：ε越大，姿态控制的时间就越短，但控制末端矢量喷管需做较大振幅的高频颤振；相反，ε越小，控制末端矢量喷管的摆动情况越平滑，但姿控时间却越长。若ε足够小，则姿控过程即与PD控制的临界阻尼控制过程[5]相重合。

图3 推力曲线

为避免矢量喷管的摇摆造成变轨推力的过大损失，这里按式(26)对其摆角进行限幅。取θm为5°，则相应的推力摆角变化规律，以及姿控过程相关参数的变化曲线均如图4所示。

图4 仿真结果

对比图3和图4(a)可知，采取摆角限幅之后，矢量喷管的初始摆角无须过大，而其变化的“波峰”明显升高，其趋近于平衡位置的时间稍有滞后，但最终依然能够趋于其平衡位置，且整个姿控时间并无明显变化。图4(a)显示，对矢量喷管摆角进行限幅取得了较好的效果，若要保证初始摆角与矢量喷管的平衡位置角(即θ10与θ20)一致，可将限幅值θm取为时变参数，将其由0°平缓过渡到5°。

由图4(b)可知，在姿控终了时刻，矢量喷管的指向即为指令制导方向。在姿控过程中，由于只约束了喷管相对于上面级的偏航与摇摆，而无约束其相对滚转角，因此在将矢量喷管指向控制到指令方向上时，上面级的滚转角不为0，如图4(c)所示，不过这并不影响上面级的控制，只需在变轨后对上面级进行适当的滚控即可消除其滚转角的偏差，当然，在由指令制导方向确定喷管目标姿态时加入滚转角的偏差信息也可以保证上面级的滚转角为0。

由图4(d)易见，随着控制过程的推进，上面级姿态拟欧拉角将逐渐向0趋近，拟欧拉角速度则既服务于拟欧拉角的减小，又不断向0趋近，其变化趋势基本与上面级角速度的变化趋势(见图4(e))相一致。另外，拟欧拉角速度及角速度的滚转分量的变化曲线因PWPF技术的应用而出现了折线变化。

6 结论

1)将上面级姿态四元数进行调制，得到一组描述上面级姿态偏差的拟欧拉角，基于拟欧拉角描述的上面级姿态运动方程具有物理意义明确、无奇异、末端值为坐标原点等优点；

2)对于出现质心横移的情形，本文首先确定出矢量喷管的平衡位置，并基于该平衡位置相对于上面级体坐标系的位置关系，确定出将喷管指向控制到指令方向上时上面级所对应的姿态，使得质心横移飞行器的姿态控制可按普通的姿态控制律进行设计；

3)设计了用于控制上面级姿态的变结构姿态控制律，进而间接地控制了变轨推进方向，以保证其可对指令方向进行快速、准确的跟踪；

4)为保证姿态过程不过大损失变轨推力，可对矢量喷管的摆角进行限幅，限幅不会明显影响上面级的姿控过程。

[1] S.Bhat, D.Benstein.A Topological Obstruction to Continuous Global Stabilization of Rotation Motion and the Unwinding Phenomenon[J].Systems and Control Letters,2000,39(1):63-70.

[2] S.W.Shepperd.Quaternion from Rotation Matrix[J].Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1978,1(3):223-224.

[3] F.L.Markley.Unit Quaternion from Rotation Matrix[J].Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2008,31(2):440-442.

[4] 荆武兴，黄文虎，吴瑶华，杨涤．航天器姿态机动的拟欧拉角反馈控制[J]．宇航学报,1994, 15(2):41-47．(JING Wuxing，HUANG Wenhu，WU Yaohua，YANG Di．Quasi-Euler-angles Feedback Control of Spacecraft Attitude Maneuver[J]．Journal of Astronautics,1994,15(2):41-47．)

[5] 荆武兴，韩品尧，王学孝，吴瑶华．基于拟欧拉角信号的连续力矩姿态机动控制[J]．宇航学报,1996,17(2):6-12．(JING Wuxing，HAN Pinyao，WANG Xuexiao，WU Yaohua．Quasi-Euler-angles-based Attitude Maneuver Control with Continuous Moment[J])．Journal of Astronautics．1996,17(2):6-12．)

[6] Jing W,Xia X,Gao C and Wei W.Attitude Control for Spacecraft with Swinging Large-scale Payload[J].Chinese Journal of Aeronautics, 2011,32(3): 309-317.

[7] Xia X,Jing W,Li C and Gao C.Time-shared Scheme Design for Attitude Control System during Space Separation[J].Aerospace Science and Technology,2011,15(2):108-116.

[8] Xia X,Jing W,Gao W and Wei W, Attitude Control of Spacecraft during Propulsion of Swing Thruster[J].Journal of Harbin Institute of Technology (New version), 2012,19(1):94-100.

[9] B.Wie.Thrust Vector Control Design for a Liquid Upper Stage Spacecraft[C].AIAA 1985-1914:396-405.

[10] 黄圳圭．航天器姿态动力学[M]．长沙：国防科技大学出版社,1997．(HUANG Zhen-gui．Spacecraft Attitude Dynamics[M].National University of defense Technology Press，1997．)

[11] W.F.Philips, E.E.Hailey and G.A.Gebert.Review of Attitude Representations Used for Aircarft Kinematics[J].Journal of Aircraft, 2001,38(4):718-737.

The Attitude Control Law Design Based on Qausi-Euler-Angle Scheme in the Upper Stage

XIA Xiwang LIU Hanbing DU Han

Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201108, China

Thelarge-anglemaneuverproblemisconcernedintheprocessofmulti-satellitedeployment.Thecentroidoffsetduringthedeploymentcanbringdifficultiestothecontrollawdesign.Withthecorrespondingknowledgeoftheoffsetofthecenterofmass,theequilibriumpositionofthevectoringnozzlecanbedeterminedandthecorrespondingattitudeoftheupperstagewiththenozzlepointsalongthecommanddirectioncanbedeterminedaswell.ThequasiEuleranglevectorandquasiEulerangularvelocityvectorareyieldedbymodulatingattitudequaternion,whichdescribethedifferenceandtherateofthecurrentandthedesiredattitudes.Basedonthequasi-Euler-angles-basedattitudemotionmodelinupperstage,whenaproperslidingmodesurfaceisspecified,avariablestructurecontrolschemeisproposed.Thesimulationresultsshowthattheattitudeoftheupperstageandfurtherthepointingofthevectoringnozzlecanbeperfectlycontrolledbyusingtheproposedcontrolscheme.Inaddition,theattitudecontrolprocesscannotbesignificantlyinfluencedunderthedefinitionoftheboundsofthedeflectedangles.

Attitudecontrol;Quasi-Euler-angles;Thrustvectorcontrol;Variablestructurecontrol

2011-11-23

夏喜旺(1978-)，男，河南鄢陵人，博士，工程师，主要研究方向为飞行器动力学与控制；刘汉兵(1967-)，男，江苏南通人，硕士，研究员，主要研究方向为航天器总体设计，动力学与控制；杜 涵(1984-)，女，山东荣成人，硕士，助理工程师，主要研究方向为空间飞行器结构设计及复合材料设计。

V448.22

A

1006-3242(2012)03-0045-06