半立方抛物线形渠道正常水深的近似计算公式

滕 凯

半立方抛物线形渠道正常水深的近似计算公式

滕 凯

（齐齐哈尔市水务局，黑龙江齐齐哈尔 161006）

针对目前半立方抛物线形断面渠道正常水深计算存在的计算过程繁琐复杂、求解成果精度不高等问题，经对正常水深基本计算方程的变形整理，通过引入无量纲水深及特征参数，采用优化拟合的方法，取标准剩余差最小为目标函数，在工程适用参数范围内，经逐次逼近拟合计算，得到了表达形式简单、计算过程简捷、实用范围广、便于工程设计人员实际应用的近似计算公式。误差分析及算例计算表明：拟合公式的最大相对误差仅为0.261%，完全满足实际工程的设计精度要求。该近似计算公式为半立方抛物线形断面渠道正常水深计算提供了更加有效的计算方法，具有应用推广价值。

抛物线形渠道；均匀流水深；优化拟合；水力计算

由于抛物线形渠道断面曲线连续，便于机械化施工作业，且有水流条件好、力学性能优越等优点，因此正越来越广泛地被应用于水利水电灌排及城市供排水工程，而半立方抛物线形渠道就是该种断面的主要形式之一。由于半立方抛物线形渠道断面的水力计算涉及高次方程的求解，采用常规的试算法及图解法不但计算过程繁复而且成果精度不高，因此相关的水力计算问题也逐渐引起了有关学者的重视，并开展了相关的研究工作［1－2］。由于渠道正常水深是渠道工程设计以及渠道水量实行自动控制的重要参数依据，因此开展半立方抛物线形渠道正常水深计算方面的研究具有一定的实际意义。就目前有关研究成果看，该项工作已经获得了较大进展。文献［3］提出了半立方抛物线正常水深的迭代计算法，但因无合理初值，反复计算工作量较大；文献［4］通过优化拟合法给出了半立方抛物线正常水深的直接计算式，但公式形式不够简单，适用范围较小，且拟合误差较大（在原文给定范围内，均匀流水深最大计算误差达0.91%）；文献［5］通过引入断面特征水深，经对求解半立方抛物线形断面渠道正常水深基本方程的变形整理，得到其求解正常水深的迭代公式，再根据优化计算获得了迭代初值函数，通过初值函数与迭代公式联合运用，给出了半立方抛物线形断面渠道正常水深的计算公式，虽然公式适用范围较广，但因初值函数及迭代公式均较繁琐，不便实际应用。为了进一步简化半立方抛物线形断面渠道正常水深的计算过程，本文采用优化拟合的方法，以标准剩余差最小为目标函数，获得了一种表达形式简捷、实用范围广、计算精度高的近似公式。

1 均匀流水深基本计算公式

以曼宁公式表示的明渠正常水深计算基本方程为［6］

式中：Q为过水流量（m3／s）；n为渠床糙率；i为渠底坡降；A为过水断面面积（m2）；X为过水湿周（m）。

半立方抛物线形断面曲线方程为

式中：p为半立方抛物线形状参数（m－1／2）；b为过水断面的水面宽度（m）；h为过水断面的正常水深（m）。

半立方抛物线形过水断面面积及湿周分别为：

将式（3）、式（4）代入式（1），经整理可得

式中：x为无量纲水深；k为特征参数。

将式（6）、式（7）代入式（5），经进一步整理即可获得计算半立方抛物线形断面正常水深的计算公式为

2 近似计算公式的建立及精度分析

2.1 公式建立

式（8）为高次函数的超越方程，无法直接获解。为避免利用式（8）求解超越方程问题，现假设

并且式（9）拟合函数的值域在工程实用范围内（即0.001 6≤x≤4.20，7.3×10－11≤k≤38.6）可以替代式（8），以标准剩余差最小［7］为目标函数即

式中n为拟合计算的数组数。

经逐次逼近拟合［8］，即可获得如下替代函数

2.2 精度分析及比较

为比较式（10）与式（8）的拟合精度，考虑在工程实用范围内并适当外延（即0.001 6≤x≤4.2，7.3×10－11≤k≤38.6），取不同的xi值，即可由式（8）分别计算出与之相对应的ki，再将ki代入式（10）求得与之相对应的x′i，并由下式完成式（10）替代式（8）的拟合相对误差计算：计算结果如表1所示。

表1 式（10）替代式（8）相对误差计算结果Table 1 Calculated relative errors by rep lacing equation（8）w ith equation（10）

由表1可见，在工程实用范围内（即0.001 6≤x≤4.2），用式（10）替代式（8）的最大拟合相对误差为0.261%，而当文献［4］和文献［5］公式的应用范围取与本文相同时，其最大拟合相对误差分别为23.159%和0.482%，分别是本文最大拟合相对误差的88倍和1.85倍，本文式（10）具有更好的拟合替代精度。

通过对公式形式及通用性比较可见，本文公式较文献［4］和文献［5］公式更加简单，计算过程也更加简捷；本文公式的实用范围为7.3×10－11≤k≤38.6，较文献［4］公式具有更好的实用性。具体比较结果见表2所示。

表2 半立方抛物线正常水深公式形式、最大相对误差比较Table 2 Comparison of equations and maximum relative errors for the normal depth of sem i-cubic parabolic channel

应该说明的是，上述拟合误差分析是针对无量纲水深x进行的，因

而正常水深h的相对误差计算应为

将式（12）、式（13）代入式（14），经整理可得

本文公式无量纲水深x的最大拟合误差为0.261%，则由式（16）可求得正常水深h的最大计算误差为0.391%。而当文献［4］和文献［5］的应用范围取与本文相同时，水深h的最大计算误差分别为32.642%和0.722%，本文公式正常水深h的最大计算误差较文献［4］和文献［5］中公式计算的最大误差分别减小了98.8%和45.8%。

3 算 例

采用文献［4］算例：某半立方抛物线形渠道横断面的曲线方程为y＝0.4x3／2，渠道糙率n＝0.025，坡降i＝5.2×10－4，求当过水流量Q＝20 m3／s时渠道的正常水深h。

由式（6），可求得

将k＝0.086 131代入式（10）即可求得

经计算机编程计算得本例正常水深精确解为h＝3.341 m，本文公式计算相对误差为0.15%。

4 结 论

半立方抛物线形渠道断面正常水深计算涉及高次方程求解，为避免求解高次方程之繁，本文依据优化拟合理论，获得了可直接完成该断面正常水深求解的近似计算公式，与目前已有研究成果所提出的计算公式比较具有以下特点：

（1）公式表达形式更加简洁直观，更便于记忆，实际工作仅借助计算器即可实现快速完成解算，适于广大基层工程技术人员实际应用。

（2）通过精度比较及算例计算分析表明，在实用参数范围内，本文公式具有较高的计算精度，正常水深h的最大计算误差仅为0.391%。完全可以满足实际工程的设计精度要求。

［1］ 魏文礼，杨国丽.立方抛物线渠道水力最优断面的计算［J］.武汉大学学报：工学版，2006，（3）：49－51.（WEIWen-li，YANG Guo-li.Hydraulic Calculation of Optimal Cross-Section of Cubic Parabola Channel［J］.Engineering Journal of Wuhan University，2006，（3）：49－51.（in Chinese））

［2］ 张志昌，刘亚菲，刘松舰.抛物线形渠道水力最优断面的计算［J］.西安理工大学学报，2002，18（3）：235－237.（ZHANG Zhi-chang，LIU Ya-fei，LIU Song-jian.Parabola-Shaped Channel Hydraulic Calculation of Optimal Cross-Section［J］.Xi’an University of Technology，2002，18（3）：235－237.（in Chinese））

［3］ 明万才，黄开路，张晓莲.立方抛物线形断面明渠水力计算探讨［J］.水利科技与经济，2002，8（2）：74.（MING Wan-cai，HUANG Kai-lu，ZHANG Xiao-lian.Cubic Parabolic Cross-Section of Open Channel Hydraulic Calculation［J］.Water Science and Technology and the Economy，2002，8（2）：74.（in Chinese））

［4］ 文 辉，李凤玲.立方抛物线形渠道水力计算的显式计算式［J］.人民黄河，2010，（1）：75－76.（WEN Hui，LIFeng-ling.Explicit Calculation of the Hydraulic Calculation of Cubic Parabolic Channel［J］.Yellow River，2010，（1）：75－76.（in Chinese））

［5］ 赵延风，王中正，方 兴，等.半立方抛物线形渠道正常水深算法［J］.排灌机械工程学报，2011，2（3）：241－245.（ZHAO Yan-feng，WANG Zhong-zheng，FANG Xing，et al.Calculation Method for Normal Depth of Semi-Cubic Parabolic Channels［J］.Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering，2011，2（3）：241－245.（in Chinese））

［6］ 清华大学.水力学（修订本）上册［M］.北京：清华大学出版社，1990.（Tsinghua University.Hydraulics（Revised）the First Volume［M］.Beijing：Tsinghua University Press，1990.（in Chinese））

［7］ 王慧文.偏最小二乘回归法及其应用［M］.北京：北京国防工业出版社，1999.（WANG Hui-wen.Partial Least Squares Regression Method and Its Application［M］.Beijing：National Defense Industry Press，1999.（in Chinese））

［8］ 阎凤文.测量数据处理方法［M］.北京：原子能出版社，1988.（YAN Feng-wen.Method of Measurement Data Processing［M］.Beijing：Atomic Energy Press，1988.（in Chinese） ）

（编辑：刘运飞）

The Approximate Formula for NormalWater Depth of Sem i-Cubic Parabolic Channels

TENG Kai
（Qiqihar MunicipalWater Affairs Bureau，Qiqihar 161006，China）

The current calculation of the normalwater depth of semi-cubic parabola-shaped channel has such shortcomings as complex process and inadequate precision.Through transforming the basic equation of normal water depth and by introducing the dimensionless water depth and the characteristic parameter，we present an approximate formula which is obtained through successive approximation and fitting equation of normal water depth，with theminimum standard residual difference as the objective function.The formula is simple，convenient，applicable and practical.Error analysis and calculation example show that themaximum relative error is only 0.261%，which meets the requirements of engineering accuracy.This research provides amore effective approach of calculating the normal depth of semi-cubic parabolic channel.

parabolic channel；uniform flow depth；optimization and fitting；hydraulic calculation

TV131.4

A

1001－5485（2012）12－0030－04

10.3969／j.issn.1001－5485.2012.12.007 2012，29（12）：30－33

2011－10－17；

2012－01－15

滕 凯（1957－），男，黑龙江齐齐哈尔人，高级工程师，主要从事水利防灾减灾及工程优化设计研究，（电话）13704618836（电子信箱）tengkai007＠163.com。