锐边突风对大展弦比机翼的气动弹性响应影响

刘伏虎，马晓平

（西北工业大学无人机特种技术国家重点实验室，陕西西安 710065）

引言

现代飞行器设计日益要求高速度和高机动性，使得飞行器日益呈现出轻结构和大柔性的特点，因此气动弹性的动稳定性和动力响应问题变得日益突出［1］。气动弹性动稳定性主要研究颤振问题，动力响应主要讨论气动弹性系统在突风作用下引起的气动弹性响应问题。文献［2］以二元机翼为对象，利用Jones气动力近似方法建立了气动弹性响应模型，研究了锐边突风对系统气动弹性响应的影响。文献［3］以大展弦比均匀直机翼为对象，求解一阶扭转和一阶弯曲情况下系统的颤振速度，利用准定常气动力模型研究了锐边突风二元机翼以及直机翼的气动弹性响应影响。

本文将以大展弦比均匀直机翼为对象，以非定常气动力为基础，建立系统响应模型，采用V-g法在二阶扭转和二阶弯曲模态下求解系统的颤振速度。以Kussner函数为基础，建立锐边突风模型，研究锐边突风对系统气动弹性响应的影响。

1 建立模型

设大展弦比均匀直机翼的半展长为l，单位展长质量为m。图1为其剖面示意图。图中，b为翼型的半弦长；a为翼弦中点到弹性轴的距离占半弦长的百分比，弹性轴在半弦线之后a＞0，弹性轴位于距离机翼弦线中点ab处；xα为重心与弹性轴的距离占半弦长的百分比，重心在弹性轴之后xα＞0，重心与弹性轴的距离为xαb。

图1 剖面示意图

设弹性轴弯曲变形为w（y），向上为正，扭转变形为α（y），迎风抬头为正；机翼为等截面，其弯曲刚度和扭转刚度分别为EI和GJ，均为常数；机翼的弯曲和扭转模态阶数分别为Nw和Nα，机翼弯曲振型和扭转振型函数分别为ψi（y）和φi（y）；Sα=mxαb为单位展长机翼对弹性轴的质量静矩，Iα=mr2αb2为单位展长机翼对弹性轴的质量惯性矩。

通过推导得到系统势能和动能的表达式，以及系统做的虚功，利用拉格朗日方程得到模态坐标下机翼的运动方程为:

其中:

式中，i=1，2，…，Nw；j=1，2，…，Nα。

大展弦比均匀直机翼弯曲振型和扭转振型的函数表达式为［1］:

其中:

单位展长二元机翼所受气动力为［4］:

由模态转换和模态振型函数之间的正交性，可得系统气动力表达式为:

其中:

2 锐边突风的影响

模态坐标下锐边突风气动力和力矩表达式可以

写为如下形式［5］:

式中，ψ（s）=1－e－0.13s/2－e－s/2为 Kussner函数。将式（2）和式（3）代入式（7）和式（8）得到:

上式即为锐边突风QG=［LGTG］T的表达式。在研究系统响应时，需要将系统表达在时域空间中，系统中Theodorsen函数C（k）的Wagner近似形式见文献［6］。

引入空气动力状态变量后单位展长机翼非定常气动力可重新表达为:

式中，δ=1 －δ1－δ2。

在模态坐标下xa满足自身运动的状态空间表达式为:

其中:

这样，系统运动方程可重新表达为:

式中的空气动力相关矩阵重新写为:

建立系统状态空间方程如下:

3 仿真分析

本文采用的机翼参数为:xα=0.4，a=－0.2，m=（19.6/l）kg/m，l=1 m，b=0.0915 m，Iα=0.1236 kg·m2，EI=35.96 N·m2，GJ=25.94 N·m2，引入人工结构阻尼g，令q=eiωt，通过V-g法求解系统的颤振速度，取系统二阶弯曲和二阶扭转模态，仿真结果如图2所示。由图2可以看出，一阶扭转先出现发散，计算得到系统的颤振速度VF=33.2 m/s，颤振频率为fF=3.15 Hz。

由于系统一阶扭转先出现发散，因此取一阶弯曲和一阶扭转模态研究锐边突风对系统气动弹性响应的影响，突风速度wG=2 m/s，仿真初始条件为x0= [0 0 0.01 0.2 0 0]T，响应结果如图3～图5所示。从图中可以看出，加入锐边突风后，V＜VF时系统为收敛振荡，V=VF时系统为等幅振荡，V＞VF时系统为发散振荡。可以得出VF并未改变，而系统的响应振幅变大。从系统的状态空间方程出发，影响系统VF的因素主要由A的特征值决定。当加入突风后，其特征值并未改变；从系统结构出发，突风并未改变系统本身的机构参数，加入突风相当于给了系统一个外加的扰动力，因此系统响应只是振幅改变。

图2 系统颤振示意图（Nw=2，Nα=2）

图3 V=0.99VF时加入突风后的翼尖响应

图4 V=VF时加入突风后的翼尖响应

图5 V=1.01VF时加入突风后的翼尖响应

4 结束语

本文以大展弦比直机翼为对象，基于非定常气动力理论建立了系统的气动弹性运动方程，并取二阶弯曲和二阶扭转模态求得系统的颤振速度。建立了弯曲和扭转模态阶数为Nw和Nα下的系统状态方程，研究了锐边突风分别在小于、等于和大于颤振速度下对系统的气动弹性响应的影响。结果表明，锐边突风增大了系统响应的振幅。整个系统的建模过程对下一步研究飞行器突风响应有一定的参考意义。

［1］赵永辉.气动弹性力学与控制［M］.北京:科学出版社，2007.

［2］Kargarnovin M H，Mamandi A.Aeroelastic response for pure plunging motion of a typical section due to sharp edged gust using jones approximation aerodynamics［J］.World Academy of Science，Engineering and Technology，2007，36（1）:154-161.

［3］Haddadpour H，Shams S，Kheiri M.Sharp edge gust effects on aeroelastic behavior of a flexible wing with high aspect ratio［R］.AIAA-2005-838，2005.

［4］Theodorsen T.General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flutter［R］.National Advisory Commission for Aeronautics，NACA-TR-496，1949.

［5］Earl H D.A modern course in aeroelasticity［M］.Kluwer Academic Publishers，1995.

［6］Sutherland A N.A demonstration of pitch—plunge flutter suppression using LQG control［R］.ICAS2010，2010.