整式运算中的数学思想

☉江苏省宝应县实验初中 李万海

整式的运算中，隐含着许多重要的数学思想方法，现归纳起来主要有以下几种，供大家参考：

一、整体思想

例1（2012年厦门市）已知a+b=2，ab=-1，则3a+ab+3b=______；a2+b2=______.

分析：观察所要求值的整式特点，用因式分解手段，分别把它们进行变形，使它们中出现a+b及ab这样的组合，再将a+b=2，ab=-1整体代入即可求得答案.

解：因为a+b=2，ab=-1，

所以3a+ab+3b=3a+3b+ab=3（a+b）+ab=3×2+（-1）=5；

a2+b2=（a+b）2-2ab=22-2×（-1）=6.

点评：运用整体思想，把所给的条件进行变形，为求值创造条件，这样显得很简便.

二、转化思想

例2（2012年宜宾市）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为______.

分析：先根据题意把P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2分别代入3P-2Q=7中，把这个等式转化为关于x、y的方程，再合并同类项，然后提取公因式，即可求出y的值.

解：把P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2代入3P-2Q=7，得

3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7恒成立.

去括号，得9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，

合并同类项，得13xy-26x=0，

即13x（y-2）=0.

而x≠0，则y-2=0，所以y=2.

点评：把字母条件代入原式，使已知等式转化为方程，再把相关式子进行整理，然后提取公因式，是一道基础题.因此，在化简过程中，充分体现了转化思想的运用.

三、数形结合思想

例3（2012年佛山市）如图1，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为______.

分析：由于边长为（m+4）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为4，利用矩形的面积公式即可求出另一边长.

解：依题意得剩余部分的面积为

（m+4）2-m2=m2+8m+16-m2=8m+16，而拼成的矩形一边长为4，

所以另一边长是（8m+16）÷4=2m+4.

点评：本题的关键之处在于，抓住在剪拼前后，两个图形的面积相等.从而用作验证乘法公式的正确性，体现了“数”与“形”的结合.

四、代数思想

例4（2012年温州市）某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数会比会弹古筝的人数多10，两种都会的有7人.设会弹古筝的有m人，则该班同学共有______人（用含有m的代数式表示）.

分析：根据会弹钢琴的人数与会弹古筝的人数之间的关系，用含m的整式表示出会弹钢琴的人数，再由两种都会的有7人这一条件，则可得出该班同学的总人数.

解：由于会弹古筝的有m人，而会弹钢琴的人数会比会弹古筝的人数多10，则会弹钢琴的人数为：（m+10）.从而，会弹两种乐器中的一种或两种的人数为：m+（m+10）.考虑到两种都会的有7人，所以，需从中减去7人，故该班同学总人数为：m+（m+10）-7=2m+3.

点评：根据题意，用字母分别表示问题中的各个量，体现了代数思想的运用，也为后面问题的解决打下基础.

五、由“特殊”到“一般”的思想

例5（2012年万宁市）观察下列各式，探索发现规律：

22-1=1×3；

42-11=53×5；

62-1=35=5×7；

82-1=63=7×9；

102-1=99=99；

…

用含正整数n的等式表示你所发现的规律为______.

分析：观察每个等式左边的两个因数与右边数的关系，逐个分析，从数字的变化情况中可以发现其中所蕴含的变化规律，用含n的代数式表示出来即可.

解：通过观察发现，等式左边的被减数是从2开始的连续偶数的平方，减数是1；等式右边则是两个连续奇数的积，且较小因数是从1开始的.于是，有（2n）2-1=（2n-1）（2n+1）.

点评：通过观察，比较等式中的各部分数字之间的关系，再从中找出变化规律，则可发现一般化的等式，其中蕴含着由“特殊”到“一般”的思想.

数学思想是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识.领悟数学思想，就抓住了数学内容的本质.也就升华了数学思维，真正学到了数学方法.在进行整式运算的过程中，如果能抓住思想方法，就抓住了问题的本质，就能提高分析和解决问题的能力.