基于有限元法的谐波齿轮刚轮设计

姜 晨，黄迪山，杜世成

上海大学，上海 200072

0 引言

谐波齿轮由于其具有较高的传动精度，较小的质量及体积、稳定的传动以及大的承载能力和传动比等优点，现今被广泛的应用于空间技术、核能源、雷达、机器人、汽车、船舶武器、仪表及医疗器械各大工业领域。在谐波传动过程中，刚轮与柔轮之间的传动是建立在弹性变形基础上的，属于非线性范畴[1][2]，传动过程比较复杂，由于干涉的存在，两轮齿在啮合过程中会产生大量的热，严重影响谐波齿轮的寿命及传动的稳定性，因此分析谐波齿轮在传动过程中的干涉情况是研究谐波齿轮的首要环节。然而柔轮轮齿在弹性变形下进行啮合，通过数学方法研究非常复杂，所以，需要通过计算机仿真来分析谐波齿轮啮合，从而改善其啮合情况[3]。

通常研究干涉是从齿形方面进行改良，本文应用有限元法模拟了波发生器与柔轮的静态接触装配过程，分析了在标准椭圆波发生器驱动谐波齿轮传动状态下的啮合状况，并将刚轮进行改良后的啮合状况与其进行了对比，得到了较好的啮合情况。克服了杯型谐波齿轮传动过程中由于倾角的存在导致干涉严重的情况，较为真实的给出了啮合时的情况。

1 三维实体建模[4]

鉴于谐波齿轮结构的复杂性，本文选用三维建模能力较强的CAD软件进行建模，然后进行有限元分析。如图一所示，为导入到ANSYS中去的简化的柔轮模型。图2为柔轮的剖视图及相关尺寸，表1为柔轮轮齿的三维建模参数。由于建立柔性轴承的模型并进行有限元分析计算量很大，且影响干涉的部分主要是椭圆长半轴的弹性变形，而将波发生器装配到柔轮中时，椭圆的长半轴部分与柔轮紧密结合，因此本文将柔性轴承钢化和凸轮波发生器一起建模成一个椭圆波发生器，其长半轴尺寸为30.5，短半轴为29.505，刚轮齿数为122，为防止根切现象，设计中顶隙预留c*m的距离。

图1 柔轮的实体模型

图2 柔轮的剖视图

表1 柔轮轮齿的三维建模参数

压力角（alpha） 20o齿顶高系数（ha） 0.5顶隙系数（c） 0.25变位系数（x） 1.8

2 有限元分析[5]

2.1 前处理

有限元法是研究非线性弹性变形有效工具。本文采用Ansys对波发生器与柔轮的装配进行模拟，给出模拟变形以后的柔轮与刚轮啮合状态图。在Ansys数值计算中，选用材料的泊松比为0.3，弹性模量为1.97*e10Pa；选用SOLID186单元，将柔轮齿、齿环圈、杯体按四步划分，从而取得到较好的网格。本文主要模拟波发生器与柔轮之间静态接触，刚轮齿形作为啮合参考，不必得到较均匀的网格，故而可采取自由划分。

在柔轮与波发生器的接触模拟中，变形后波发生器外径比柔轮内径略大，为了模拟装配过程，将波发生器安装到柔轮里产生的预应力状态, 引入接触边界约束；柔轮的内柱面与波发生器的外柱面定义为面-面接触，其中柔轮的内柱面定义为接触面，波发生器的外柱面定义为目标面，摩擦系数及接触刚度取0.1。将柔轮杯体底部托盘内环面所有方向的自由度固定。

本文是静态接触非线性分析，由于柔轮变形为0.5mm，已经涉及到大变形的范畴，因此在求解设置的分析选项中调出大变形选项，载荷步及时间步设置为1，关闭自动时间步，开启非线性分析，选取稀疏-直接求解器进行求解。

2.2 后处理

图3是未改动的刚轮对应的1/4的柔轮齿和刚轮齿的干涉部分的有限元分析结果。其中外部的齿形为刚轮轮齿轮廓，内部的齿形为变形后柔轮轮齿轮廓。由于柔轮材料的刚性作用，波发生器装配到柔轮中时会使柔轮杯口处齿面偏离圆心向外，导致杯口处齿面与底部齿面不重合，产生一定的倾角，导致干涉的形成。

图3 四分之一柔轮齿和刚轮齿干涉部分仿真结果

3 刚轮的改良与设计

通过对波发生器与柔轮之间静态接触的有限元分析结果可以得出每一个节点的X、Y、Z轴的位移，调出长轴变形处杯口处节点，可知其X、Y、Z轴的位移分别为X=0、Y=0.61790、Z=0.14633。根据此数据组设计刚轮为锥形刚轮，其底部齿形轮廓与原刚轮相同，顶部与柔轮杯口处齿相啮合的齿形的齿顶圆、齿根圆半径比底部大Y，即0.61790mm，其他数据保持不变。为了方便仿真结果变形图的观测，本文将齿圈长度由9mm去除一个Z的长度，及齿圈长度为8.85367mm。

由于此刚轮为锥齿轮，观察变形时难以生成清晰的齿变形轮廓线，因此在刚轮的选择中只取其顶部与柔轮杯口处齿相啮合的齿形建模生成的圆柱形齿轮。将此模型导入到上文的计算完毕的结果文件中去，如图4所示为新型刚轮所对应的四分之一柔轮齿和刚轮齿干涉部分仿真结果。

图4 新型刚轮所对应的四分之一柔轮齿和刚轮齿干涉部分仿真结果

通过对图3及图4的观察和比较可以清晰的看出，图4中由于波发生器与柔轮装配过程中伴随着倾角出现，干涉较为明显，笔者对其单元进行局部细化后与刚轮轮廓进行比较得出大致干涉值，其中干涉最严重的齿也仅仅在齿侧部分沿齿面法向方向有接近0.05mm的干涉深度，这在谐波传动过程中将严重影响传动的稳定性，而且由于其干涉的存在，传动过程中会伴随大量热的产生，对谐波齿轮的寿命有很大影响；

相对应的图4中新型刚轮所对应的干涉情况很好，没有干涉出现。在实际设计中可以对顶隙的长度进行适当的调整，保证其零干涉而且不根切的情况下提高其承载能力，从而变相增大了柔轮的齿啮合数，减少同时啮合齿的载荷，提高了谐波齿轮的寿命。

4 结论

结合几何设计和弹性数值分析数值模拟波发生器的装配过程、分析谐波齿轮弹性变形后的齿啮合状态，通过对仿真结果的部分结果进行调用，从而对刚轮进行改良设计，其研究方法有以下特点：

1）弹性数值分析谐波齿轮啮合状态，克服静态几何分析与实际啮合状态不符的缺点；

2）将齿轮啮合状态可视化，以便清晰的观测啮合中的干涉问题；

3）对仿真结果进行调用，在仿真的基础上进行设计，针对性较强。

文中对杯型柔轮、椭圆波发生器、以及改良前后的刚轮进行了建模，采用有限元法对其装配过程进行了静态接触分析，克服了单纯几何分析的缺点，使谐波齿轮的分析啮合状态和实际啮合状态趋于一致。同时，文中分析谐波齿轮传动过程中干涉产生的原因，通过有限元分析后数据对刚轮进行改良，得到了零干涉的啮合状态。提出的研究方法和结果可供工程师在设计谐波齿轮中参考。另外，应用中可以通过对刚轮顶隙进行适当调整来提高谐波齿轮的承载能力。

[1]司光晨，范又功，林祖南，张薇元.谐波齿轮传动[M].国防工业出版社，1978.

[2]沈允文，叶庆泰.谐波齿轮传动的理论和设计[M].北京：机械工业出版社，1985：15-33.

[3]M.H.伊万诺夫著.沈允文，李克美译.谐波齿轮传动[M].北京：国防工业出版社，1987：1-21.

[4][苏]Д.П.沃尔阔夫,A.Ф.克拉伊聂夫.谐波齿轮传动[M].电子工业出版社，1985.

[5]向国齐.谐波齿轮传动柔轮有限元分析研究[D].四川：四川大学，2005.