Heisenberg群中一类非凸区域上的Hardy不等式

马超,狄艳媚,宋军全

(浙江工业大学应用数学系,浙江杭州 310023)

Heisenberg群中一类非凸区域上的Hardy不等式

马超,狄艳媚,宋军全

(浙江工业大学应用数学系,浙江杭州 310023)

通过构造向量函数,得到了Heisenberg群中一类非凸区域上的Hardy不等式,从而推广了以前的相关结论.

Heisenberg群；Hardy不等式；非凸区域

1 简介

众所周知,各种不同类型的Hardy不等式在数学多个领域起着重要的作用.经典的Hardy不等式为:文献[3]将它的结果推广到了Lp上,得到了Heisenberg群上的Lp-Hardy不等式.

以上的这些Hardy不等式都是在凸区域上进行研究的.目前,国内外对在非凸区域上的Hardy不等式的研究相对很少,但是正越来越受到大家的关注.文献[4]详细地讨论了欧氏空间中一类非凸区域上的Hardy不等式,得到了关于Hardy不等式的一系列结果,并给出了详细的证明.

本文将利用Farit的研究方法,将其结果推广到Heisenberg群上,得到相应的Hardy不等式以及一系列推论.

2 非凸区域上的Hardy不等式

首先,介绍一些Heisenberg群的记号.Heisenberg群上的距离函数:

下面就是这篇文章的重要结论,非凸区域上的Hardy不等式.

定理2.1在Heisenberg群上给定一个凸区域Ω,在Ω中取一个Heisenberg球

结合(1)式和(2)式,应用引理2.1的结果,就有

[1]Brezis H,Marcus M.Hardy's inequalities revisited[J].Ann.Scuola Norm.Sup.Pisa Cl.Sci.,1997,25(4):217-237.

[2]Garofalo N,Lanconelli E.Frequency functions on the Heisenberg group,the uncertainty principle and unique continuation[J].Ann.Inst.Fourier,Grenoble,1990,40:313-356.

[3]Niu P,Zhang H,Wang Y.Hardy type and Rellich type inequalities on the Heisenberg group[J].Proc.Amer. Math.Soc.,2001,129(12):3623-3630.

[4]Farit Avkhadiev,Ari Laptev.Hardy inequalities for nonconvex domains[J].International Mathematical Series,2010,11:1-12.

[5]Davies E B.A review of hardy inequalities[J].The Maz′ya Anniversary Collection 2.Oper.Theory Adv. Appl.,1999,110:55-67.

[6]Davies E B.Spectral theory and differential operators[J].Cambridge:Cambridge Univ.Press,1995.

The Hardy inequality for nonconvex domain on the Heisenberg group

Ma Chao,Di Yanmei,Song Junquan

(Faculty of Applied Mathematics,Zhejiang University of Technology,Hangzhou310023,China)

In this paper,we obtain the Hardy inequality for nonconvex domain on the Heisenberg group based on structuring the vector function.Then we extend the related conclusions.

Heisenberg group,Hardy inequality,nonconvex domain

O178

A

1008-5513(2012)04-0564-05

2012-06-02.

马超(1987-),硕士生,研究方向：调和分析与不等式.

2010 MSC:42B25