求解修正的H elm holtz方程关于非光滑区域问题

杨正辉,王连堂

(西北大学数学系,陕西西安 710127)

求解修正的H elm holtz方程关于非光滑区域问题

杨正辉,王连堂

(西北大学数学系,陕西西安 710127)

研究了修正的(纯虚波数)Helmholtz方程在阻尼边界条件下,求解含单个角点的闭区域问题.通过采用单双层混合位势来表示其解,进而对其角型区域进行求解.最后,通过数值例子来说明此方法的可行性与可靠性.

修正的Helmholtz方程;阻尼边界条件;角形域;位势论

1 引言

对于正波数的Helmholtz方程Δu+k2u=0,k＞0的数值解已有许多研究成果[12],并且其研究方法和数值解亦给了充分的说明,但对于纯虚数的Helmholtz方程Δu-k2u=0,k＞0的数值解的研究却一直很少有文献提及并对其进行深入的研究,可能一方面是由于随着纯虚波数的Helmholtz方程的变化其基本解发生变化,另一方面是由于目前还很少有专门的文献论及纯虚波数的Helmholtz方程.近期,文献[3]对其进行了研究,并对一部分问题进行了处理,比如对闭区域上的Dirichlet边值问题,Neumann边值问题和Im pedence边界的问题,分别采用了单层位势和双层位势给予了证明及数值算例,但对于运用单双层混合位势来求解含单个角点的闭区域在Im pedence边界条件下的问题未给予求解及数值计算,本文通过采用单双层混合位势来表示其解,求解修正的Helmholtz方程在Im pedence边界条件下,关于单个角点的闭区域形问题.最后,给出这方面的数值例子来说明这种方法的可行性.

2 边界积分方程的建立

首先,波数为纯虚数形式的Helmholtz方程Δu-k2u=0,k＞0,二维情形下的基本解由下式给出:

3 积分方程的参数化

下面对参数化方程(2.8)进行整理,这样做是为了便于后面进行核的奇性[6]处理和计算,通过上面对各类算子的给出,得出

对于上面所涉及到的核H(t,τ),L(t,τ),M(t,τ)已有详细的推导[3],这里不再进行赘述.

由于核函数K(t,τ)具有对数奇性,利用K ress法进行奇性的处理,将其核裂解为如下形式:

为了更好的处理尖角处的奇性,考虑用分级网格来代替等距网格[1],具体来说,就是用一个变量替换,令t=ω(s),τ=ω(σ)则重写为:

由上面通过对积分方程的建立,参数化和角点处理之后,那么修正的Helmholtz方程在阻尼边界条件下,其解形式用单双层混合形式来表示,最后转化为线性方程组,就可以很容易的求出其解.

当线性方程组的解求出来以后,直接带入(2.5)式就可以求出边值问题在任意点处的函数值u(x),边值问题在任意点处的函数值可通过梯形公式进行给出,具体的有

4 数值算例

以下算例的程序代码和求解结果是在一台操作系统为W indows 7,中央处理器为(i3-390),内存为2.0GB的laptop电脑上用Fortran语言实现的.对于算例的给出,考虑如下参数方程表示的有角区域边界.

此区域在t=0处有一个角点(如图1所示).

对于边界数据取常边值f=1,取分级参数p=8,下面表一给出了在阻尼边界条件下不同点处的一些逼近值,可以看到随着节点数n的增加,表格中的数据呈收敛趋势.

图1 尖角区域边界

表1 尖角问题的数值算例

5 本文总结

本文通过研究修正的Helmholtz方程,利用单双层混合位势表示其解,求解阻尼边界条件下含角点的闭区域问题.通过建立积分方程,对其进行求解,给出不同离散点数n的数值结果.最后给出数值例子充分的说明了计算方法和数值结果的可行性.该算法随着点数n不断增加时,呈收敛态势,并得出收敛效果更好,这对于研究修正的Helmholtz方程多个角点问题,提供了可靠的理论依据.

[1]Colton D,K ress R.Inverse Acoustic and Electrom agnetic Scattering Theory[M].Berlin:Springer,1992.

[2]麦宏晏,王连堂,孟文辉.阻尼边界条件的声波散射问题的三种数值求解方法[J].工程数学学报,2005,22(5):827-832.

[3]杨树伟,王连堂.纯虚数Helmholtz方程数值解[D].西安:西北大学数学系,2011.

[4]K ress R.Integralequation m ethods in inverse obstacle scattering[J].Math.Methods App l.Sci.,1995,18:267-293.

[5]K ress R.Integral equation m ethods for scattering from an im pedance crack[J].Com put.App l.Math., 2003,16(3):161-177.

[6]Yam an F.A combination of shape and conductivity function reconstruction m ethods for an inverse boundary value problem[J].Wave Motion,2009,10(4):1-11.

Solving a modified of Helmholtz equation about the nonsmooth regional issues

Yang Zhenghui,Wang Liantang
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

We studied them odified pure im aginary wave number of Helm holtz equation in im pedence boundary condition,which contains a single corner to solve the closed regional prob lem s.Single layer and double layer potentialswere used to rep resent its solution and solve its domains.Finally,the numerical exam p le illustrated the feasibility and reliability of thism ethod.

m odificatory Helm holtz equation,im pedence boundary conditions,angle dom ain, potential theory

O241.8

A

1008-5513(2012)03-0378-06

2011-01-09.

陕西省自然科学基金(FC10112).

杨正辉(1986-),硕士生,研究方向：声波散射反问题.

2010 MSC:35A 40