带有短缺量拖后率的时滞变质品库存模型研究

曹庆奎， 车美林，吴向儒 （河北工程大学 经济管理学院，河北 邯郸 056038）

变质品库存研究是库存理论研究中的一个分支。Wee和Yu[1]在1997年给出了变质的定义：变质是指腐烂、受损坏、利用价值降低以及边际价值损失等使物品的固有价值降低的现象。目前对变质产品的研究主要有两类：一类认为变质品有一段效用周期，在此期间产品不会发生任何质变，过了效用周期产品完全失效。另一类认为产品的变质是连续的，用变质率来描述物品变质特性的参数。在目前相关的文献中，变质率包括以下几种：Padmanabhana[2]研究了常变质率，Goswani[3]研究了与时间线性相关的变质率，Mahapatra[4]使用了两参数Weibull分布函数，Charkrabarty[5]使用了更为普遍的三参数Weibull分布函数。日常生活中，水果蔬菜的腐烂、食品的变质等，在进入库存后要经过一段时间后才开始发生变质，它们的变质特性具有迟滞性，即变质在迟滞期后发生，迟滞期内不发生变质现象，其中时间分界值由实验测定或由经验得出[6]。

在已有的库存控制模型中，有的假定不允许缺货，如罗毅平，刘洁[7]和纯袁炜，乔铁[8]研究了时滞变质物品在不允许缺货情况下的库存问题。有的假定允许缺货，如罗毅平，李承高[6]研究了变质物品在允许缺货情况下的库存问题，且假定需求稳定。实际上缺货时间越长，愿意等待供货的顾客就会越少，即短缺量拖后率随缺货时间发生变化。闵杰，周永务[9]考虑了短缺量拖后率，但没考虑变质品的时滞变质特性；戴高升，黎放[10]考虑了允许缺货条件下时滞变质品的库存模型，但没考虑缺货量拖后率。本文在文献[9]和文献[10]研究的基础上，考虑允许缺货且短缺量部分拖后，物品具有时滞变质性。使其更符合现实情况，为零售商的最优订货策略提供理论依据。

1 假设条件和符号含义

本文在建立变质品库存模型的过程中，引入了以下假设和符号：

（1）本文建立的是某个零售商在一个周期内的单一变质商品的库存模型。

（2）t时刻的需求率f（）t为：

（3）货物允许缺货，且短缺量拖后率与顾客等待时间有关。假设b（）t表示缺货期间顾客愿意等待供货的比例函数；T表示一个订货周期的长度；t0表示一个周期内不允许缺货的时间长度，且，

（4） S（）t表示t时刻等待供货的需求量。

（5）不发生变质的迟滞区为th，其后为变质区，且变质区的变质率为常数。C表示库存总成本；Ce表示总变质成本；Cf表示总缺货惩罚成本；Cg表示总库存持有成本；Co表示每次订货的订购成本；Ca表示单位易变质品单位时间的变质成本；Cd表示单位易变质品单位时间的缺货惩罚成本；Cb表示单位易变质品单位时间的库存持有成本。

2 建立模型

t，因此在缺货期间t时刻顾客等待的需求量S（）t应满足如下微分方程：

零售商的缺货点t0主要有以下两种情形：

2.1 t0发生在非变质期内 （t0≤th）

库存水平在周期T内应受到如下微分方程的约束：

则一个周期内的库存总成本包括以下四部分：

（1）每周期的订货成本C0

（2）每周期的总变质成本

（3）每周期的库存总持有成本

（4）每周期的缺货惩罚成本

2.2 t0发生在变质期内 （t0≥th）

库存水平在周期T内应受到如下微分方程的约束：

边界条件为：I t0（）=0I（）T=0

方程的解为：

则一个周期内的库存总成本包括以下四部分：

（1）每周期的订货成本C0

（2）每周期的总变质成本

（3）每周期的库存总持有成本

（4）每周期的缺货惩罚成本

库存总成本C=C0+Cg+Ce+Cg+Cf

3 算例分析

超市经销某一变质性商品，已知Co=800元；Ca=4元；Cd=2元；Cb=0.4元；D=10；δ=0.3；β=0.2；θ=0.1；th=3天；T=7天。经过计算，得出当t0=2＜3时，库存总成本C=4 439.74元；t0=4＞3时，库存总成本C=4 485.79元。由此可知，缺货时点发生在变质期前的库存成本比发生在变质期后小。

4 结束语

本文对果蔬食品等具有迟滞变质现象的易变质品库存模型进行了研究，建立了库存模型，使得总成本最低，最后给出了算例，得出缺货时点发生在变质期前的库存成本比发生在变质期后小的结论。本文所建的模型还可以做更深层次的研究，如考虑资金的时间价值、采购周期不相等等情况，虽然这些假设条件会增加数学分析的难度，但会更符合实际情况。

[1] WeeH.M.,Yu J.A.Deteriorating inventory model with a temporary pirce discount[J].International Jounral of Production Economics,1997,53(3):81-90.

[2] Padmanabhana M,Vrath P.EOQ models for perishable items under stock dependent selling rate[J].European Journal of Operational Research,1995,86(2):281-292.

[3] Goswani A,Chaudhuri K.S.Variations of order-level inventory models for deteriorating items[J].Journal of Production Economics,1991,27:111-117.

[4] Mahapatra N K,Maiti M.Decision process for multi-objective,multi-item production-inventory system via interactive fuzzy satisifcing technique[J].Computesr＆Mathematics with Applications,2005,49(5):805-821.

[5] Chakrabarty T,Girl B C,Chaudhuri K S.An EOQ model for items with Weibull distribution deteiroration,shortages and trended demand:an extension of Philip's model[J].Computers＆Operations Research,1998,25(7):649-657.

[6] 罗毅平，李承高，夏文华.允许缺货的时滞变质物品的库存模型[J].经济数学，2000,17(4):6l-66.

[7] 罗毅平，刘洁纯，陈大学,等.库存系统中的时滞变质物品的EOQ模型[J].工科教学，2001,17(3):38-41.

[8] 袁炜，乔铁.变质率影响下的易变质品库存模型研究[J].濮阳职业技术学院学报，2009,22(5):141-143.

[9] 闵杰，周永务.带有时变短缺量拖后率且需求依赖库存水平的EOQ模型[J].系统管理学报，2010,19(2):222-227.

[10] 戴高升，黎放.允许缺货条件下时滞变质物品库存控制策略[J].物流科技，2010(8):19-21.