抗混叠Contourlet变换在煤矿图像重构算法中的应用

刘丽虹，俞 啸，胡延军,2

（1.中国矿业大学 信息与电气工程学院，江苏 徐州 221008；2.中国矿业大学物联网（感知矿山）研究中心，江苏 徐州 221008）

多媒体传感器系统在煤矿井下应用的研究已经引起国内外研究人员的关注，其中能耗问题一直是研究热点，需要对多媒体节点进行合理设计。在降低节点传输负载、节约网络有限能量的同时，完成多媒体信息的压缩编码、冗余信息融合等处理。常用的编码算法在数据采集端按照奈奎斯特采样定理进行数据采集，造成了存储空间及节点能量的浪费。研究如何突破以奈奎斯特采样定理为支撑的信息获取、处理、融合、存储及传输等方式是推动煤矿信息化进一步发展的关键[1]。近年来,由DONOHO D、CANDES E及TAO T等人提出的压缩感知理论为解决这一问题提供了新的思路，该理论以远低于奈奎斯采样频率对稀疏或可稀疏信号进行采样，仍可以精确恢复出原信号，具有编码简单、解码复杂的特点。这样在煤矿井下可以铺设性能较弱的多媒体传感器节点，不仅节约成本，也降低了采集端的工作负荷。将复杂的解码过程交由井上计算能力强大的服务器处理，为井上调度室的指挥控制提供清晰的井下现场图像。故该理论在煤矿井下无线多媒体传感器网络(WMSN)中具有很大的应用前景,如图1所示。

图1 压缩感知算法在井下WMSN中的应用框图

压缩感知理论中，随机采样不需要先验知识，只需寻求更好的正交稀疏变换，得到变换域中更稀疏的信号，便可提高压缩感知和信号重构的性能。压缩感知恢复算法中常用的正交变化有 DCT[2]、傅里叶变换[3]、小波变换[4]等，信号经过变化后越稀疏，越有利于提高压缩感知信号重构的性能。近年兴起的以Contourlet变换为代表的多尺度几何变换具有良好的稀疏性质，经其变换得到的稀疏系数要比小波系数更稀疏，更有利于信号的重构。但是其基函数在频域中是非局部的，造成了频率混叠现象，需要用理论上更多的系数来表示,而抗混叠Contourlet[5]变换恰可以解决这个问题。

本文将双通道滤波器组与方向滤波器组相结合，实现了一种抗混叠的轮廓波变换,提出基于抗混叠Contourlet变换的矿井图像压缩感知重构方法。

1 相关理论简介

1.1 压缩感知理论简介

压缩感知的采样方式是通过将大小为M×N(M＜N)的观测矩阵与N×N信号 x进行内积,得到M×N的采样值y，而这M个线性投影中包含的信息可以用来重构信号x。即对x执行线性观测：

其中x是稀疏信号或可稀疏信号，在某组正交基下展开可写成矩阵形式 x=Ψs。Ψ∈RN×N(满足 ΨTΨ=ΨΨT=I)与观测矩阵 Θ 不相关[6],假设 s∈RN×N是 K稀疏（即其非零稀疏个数K＜＜N）的。采样过程也可表示为：

压缩感知的稀疏重构过程是从y中求解x的过程，即求解线性方程组的问题。 因为 y∈RM×N，s∈RN×N，对于式(1)未知数的个数N都大于方程的个数M，是一个欠定方程组求解问题，有无穷多解。故重建信号需满足一定条件[7]：x是可稀疏信号，稀疏度为 K；且满足 M＞K×log(N)。可以通过求解l0最小化问题：

1.2 抗混叠Contourlet变换简介

Contourlet变换首先利用拉普拉斯塔式结构(LP)将图像分成低通和高通2个子带，对图像进行多尺度分解获得多分辨率特性，再用方向滤波器组(DFB)对各尺度的高通子带进行多方向轮廓波分解。结构如图2所示。

Contourlet变换最大的缺点是采用非理想的低通滤波器进行LP分解，在通带区域外还有非零的频率响应，因此变换得到的低频子带中还有混叠的成分，这些成分进入高频子带中与DFB频域支撑交叠，造成了严重的频率混叠现象，需要用理论上更多的系数来表示。为此，Minh Do提出[9]用可控塔式分解来代替传统Contourlet变换中的LP分解实现图像的多尺度分解，用来抑制混叠效应。其特点是第一级低通滤波器不是固定以d=2的采样矩阵进行下采样的，而是通过选取d的值进行可控下采样 (d=1,1.5,2),并且使用严格带限的低通滤波器，用来降低与DFB的频谱混叠。当d=1时，Contourlet冗余度约为2.33，但此时的抗混叠性能最好，因此本文采用d=1的方案。

2 在煤矿图像重构算法中的应用

2.1 压缩感知重构模型

目前该问题的求解主要有贪婪算法、凸优化方法和组合算法三类方法。贪婪算法的重构效果虽不及凸优化方法，但速度快，适用于解决大尺度问题，故本文中选用OMP算法来重构图像，其核心思想是通过递归对已选原子集合进行正交变换以保证迭代的最优性[10]。

由压缩感知理论可设矿井图像信号x∈RN×N。

实际测量中y值易受外界噪声干扰，解码模型可变换为：

由压缩感知理论可知，s为稀疏变换系数组成的向量，Θ为随机矩阵，的每一列对应稀疏变换的基向量与Θ不相关。在实际计算中可由稀疏变换得到，Θ为随机高斯矩阵，通过优化求解最优的通过=，对进行稀疏逆变换得到时域的，即可重构图像。

2.2 OMP重构算法

求解l0范数最小化问题是NP难题组合，但参考文献[11]证明，测量矩阵满足RIP准则时，l1范数最小化与l0范数最小化的求解近似等价，故式(5)可转化为求解l1范数最小化的凸优化问题，即：

即转化成一个非线性凸优化问题,这里采用正交匹配追踪(OMP)算法来找到这K个关键分量。对于y1(即y的第一列)，设计算恢复矩阵A的所有列与y1的每一列内积，内积绝对值最大的一列就是对应的非零元素K的位置，再根据最小二乘法找出使得‖y-As‖2最小的那个s中的元素值，就是非零元素K的大小，依此循环迭代就可找出这几个K值的位置和大小。

OMP算法[12]详细步骤描述如下：

(1)参数初始化，包括残差 r0=y，索引集 Z0=φ，重构信号x0=0，迭代次数 n=0；

(2)计算残差向量与测量矩阵A每一列的内积，得出gn=ATrn-1；

(3)找出 gn值最大的元

(4)更新索引集合Zn=Zn-1∪{d}以及原子集合=∪{ad};

(6)更新残差 rn=y-Axn，n=n+1；

(7)判断是否满足 n＞K。若满足，则令 x′=xn，r=rn，迭代循环停止；不满足，则返回步骤(2)，继续循环。

(8)输出 x的稀疏逼近值x′，及重构误差 r。

3 实验仿真

实验采用大小为256×256的煤矿井下图像，稀疏基分别采用sym4小波、Contourlet、抗混叠 Contourlet，测量矩阵采用随机高斯矩阵，重构算法采用OMP恢复算法。

3.1 不同采样率下的压缩感知重构效果

基于抗混叠Contourlet变换的重构图像在细节处的表现良好，尤其是在具有方向的纹理和边缘处。当采样率为0.5时，已能很清晰地恢复出图像，且采样值越高，恢复的图像效果越好，如图3所示。

3.2 基于不同稀疏基表示的重构图PSNR值比较

图4给出了基于不同稀疏基变换和采样率的重构图像与原图的PSNR值，更加直观地对比了各稀疏基结合OMP算法的重构效果。

从图中可以看出抗混叠Contourlet的效果要略好于传统的Contourlet变换。当采样率小于0.3时，恢复的图像失真严重，比较它们的PSNR值已经没有意义。采样率高于0.3时，在同等采样率，恢复算法都采用OMP重构算法的情况下,基于Contourlet变换和抗混叠Contourlet变换的重构图像的质量要比基于Sym4小波的更优，因为Contourlet变换比小波变换更能稀疏地表示矿井图像中的边缘和轮廓信息。抗混叠Contourlet变换抑制了混叠效应，其基函数的频域局部性更好，具有更集中的方向选择性,验证了图像抗混叠Contourlet变换的稀疏性更好。

本文将抗混叠 Contourlet变换应用于矿井图像的压缩感知重建中。OMP重构算法是目前图像重建的一种比较经典的算法,在此优化算法下,将抗混叠Contourlet变换、传统Contourlet变换和Sym4小波变换作为压缩感知稀疏域，并观察其表现。仿真结果显示，相较于小波变换和Contourlet变换，抗混叠Contourlet变换不管在恢复的视觉效果还是PSNR指标上,都比Sym4小波和传统Contourlet变换更好。目前多尺度几何分析作为图像处理的一个研究热点，压缩感知作为一种新技术，其理论框架和算法实现都还在发展中,并能够解决煤矿井下的实际问题，有望给信号处理领域带来重大影响。

[1]曹新德.压缩感知理论在井下救灾系统中的应用研究[EB/OL](2010-12-28).中国科技论文线,http://www.paper.edu.cn/index.php/default/releasepaper/content/201012-1175.

[2]沙威.压缩感知引论[EB/OL](2008-11-20).http://www.eee.hku.hk/～wsha.

[3]岑翼刚.基于单层小波变换的压缩感知图像处理[J].通信学报,2010,31(8A):53-55.

[4]LUSTIG M,DONOHO D,PAULY M.Sparse MRI:the application of compressed sensing for rapid[J].Magnetic Resonance in Medicine 2007,58:1182-1195.

[5]CANDES E J,DEMANET D L,YING L.Fast discrete curvelet transforms[EB/OL].http://authors.library.caltech.edu/6810/.2009-11-29.

[6]BARANIUK R G.Compressive sensing[J].IEEE Signal Processing Magazine,2007,24(4):118-121.

[7]DONOHO D.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006,52(4):1289-1306.

[8]DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory,2006.52(4):1289-1306.

[9]LU Y,DO M N.A new contourlet transform with sharp frequency localization[C].IEEE International Conference on Image Processing,2006(10):1629-1632.

[10]赵瑞珍.压缩传感与稀疏重构的理论及应用[EB/OL](2009-10-30).中国科技论文在线，http://www.paper.edu.cn/index.php/default/releasepaper/content/200910-662.

[11]DONOHO D,TSAIG Y.Extensions of compressed sensing[J].Signal Processing,2006,86(3):533-548.

[12]TROPP J,GILBERT A.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J].IEEE Trans.Inform,Theory,2008,53(12):4655-4666.