基于最小二乘法的电力变压器参数辨识算法

杨启平，邓正文，董 辉，徐丹凤

(上海电力学院电力与自动化工程学院，上海 200090)

长期以来，电力变压器差动保护主要依靠故障电流或者电压的波形特征来判断内部故障是否存在，其中二次谐波制动得到了最广泛的应用，且积累了丰富的运行经验.但是由于变压器铁芯的非线性而产生的励磁涌流现象，经常导致差动保护误动作，严重制约变压器保护的正确动作率，使得变压器的保护水平远远低于系统中的其他元件［1-4］.随着变压器容量的增大和制造工艺的改进、超高压输电线路长度的增加，以及系统中容性设备的增多，使得二次谐波制动的可靠性问题日益突出［5，6］.为解决这一问题，广大专家进行了大量的研究，提出了一些解决方法，也取得了一定的进展.郝治国等人提出的基于变压器回路平衡方程的变压器保护新原理［7］，跳出了传统差动保护原理的思路，规避了励磁涌流和故障电流的判别，开辟了变压器保护的新思路，具有很好的应用前景.但是此方法对变压器电阻、电感参数的精度要求比较高，参数的精度直接影响保护算法的灵敏度.针对这一问题，索南加乐等人提出使用最小二乘法来识别变压器的漏电感参数，但是忽略了变压器绕组的电阻参数，辨识参数的精度受到一定的影响［8］.曾鑫等人提出使用有约束的最小二乘法，解决了Y/△接线方式下三相变压器的漏感计算问题，但也同样忽略了电阻的影响，且存在数据饱和的问题［9］.

本文从Y/△接线变压器的回路方程出发，提出了一种带遗忘因子的最小二乘法识别变压器电阻、电感参数的方法，无需已知三角形侧的相电流，基于三角形侧三相环流相等的特点，消去环流，同时消去回路方程中的非线性项，使用带动态遗忘因子的最小二乘法快速便捷地实现变压器参数辨识，为基于回路平衡方程的变压器保护的推广应用打下坚实的基础.

1 基本原理

基于回路平衡方程的变压器保护新原理如下［7］:在正常运行状态及励磁涌流状态下，原副边绕组回路方程得到的回路平衡方程为零，而在内部故障状态下回路平衡方程值不再为零，即:

式中:u1，i1，u2，i2——原副边的电压和电流;

r1，L1，r2，L2——原副边的电阻和电感;

nB——匝比.

在新原理中，电压和电流均可通过互感器得到，所以两侧电阻和电感值的精确获得可以直接影响新原理的保护精度.

在电力系统中，变压器多采用Y/△联结方式，本文以双绕组Y/△联结的变压器为例，如图1所示.为方便分析，设变压器的变比为1，不计及电压互感器和电流互感器的变比和误差.

图1 Y/△变压器接线示意

Y侧和△侧绕组电阻值分别为:

漏感值分别为:

则Y侧回路方程为:

式中: ΨAa，ΨBb，ΨCc——A/a，B/b，C/c 相绕组的公共磁链.

△侧回路方程为:

对式(1)和式(2)两两相减，然后进行联立，消去含 ip，ΨAa，ΨBb，ΨCc的项，得到:

同时，iab，ibc，ica可以通过△侧线电流获得［10］:

将式(4)代入式(3)，则有:

式中:

这样，通过可量测的Y侧和△侧的电压和电流即可得到变压器的电阻和电感值［11］.

2 参数辨识

本文选用带遗忘因子的最小二乘法实现变压器参数辨识.最小二乘法是以误差平方和最小为准则，得出符合实验数据的最优参数估计的数学方法.

理想电力系统的电压、电流是工作频率为50 Hz的正弦信号，如果已知t0和t1时刻的采样值分别为y0和y1，则t2时刻的采样值y2可以用y0和y1表示，即y0，y1，y2线性相关，推广到 n个采样数据 yk，yk+1，…，yk+n线性相关，则则(ATA)－1不存在，无法通过最小二乘法进行漏感参数的识别，参数具有不可辨识性.但在实际的电力系统运行过程中，电压、电流中包含有丰富的2次、3次、5次等谐波和非周期分量，此时，参数可以实现辨识.

2.1 带遗忘因子的递推最小二乘法

根据式(5)第1式，可建立利用最小二乘法识别变压器两侧电阻、电感值参数的矩阵:

式中:

随着数据的增加，最小二乘法会出现所谓的“数据饱和”现象，即采集到的新数据所提供的信息被淹没在旧数据中.为了克服“数据饱和”现象，本文采用带遗忘因子的递推最小二乘法对X4×1进行估计，其基本思想是:旧数据乘以遗忘因子，以降低旧数据所提供的信息量，增加新数据的信息量，从而不间断地实现修正，以得到最优的参数值.

式中:μ——遗忘因子.

2.2 遗忘因子的确定

遗忘因子μ通常不小于0.9，如果过程是线性的，应选0.95≤μ≤1.遗忘因子如果选得太大将会降低算法的跟踪性能，太小则容易受噪音的影响.对于慢时变参数A，应选取较大的遗忘因子;对于快时变参数A，应选取较小的遗忘因子.文献［12］中遗忘因子μ=0.997.

在实际运行过程中，变压器存在饱和问题，不同的磁滞曲线对应的饱和程度不同，饱和电流大小也不一样.因此，不能固定遗忘因子μ的大小，而应该根据实测的在线数据来确定.同时，由于电力系统的暂态特性，在参数辨识的过程中，暂态过程中的遗忘因子应较小，而稳态中的遗忘因子接近于1.换句话说，对于每一个待辨识的参数，遗忘因子应该是一组动态变化的数据，其特点是逐渐逼近于 1［13］.

定义一个误差矢量 ε =(ε1，ε2，…，εn)T并且令:

最小二乘法的原理是使误差的平方和最小，即使指标函数取得最小:

加入遗忘因子后，

令加权最小二乘估计误差的方差为:

只要求出使式(11)达到最小的即可.引入“矩阵型”许瓦兹不等式，解不等式，可以得到:

式中:P——n×n的可逆矩阵.

3 算法仿真验证

为验证算法的正确性，本文采用实际算例对算法进行仿真验证.误差为:

变压器的电压电流量由电磁暂态仿真程序EMTP产生，三相Y/△变压器由3个单相变压器联接而成.设定变压器参数为:额定电压UN=330 kV/110 kV，电源电压相移为30°，Y和△绕组的电阻和漏感参数分别为 R1=0.94 Ω，R2=0.285 Ω，L1=1 540 mH，L2=51 mH.每周波采样点 400个，辨识结果如表1所示.

由表1可以看出，利用带动态遗忘因子的最小二乘法进行变压器参数辨识，所得结果的误差在0.25%以内，可以精确实现变压器电阻和电感参数的辨识，这为新型回路平衡方程法变压器保护的实际应用提供了坚实的基础.

表1 变压器参数辨识结果

表2为不同时刻的μ值.由表2可以看出，μ值在不停地变化之中，并且逐渐趋近于1，与理论分析的结果吻合.

表2 不同时刻的μ值

表3给出了负载功率因数为0.9，负荷率在30%～100%波动时的参数辨识结果.表4给出了负荷率为90%，功率因数从1.0～0.5变化时的参数辨识结果.从表3和表4中可以看出，负荷变化率及功率因数的变化对参数辨识结果基本上没有影响，算法的辨识结果真实可靠.

表3 负荷变化率对辨识结果的影响

表4 功率因素变化对辨识结果的影响

4 动模试验

为了验证所提算法的可行性及有效性，本文进行了相关的动模试验，动模试验系统接线如图2所示.在图2中，试验变压器采用Y/△联结方式，变压器的参数为:额定容量2 kW，额定电压U1/U2=1 000 V/220 V，空载电流是额定电流的1.32%，空载损耗为20 W，电流互感器变比10 A/5 A，电压互感器变比500 V/100 V，试验中变压器变比设置为1∶1.进行数据录波时，每个采样周期采样点400个.误差=(估算值－真值)/真值×100%，真值由某制造企业提供.

图2 动模试验系统

表5给出了动模试验辨识结果.由表5可以看出，所有估计值的误差均在0.3%以内，表明辨识结果精度较高，应用前景良好.

表5 动模试验辨识结果

5 结论

(1)提出了一种变压器电阻、电感参数的在线辨识方法.该方法针对三角形侧绕组配置TA困难的特点，不改变TA配置，直接利用三角形侧线电流和带动态遗忘因子的最小二乘法，解决了Y/△接线方式下三相变压器的电阻和电感计算问题，能在线得到变压器的动态电阻和电感值.

(2)带动态遗忘因子的最小二乘法解决了普通最小二乘法数据饱和的问题，加快了辨识算法的收敛性.同时，动态遗忘因子的应用，保证了算法的跟踪性能，能实时准确地侦测到变压器的电阻和电感参数，为回路平衡方程法的推广应用扫清了障碍.

(3)参数辨识算法稳定可靠，变压器运行工况(包括负荷大小和功率因数大小)不会对参数辨识结果产生影响.

(4)参数辨识误差主要由辨识算法存在的励磁电流、三角形绕组的环流补偿相误差，以及实时读取数据时存在的互感器及数据采样系统的测量误差组成.当辨识参数应用在精度要求较高的场合时，可以对误差项进行一定的补偿.

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