基于Curvelet变换与分形的遥感图像融合

马 瑶，那 彦，张守将，刘 震

(西安电子科技大学电子工程学院，陕西 西安 710071)

遥感图像融合是利用空间分辨率低、光谱信息丰富的多光谱图像和空间分辨率高、光谱分辨率低的全光谱图像进行融合，从而获得空间分辨率和光谱分辨率均较高的图像。对图像融合算法的要求一般为:最大限度保留源图像中的重要信息;在融合过程中尽可能少地引入虚假信息;同时，算法必须具有可靠性、稳健性，最大限度地抑制噪声或未精确配准带来的干扰。多分辨率分析方法在提高图像分辨率的同时对源图像光谱信息的保留具有相当好的性能，包括使用相关性、平均差值、标准偏差等指标评估都能得到较好的效果，因此多分辨分析方法是目前图像融合处理中研究热点之一。

分形维数是分形几何理论中重要的基本概念，而图像的纹理是图像分析与处理的一个重要内容。所谓纹理是物体表面不规则程度的一种度量，而图像的分形维正好反映了这种变化。基于分维数的特征提取度量的是图像灰度分布的复杂度变化，而且它顾及了图像在不同尺度下的变化情况，并非只反映固定尺度下的灰度幅值变化。也即作为图像复杂程度的度量，分形维数不仅测度信号的复杂程度，而且拥有多尺度多分辨率变换下的不变性。其大小与人类视觉对图像纹理光滑性的感知特性相同，即分形维数越小，对应的图像越光滑;反之，分形维数越大，对应的图像越粗糙。因此分形维数是分形运用于图像处理中的一种主要工具，它可以用来作为图像纹理的一个重要特征而被用于图像分割、纹理的边缘检测和图像融合等方面。

基于以上图像的多尺度分解和分形提取纹理等特性，采用图像的Curvelet变换，同时结合文中提出的一种新的改进的基于分形布朗运动的分维数计算方法，提出了一种新的图像融合算法，并与传统的图像小波变换与高频系数取大融合算法进行仿真对比。

1 Curvelet变换和分维数计算

1.1 Curvelet变换

在图像处理中，由于一般边缘是曲线不是直线。为有效表示曲线奇异性，E.J.Candes给出了一种单尺度脊波分解，基本思想为:当把曲线无限分割时，每一小段可以近似地看做是直线段，这样就可以在这个直线段上进行脊波分析。在单尺度脊波分析的基础上，构造了一种多尺度脊波系统，称之为曲波(Curvelet)。可以把一代Curvelet变换看成一种多尺度的脊波变换。一代Curvelet变换是在连续域中定义的，其数字实现比较复杂，需要经过子带分解、平滑分块、正规化和脊波分析等一系列步骤，而且Curvelet金字塔的分解也带来了大量数据冗余，因此E.J.Candes等提出了实现更简单、便于理解的快速Curvelet变换算法，即二代Curvelet。

文中采用基于特殊选择的傅里叶采样的卷绕。第二代Curvelet变换的WRAP算法步骤为:

(1)对于给定的一个笛卡尔坐标下的二维函数f［t1，t2］经过二维 FFT 得到二维频域表示，－n/2≤n1，n2＜n/2。

(4)对上一步得到的f^做二维IFFT，得到离散曲波系数。

1.2 分维数计算

文中采用一种新的分维数计算方法，即基于离散分形布朗随机运动模型的分维数计算方法。分形布朗运动是由Mandelbort和Ness提出的基于布朗运动数学模型和分形理论结合的分形布朗运动曲线。是一种无规律的分形曲线，它也具有分形的自相似特性。

不同于以往的差分计盒维数计算方法，基于布朗运动的分维数计算方法在图像粗糙度大时，其对图像纹理特征的提取能力更加优越。同时，布朗运动分维数计算法的应用范围也更加广，对图像的纹理也更加敏感。

设图像大小为N×N，点(i，j)处的灰度值为Y(i，j)，选取图像的中心点为(x，y)。选择图像的8个方向求取相邻像元灰度变化求取改点的分形维数。采用离散分形布朗随机模型中的方向分维方法。其灰度变换的数学统计均值为Er(Δt)=E G(t+Δt)－G(t－Δt )，即以t为中心，分别沿如图1的方向，以Δt为步长求取像元灰度变化统计均值。将获得灰度变换均值作为图像的分维数。文中采用8个方向进行求取，最后将8个方向获得分维数求取均值，作为图像的综合分维数。

图1 图像方向维示意图

2 图像融合算法

文中采用的遥感图像的高频部分主要包含了空间细节部分的信息，低频部分主要包含的是光谱信息，图像低频分量代表了图像的近似。在低频融合采用区域能量取大算法，选取窗函数内能量最大的像素点作为融合后图像的像素，在较大程度上保持了图像低频近似。

高频子带代表着图像中的边缘与细节信息，这些信息是组成遥感图像中各类地物的重要纹理特征。高频子带中具有较大绝对值的系数对应于图像强度变化较为强烈的区域，其高频系数的对比度也远大于其他周围区域。文中在高频采用分形分维取大的方法，由于分维数可以代表图像的细节信息，因此选择分维数大的像素点作为融合后图像的像素，可以在最大程度上使融合后图像在细节信息上更丰富。

由于低频和高频融合算法均采用区域窗函数计算能量和分维数，因而融合后图像的各个相邻像素点具有更好的相关性，最大程度地避免最后图像光谱扭曲现象的产生。

图2为实验的算法框图。多尺度变化分别采用Curvelet与小波两种变换。各变换后的最高层系数作为高频系数，利用分维数取大算法进行处理;其余层系数作为低频系数，采用区域能量取大算法进行处理。

图2 基于Curvelet变换与分形的图像融合算法框图

3 实验结果及分析

该组实验采用大小为的低分辨多光谱可见光图像和高分辨全色图像。Curvelet分解为5层，1～4层系数作为图像的低频系数，采用低频区域能量取大算法进行融合;第5层作为图像的高频系数，采用上文中提到的基于改进的分形布朗运动的分维数计算方法，先计算图像像素的分维数，采用分维数取大融合规则。

对比实验采用小波变换对图像进行分解，低频没有方向，采用低频能量取大的融合规则;高频为水平、垂直、对角线3个方向，分别采用高频系数取大的融合规则。

为更加有效地评价文中所提方法的有效性，采用平均梯度、空间频率、光谱扭曲度和信息墒等客观评价参数对融合效果进行客观评价。

表1 两种算法融合结果参数

主观观察融合后的图像，不难发现基于小波变化+高频系数取大算法基本上融合了全色图像的细节信息和多光谱图像的光谱信息，而文中采用的Curvelet变换结合基于分形布朗运动分维数计算的融合算法，在图像清晰度上有了较大程度的提高，同时由图5与图6的对比发现，文中算法的融合结果图，如图6所示，无论是在细节信息的丰富程度还是图像的光谱清晰程度上都是要远高于小波加高频系数取大算法的融合结果，如图6所示。

分析表1的数据可以发现，客观数据与主观图像观察结果完全一致。从参数对比可以看出，文中采用的基于布朗运动的分维数计算算法在表征图像纹理信息上是具有很大的优势的，不管是平均梯度、空间频率还是信息墒等参数上，相对于对比实验都具有一定的优势。

4 结束语

综上所述，可以发现Curvelet变换+基于改进的分形布朗运动的分维数计算算法相比于传统的小波+高频系数取大在保证了图像的光谱信息基础的同时，提高了图像的信息丰富度，对图像纹理的表征等特性有较大的提高，证明了文中算法的优异性。

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