设计验算点新方法的应用及物理意义

王力，杜海彬，杜硕

(1.河北联合大学河北省地震工程研究中心，河北唐山 063009;2.河北机电职业技术学院，河北邢台 054000)

0 引言

工程结构可靠度的分析具有大量的不确定性，如结构外部环境的不确定性，包括荷载类型和结构所处的位置的等，结构本身的不确定性，包括构件材料的性能、截面几何参数和计算模型的精度等。因此结构点可靠度的计算存在一定的问题，但是每种方法的实际物理意义是统一的，都是在满足极限状态方程的条件下，在某一结构点出现的概率最大，进而分析结构可靠度的指标是否符合国家规范可靠指标统一标准的要求，因此，有必要从设计验算点法的原理出发，研究其存在的物理意义。

1 设计验算点法的原理

基本原理是将非正态的变量正态化，替代的正态分布函数要求再设计验算点处积累概率分布函数(CDF)和概率密度函数(PDF)值分别和原变量的CDF值，PDF值相等当量正态化后，采用改进的一次二阶矩法计算原理求解结构的可靠指标β值［1］。

对结构可靠度进行分析，将影响结构可靠性的因素归纳为两个综合量:即结构或结构构件的荷载效应S和抗力R，Z=g(R，S)=R－S。由于影响荷载效应S和结构抗力R都有很多更基本的随机变量(如截面几何特性、结构尺寸、材料性能等)。

设这些随机变量为X1、X2…Xn，结构功能函数的一般形式为:Z=g(X1、X2…Xn)。下面以极大似然估计法来说明设计验算点的物理意义:

功能函数Z=g(X1，X2…Xn)，其中X1，X2…Xn即为影响可靠指标β的随机变量。

其应用设计验算点法的条件［1］:

1)随机变量X1、X2…Xn服从任意分布，进而统一化成正态分布

2)Z=g(X1、X2…Xn)可以是正态分布，也可以是非正态分布

3)当基本变量Xi具有分布类型的信息时，将Xi的分布在处变换为当量正态分布，以考虑变量分布对可靠指标计算结果的影响

则各随机变量可假设为以下分布图形:

图1 各随机变量分布图形

根据概率分布的知识，得知各随机变量之间是相互独立的，从结构上来讲，各个随机变量都是影响结构失效的作用因素，我们要找到对结构失效作用最大的一点，即求各随机变量同时发生的概率的最大值［2］。如下图表示可靠指标的几何图形:

图2 可靠指标的几何图形

注意:若极限状态边界图形为曲线，如②则取其合理切线，找其最短距离β。

设极限状态方程Z=g(X1、X2…Xn)即为求失效概率最值的边界条件，

根据拉格朗日乘数法，列拉格朗日函数如下:

根据数学分析，要求∏的极值，则需做以下工作:

2 设计验算点法在岩土工程中的应用

研究地基变形的可靠度分析［3］，首先按地基基础设计规范的地基沉降计算公式:

式中:ψs—沉降计算经验系数，根据沉降观测资料及经验确定。

n—地基变形计算深度范围内的土层数。

P0—基础底面处的附加应力(kPa)，P0=P－rD

P—基底总压力(kPa)

D—基础埋置深度(m)

Esi—基础底面下第i层土的压缩模量(MPa)

Ζi，Ζi－1—基础底面至第i层和第i－1层底面的距离

Ci，Ci－1—基础底面计算点至第i层和第i－1层底面范围内的平均附加压力系数

随机变量:式中Es变量共有n个，Zi变量共有2n－1个(其中当i=1，2…，n－1)时，Ζi各出现两次，i=1时，Ζi出现一次，加上P0，ψs及Δ，共有3n+2个变量。

由于JC法求可靠度的方法:各个变量的一阶偏导数由下式求得，

验算点的值为:

将验算点值代入极限状态公式得:

用迭代法计算可靠指标β，计算时可先假定验算点为各自的平均值。

可见，在标准正态随机空间中，β的几何意义是自原点到极限状态曲面的最短距离，极限状态曲面上距离原点最近的那一点称为设计验算点，同时也是极限状态曲面上对失效概率贡献最大的点［3-4］。因此以上对地基变形的可靠度分析的研究充分体现了设计验算点的精确性。

3 结论

3.1 可靠度的意义

(1)结构设计的目标就是保障结构可靠度Ρs总够大，或失效概率Ρf总够小。《建筑结构可靠度设计统一标准》规定，结构构件承载力极限状态设计时采用的可靠指标是以建筑结构安全等级为二级时延性破坏的β值3.2作为标准。

(2)根据实践及经验判断，由此找到了结构可靠性与经济合理化的一个最佳平衡点，同时把这个点叫做结构设计可靠指标[]β。可靠指标[]β考虑了公众心理，结构重要性，结构破坏性质，社会经济承受力等因素，规范规定β=2.5～4.0，并编入《建筑结构可靠度设计统一标准》，同时结构构件承载力极限状态的可靠指标[]β取值参照GB50086－2001。

(3)荷载分项系数 (r，r)确定与可靠指标[β]有很大关系。(，，R*)的值与可靠指标β及各基

GQ本变量平均值、均方差有关。∀rG，rQ及rR值则按极限状态设计所得的结构构件的可靠指标β与目标可靠指标[β]不一致。当达到最小值，rG，rQ即为所求，此外，抗力分项系数rR的确定，荷载组合值系数ψC的确定都要考虑与可靠指标β的最佳一致性。

3.2 设计验算点的物理意义分析

(1)如上图2所示，结构构件满足极限状态方程的条件下，在处出现的概率最大，同时该点为极限状态曲面上距离原点最近的一点，即设计验算点。由设计验算点求得的可靠指标β具有代表性，极限性，进而参考国标及设计规范的取值，并判断结构的可靠性，耐久性与安全性。

(2)根据功能函数的几何图形，我们可以看出在极限状态曲面上所有点Z=0，结构构件极限受力状态，曲面以上区域Z＜0，结构失效;曲面以下区域Z＞0，结构可靠。因此我们由设计验算点(即对结构失效概率贡献最大的点)计算得到的可靠指标β是验算结构可靠性的最有效的数据。

3.3 设计验算点法的优点

(1)当结构的功能函数为非线性或有关模糊随机变量的确定率分布为非正态和对数正态型时，计算广义可靠性指标的中心点法不再适用，应该用验算点法。

(2)设计验算点法具有不易发散，收敛速度快和计算结果精度高的特点。

［1］赵国藩 等.结构可靠理论［M］.北京:中国建筑工业出版社，2000.12.

［2］佟晓君，马群，吴春廷，陈海彬.验算点法(JC)法求解可靠指标β的一种新方法［J］.河北理工大学学报，2003.11.

［3］李桂青，李秋胜编.工程结构时变可靠度理论及应用［M］.北京:科学出版社，2001.

［4］李国强，黄宏伟等.工程结构荷载与可靠度设计原理［M］.北京:中国建筑工业出版社，2005.