涡判据在孔腔涡旋流动拓扑结构分析中的应用

胡子俊，张 楠，姚惠之，杨子轩

（1中国船舶科学研究中心，江苏 无锡 214082；2清华大学工程力学系，北京 100084）

1 引 言

涡是流体运动中一种常见的现象，在湍流研究的各个领域都具有重要的研究意义和实用价值，Küchemann[1]称其为流体运动的肌腱（the sinews and muscles of fluid motions，1965）。 在船舶工程领域，研究涡旋形式及其演化规律具有重要意义，因为阻力、噪声、空泡等问题都和涡有密切联系。尽管涡现象随处可见，但人们对于涡的认识尚处于起步阶段，到目前为止仍没有人能对涡给出一个严格的定义。Saffman（1979）[2]认为涡是以势流或物面为边界的有限体积的旋转流体，Lugt（1983）[3]则把涡称为是一群绕公共中心旋转的流体质点，Green（1995）[4]则说涡是涡量集中的区域，但是这些说法都是基于人们对涡的直观认识，没有严格的数学推导和证明，无法得到人们的公认，因而不能作为涡的准确定义，这就给涡的识别带来了极大的困难。由于缺乏准确的定义，涡的识别只能从涡的性质入手，经过研究人们总结出了涡具备的三条重要的性质：

（1）涡是涡量集中的区域；

（2）涡心处的压力极小；

（3）流体的变形可以分解为对称部分（应变率张量）和反对称部分（涡张量），存在涡的区域反对称部分的贡献占优。

基于这些认识，人们提出了各种涡的识别准则，Chong等人（1990）[5]提出了Δ判据作为识别涡的标准，Hunt等人（1988）[6]提出了 Q 判据，Hussain 等人（1993）[7]则提出了 λ2判据，这三种判据均由速度梯度张量的各个不变量组合而成，因而具有广义的伽利略（Galilean）不变性，这一点也被认为是涡判据的一个重要标准。本文介绍了涡的各种判据及物理意义，给出了这些判据在孔腔等涡旋识别中的实际应用结果。

2 涡的识别方法

前面提到，涡是涡量集中的区域，因此自然想到用涡量的模作为涡的判据，认为涡量极大的地方是涡的中心，但是这个判据具有明显的局限性，体现在以下两个方面：第一、涡量极大不等于有涡存在，以层流平板边界层为例，其涡量最大处位于壁面上，但是很明显没有涡存在；第二、也是关键的一点，不具有广义伽利略（Galilean）不变性，其大小和坐标系的选取有关。

2.2 Q判据

其中‖‖表示张量的二范数，若Q>0则有涡存在，反之则没有。另外Q的大小和坐标系的选取是无关的，原因在于Q可以化简为：ji

ui,juj,i（逗号表示求空间导数）恰好是速度梯度张量的第二不变量，由于速度梯度张量具有广义Galilean不变性，因此其第二不变量的值与坐标系的选取无关。

这样就得到了一个满足广义Galilean不变性的涡判据，该判据也是目前人们广泛使用的一种判据，但该判据也存在缺陷，表现在“涡张量对流体变形的贡献大于应变率张量的贡献”为一个模糊的概念，导致Q判据经常将没有涡的区域识别成有涡的区域，也就是说Q判据是一个偏弱的判据，有时候需要辅以压力极小的条件来对涡进行识别。

2.3 Δ判据

Chong等人于1990年提出了另一个涡判据，他们指出涡心处的速度梯度张量具有虚数特征值，并以此为依据提出了Δ判据。速度梯度张量的特征方程可以写成：

其中q，r分别为速度梯度张量的二、三不变量。该判据是由速度梯度张量的不变量组合而成，因此具有广义Galilean不变性，但其也具有缺陷，最主要体现在该判据虽然指出有涡的区域速度梯度张量具有虚数特征值，却并没有提到没有涡的区域是否所有特征值均为实数，事实上并非如此，因此该判据也是一个偏弱的判据。如果将该判据和Q判据进行比较不难发现，由于q=2Q，因此若Q>0，则有q>0，则必然有Δ>0，所以Δ判据是比判据Q更弱的判据，目前并不常为人们使用。

2.4 λ2判据

Hussain等人于1993年从涡心处压力极小出发推导了λ2判据。他们从N-S方程出发，

两边取 ∂/∂xj，得到：

将速度梯度张量ui,j写成其对称部分Sij和反对称部分Ωij得到：

该方程的反对称部分是我们熟悉的涡量输运方程：

将（7）式和（8）式相减，得到方程（7）的对称部分：

为简单起见，忽略（9）式中左端的前两项，也就是忽略粘性和非定常效应，得到：

方程（10）的右边是压力的二阶导数，为一个对称张量，如果局部压力极小，那么pij至少有两个正特征值，也就是说方程（10）左边的张量至少有两个负特征值，记（10）式左边为S2+Ω2，并且其特征值为λ1≤λ2≤λ3，如果λ2＜0 则认为有涡存在。

由于λ2是应变率张量和涡张量组合得到的张量的特征值，所以该判据具有广义的Galilean不变性，因此λ2的值和坐标的选取无关。前面提到的Q判据也可以用张量S2+Ω2的特征值表示如下：

可见这两种判据有紧密的联系却并不等价，事实上这两种判据各有优劣，目前都被人们广泛使用，综合使用能得到更好的结果。

3 涡判据的应用

3.1 二维流动

二维流动是一种流动的简化情况，只有两个方向的速度，这样速度梯度张量可以简化成一个2×2的张量，需要注意的是在使用λ2判据的时候，仍是考虑3个特征值，只是有一个特征值恒为0，情况比较简单。下面给出一些流动计算结果的分析。

算例1：算例1是一个开有孔腔的物体的绕流问题，模型几何与流场计算结果请见参考文献[8]。图1为其中纵剖面（x-y剖面）上某一时刻的流线图，左边为均匀来流方向，孔腔内能够明显的观察到有涡存在（图1（b）），图2是Q=0以及λ2=0的等值线，等值线包围的区域是涡判据得到的有涡的区域，和图1比较不难发现，除了确实有涡的区域外，还有大量没有涡的区域也有等值线存在，前面的分析提到目前所有的涡判据都是偏弱的判据，因此常以Q>δ或λ2＜-δ（δ为一正实数）作为涡存在的判断标准。图3取δ=1 000作为判断标准，可以看到等值线集中在了孔腔的内部，而外部的势流区域不再被错误地识别，为了更好地分析涡判据的识别效果，孔腔区域被放大并显示在图4中，该区域中的速度矢量图也显示在同一张图中以便比较。图中标有A的区域是确实有涡的区域，但是标有B的区域却不能观察到涡，并且无论如何增大的δ取值均无法将这些区域上的等值线去掉，这说明尽管这些判据可以识别出有涡的区域，但是也有可能对没有涡的区域做出错误的判断。评判涡判据好坏的另一个重要标准是其对涡心的识别能力，因此我们将体积最大的一个涡（图4中虚框部分）放大，根据前面的介绍，理论上离涡心越近Q的值越大而δ的值越小，而图5（a）中Q=3 000却并不位于涡心处，因此就该算例而言，Q判据对涡心的识别并不成功，λ2判据的结果则稍好，在涡心附近存在λ2=-3 000的等值线。

图 2 算例 1涡判据等值线 （a）Q=0；（b） λ2=0Fig.2 Contour lines of vortex identification of case 1(a)Q=0;(b)λ2=0

图 3 算例 1涡判据等值线 （a）Q=1 000；（b） λ2=-1 000Fig.3 Contour lines of vortex identification of case 1(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

图4 算例1孔腔内部涡判据等值线 （a）Q=1 000；（b） λ2=-1 000Fig.4 Contour lines of vortex identification of case 1 in cavity(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

图5 算例1孔腔涡心附近涡判据等值线 （a）判据；（b）λ2判据，具体数值标于图中，C为实际涡心位置Fig.5 Contour lines of vortex identification of case 1 nearby vortex center(a)Q identification;(b)λ2identification,and the numerical values are shown in the figure

3.2 三维流动

真实的流动均是三维的，因此涡判据最终要用于三维涡的识别。本节中给出了涡判据在三维流场的涡的判断中的应用。

算例2：本算例为算例1的三维流场，为简单起见我们只考察孔腔内的流动。图6显示的是Q=1 000及λ2=-1 000的等值面。从图中可以看出，两种判据的判断结果基本相同，我们选取几个特殊的截面，来观察这些等值面包围的区域内是否确有涡存在。第一个剖面为y=0.042，如图7所示，从矢量图可以看出该截面上有两个沿y方向的涡，并且这两个区域均被Q或λ2的等值线标示出，说明这两种判据均成功地识别了这两个涡。图8显示的是x=0.129截面上的涡判据等值线和速度矢量，两种判据也都准确地识别了涡的位置。图9显示的是z=0.143截面上Q=10以及λ2=-10的等值线（Q=1 000以及λ2=-1 000的等值线不存在），从矢量图可以看出在该截面上存在一个很大尺度的涡，但是涡判据却无法识别这个涡，事实上涡判据对大尺度涡的识别确实存在一些困难，前人的研究发现在弯槽和旋转槽道流动中均有大尺度的流向涡——Taylor涡存在，涡判据也无法很好地识别。

图 6 算例 2涡判据等值线 （a）Q=1 000；（b） λ2=-1 000Fig.6 Contour lines of vortex identification of case 2(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

图7 算例2，y=0.042截面上矢量图及涡判据等值线 （a）Q=1 000；（b）λ2=-1 000Fig.7 The vector diagram and contours of vortex identification of case 2 on section y=0.042(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

图8 算例2，x=0.129截面上矢量图及涡判据等值线 （a）Q=1 000；（b）λ2=-1 000Fig.8 The vector diagram and contours of vortex identification of case 2 on section x=0.129(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

4 结 论

本文主要就湍流中涡的识别进行了研究。尽管人们对涡仍没有一个严格的定义，但是基于实际研究的需要，各种识别涡的判据应运而生，这其中Q判据和λ2判据被人们广泛使用，本文即使用这两种判据对一些实际流动问题进行了涡的识别和分析，取得了有意义的结果，主要结论如下：

（1）无论Q判据还是λ2判据，均是一个偏弱的判据，因此我们通常选用Q>δ或λ2＜δ（δ为一正实数），而不是作为涡存在的判断标准，并且最佳的δ依赖于特征长度和特征时间，具体值的选取依赖于实际流动状态和研究者的经验。

（2）λ2判据对涡心的识别能力更强。

（3）某些不能观察到涡的区域被涡判据识别为有涡的区域，如何改进涡判据将这些区域自动排除是未来一个值得研究的课题。

（4）大尺度的涡的识别是目前流体力学领域的难题，目前的涡判据虽然能够反映一些特征，但还不够完善，值得深入研究。

[1]Küchemann D.Report on the IUTAM symposium on concentrated vortex motion in fluids[J].J Fluid Mech,1965,21:1-20.

[2]Saffman P G,Baker G R.Vortex interactions[J].Annu.Rev.Fluid Mech,1979,11:95-122.

[3]Lugt H J.Vortex Flow in Nature and Technology[M].John Wiley&Sons,1983.

[4]Green S I.Fluid Vortices[M].Springer,1995.

[5]Chong M S,Perry A E,Cantwell B J.A general classification of three-dimensional flow fields[J].Phys.Fluids A,1990,2:765-777.

[6]Hunt J C R,Wray A A,Moin P.Eddies,stream,and convergence zones in turbulent flows[R].Center for Turbulence Research Report CTR-S88,1988:193-208.

[7]Melander M V,Hussain F.Coupling between a coherent structure and fine-scale turbulence[J].Phys.Rev.E,1993,48(4):2669-2689.

[8]张 楠.孔腔流动和流激噪声机理及耦合计算方法研究[D].无锡:中国船舶科学研究中心,2010.

Zhang Nan.Research on mechanism and hybrid computation approach for cavity flow and flow induced noise[D].PHD Thesis,CSSRC,2010.