相应于仿射GNW代数的顶点算子代数

徐崇斌

(1．温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035；2．华南理工大学理学院，广东广州 510640)

相应于仿射GNW代数的顶点算子代数

徐崇斌1,2

(1．温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035；2．华南理工大学理学院，广东广州 510640)

利用一般顶点代数构造定理，构造了相应于仿射GNW代数的顶点代数，该顶点代数在中心元作用非零的条件下是一个顶点算子代数．

仿射GNW代数；顶点代数；顶点算子代数

众所周知，在数学中，顶点算子代数（VOA）是一种新的代数结构，与通常的代数结构有很大的区别．这种代数结构与“共形场论”等相关物理领域有着广泛的联系，在纯粹数学领域，如在“月光猜想”、“魔群表示”以及几何Langlands对应理论中，也被证明是非常有用的．顶点算子代数的概念最先由英国数学家Richard Borcherds在1986年给出，Richard Borcherds也因相关工作获得了Fields奖[1-3]．关于顶点算子代数的公理化定义有两个主流版本，它们是彼此等价的，都是对理论物理中的手征代数的代数形式化解释．目前，人们掌握的顶点算子代数的例子不多，仅有相应于格点、Virasoro代数、无扭仿射李代数、Heisenberg代数的顶点算子代数等少数几个，它们都是在上世纪八十年代末由I. Frenkel、J. Lepowsky和A. Meurman给出的．因此，在顶点算子代数理论中，新顶点算子代数的构造是一个基本而重要的问题．

Nappi-Witten代数是物理学家在研究WZNW模型时引入的一个复数域上四维李代数，因为该代数拥有一个非退化对称不变双线性型，所以可以像无扭仿射李代数一样对它进行仿射化．关于仿射Nappi-Witten代数表示的研究最初始于文献[4]，系统的研究由Bao等人最近给出[5]．在文献[5]中，Bao等人还构造了相应于仿射Nappi-Witten代数的顶点算子代数．

本文首先引进了一个新的有限维代数，因为Nappi-Witten代数是它的特殊情形，所以称之为推广的Nappi-Witten代数（简记GNW代数）．同Nappi-Witten代数类似，在GNW代数上也存在一个非退化对称不变双线性型，因此，我们自然也考虑它的仿射化．本文的主要目的是推广文献[5]中构造顶点算子代数的相应结果，构造相应于仿射GNW代数的顶点算子代数．

1 仿射GNW代数与它的Verma-模

下面首先定义GNW代数（推广的Nappi-Witten代数）并对它进行仿射化，然后定义GNW代数上Verma模．

2 相应于仿射GNW代数的顶点算子代数

[1] Borcherds R. Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monste [J]. Proc Natl Acad Sci USA, 1986, 83: 3068-3071.

[2] Borcherds R. Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras [J]. Invent Math, 1992, 109: 405-444.

[3] Borcherds R, Conway J, Queen L. A monster Lie algebra [J]. Adv Math, 1984, 53: 75-79.

[4] Nappi C, Witten E. Wess-Zumino-Witten model based on a nonsemisimple group [J]. Phys Rev Lett, 1993, 23: 3751-3753.

[5] Bao Y, Jiang C, Pei Y. Representations of affne Nappi-Witten algebras [J]. J Alg, 2011, 342(1): 111-133.

[6] Lepowsky J, Li H. Introduction to vertex operator algebras and their representa-tions [M]. Boston: BirkhÄauser, 2003: 49-65.

[7] Frenkel I, Lepowsky J, Meurman A. Vertex operator algebras and the Monster [M]. New York: Academic Press, 1988: 244-246.

[8] Kac V. Vertex algebras for beginners [M]. 2nd ed, Providence: AMS, 1997: 14-15.

[9] Frenkel E, Ben-Zvi D. Vertex algebras and Algebraic Curves [M]. 2nd ed, Providence: AMS, 2004: 20-22.

Vertex Operator Algebra Corresponding to Affine GNW Algebra

XU Chongbin1,2
(1. School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035; 2. School of Sciences, South China University of Technology, Guangzhou, China 510640)

By means of the general vertex algebra structure theorem, the paper constructs the vertex algebra corresponding to affine GNW algebra and concludes that such kind of vertex algebra is a vertex operator algebra under the condition that the action of the central element is nonzero.

Affine GNW Algebra; Vertex Algebra; Vertex Operator Algebra

O152.5

A

1674-3563(2012)06-0001-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.06.001 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2012-04-19

徐崇斌(1977- )，男，湖北黄梅人，讲师，硕士，研究方向：代数学