强化开放题训练 培养创造性思维

国际数学教育委员会曾指明，“在数学课堂里更多地进行没有固定答案的问题研讨，也许将会使更多的学生体验到科学赋予该学科的美感。”其中“没有固定答案的问题”即是数学教学中通常提及的开放题。日本学者泽田利夫说过，一道具有多种答案或者不确定答案的开放题型重点不是让学生寻求最终的答案，而是要让学生培养出寻找答案的创造性思维和态度。而创造性思维是指对某个具有不确定答案的问题付出脑力、感知、推理、联想等的努力而得出的具有创造性思维的答案的思维活动。因此，在教学中，要通过设计不同类型的开放题，培养学生的创造性思维。

一、强化“一题多解”开放题训练，培养学生发散思维

发散思维又称为辐射思维、扩散思维，指在解决问题的思考过程中，从原有的信息出发，向不同方向发散，不受到已知的或现存的思维方式、解决方法的约束，并且从这种求异式的探索思考中，获得多种不同的解决办法，衍生出各种不同的结果。心理学家认为，发散思维是创造性思维的最主要的特点，也是测定创造力的主要标志之一。发散思维一般可以通过一题多解开放题进行强化训练，一题多解是指从不同视角以及运用不同的思维方式来解答同一问题的思考方法，一题多解开放题一般包括：策略开放、条件开放、结论开放等几种类型。

策略性开放题是指问题的解决方法是开放性的、不限定的数学问题。例如，北师大版数学六年级下册“百分数的应用（三）”练习题：“参加田径比赛的人数有54人，比参加球类比赛的人数少25%。参加球类比赛的有多少人？”一般学生可能会用刚学过的列方程方法解答：设参加球类比赛的有x人，（x-54）÷x=25%，通过解方程得到参加球类比赛的人数为72人；也可以直接用算术解法，把参加球类比赛的人数看作单位“1”，列式54÷（1-25%）=54÷75%=72；也有的学生先把25%化成1／4，列式54÷（1-1／4）=54÷3／4=72。

条件性开放题是指解决问题的条件是开放性的，例如填空题（ ）×（ ）=1000，有的学生填100×10=1000，也可以填125×8=1000，25×40=1000，500×2=1000，1000×1=1000，等等，当然把前面每个算式中的两个因数调换位置也是符合题意的；又如应用题：请根据题意补充完整再解答，“参加田径比赛的人数有 人，比参加球类比赛的人数少25%。参加球类比赛的有多少人？”这样的问题补充不同的合适条件，就会得到不同的结果。

结论性开放题是指问题的答案是开放性的，如“学校要租车组织三（1）班50名学生外出春游，大巴车每辆限乘33人，中巴车每辆限坐12人，请同学们帮老师做个租车方案。”又如北师大版三年级上册“除法”练习题：“笑笑4周读完了一本468页的书，淘气3周读完了一本354页的书， ？”（请提出不同的数学问题，并试着解答。）这类问题，虽然条件是确定的，但不同学生会提出不同的数学问题，给不同思维发展水平的学生不同的训练机会。数学思维较弱的学生可能提出一步计算的简单问题，如“笑笑平均每周看书多少页”“淘气平均每周看书多少页”“笑笑和淘气一共看了多少页”“笑笑比淘气多看了多少页”等；而数学能力较强的学生则可能提出多步计算的问题，如“笑笑比淘气平均每周多看多少页”“淘气比笑笑平均每周少看多少页”“笑笑和淘气相比，平均每周谁看书的页数多？多多少页”等。提出的问题不同，得到的结论也是不尽相同，不同层次的学生的数学思维都可以得到逐步发展。

在教学过程中教师应多设计“一题多解”开放题，培养学生善于思考和发现的能力。学生在进行思路分析时会遇到各种阻碍，教师应给予适当的点拨，促进学生能够独立思考各种解题的策略，发展思维多向性和灵活性。

二、强化“最优解法”开放题训练，培养学生聚合思维

聚合思维与发散思维相对应，它是一种有方向、有条理的收敛性思维方式。从多种答案中判断选择出一个正确答案，从多种方案中比较挑选出一种最佳解决方案，根据多项信息资料归纳出一个正确结论的思维过程都属于聚合思维。在数学学与教过程中，既要探求一题多解发展学生的发散思维，也要恰当地引导学生进行不同解法之间的分析比较、筛选优化，找寻学生便于接受的最优解法或简便方法，能够培养学生解决问题的策略优选意识，发展学生的聚合思维。

运用乘法运算定律寻求最优解法。如在学习了乘法结合律、交换律和分配律后，计算125×795×8，则可以先用交换律再用结合律进行简便计算：125×795×8=125×8×795 =1000×795=795000；又如做较复杂的混合运算题：125×795×17-9×795×125，如果学生不认真审题，按照混合运算的一般顺序一步一步来计算，那样的计算量很大也很耗费时间，而且还容易出错。有些学生经过仔细观察分析，发现算式中减号左右两边的同级算式都含有相同的125×795，可以先提取出来，综合采用乘法的多个运算定律进行简便计算：125×795×17-9×795×125=125×795×（17-9）=125×795×8=125×8×795=1000×795=795000。这类题目不但要求学生熟练掌握乘法运算定律，而且还要熟记25×4=100、125×8=1000等特殊算式，这些简便算法也是多种算法中的最优解法，能够做到又对又快，避免学生面对枯燥无味的繁难数字，提高学生掌握技巧做题的兴趣，发展学生的聚合思维。

比较多种解决方案寻求最优解法。例如，北师大版数学三年级下册“旅游中的数学”第43页关于租车的开放题：“老师组织40名学生外出春游，有两种车型可供租用，一辆小车限坐乘客12人，租金120元；一辆大车限坐乘客18人，租金160元。请您帮老师算一算，怎样租车最省钱？”组织学生先独立思考做出租车方案后，再小组比较讨论哪一种方案最省钱。方案一，租一辆小车和两辆大车可以乘坐12+36=48人，满足40人出行，所需租金：120+160×2=440元；方案二，租两辆小车和一辆大车可以乘坐24+18=42人，也满足40人乘坐，所需租金：120×2+160=400元；方案三，有的学生会做出只租一辆小车和一辆大车共需280元的方案，这是没有考虑到能否满足40人乘坐的条件，而且不允许超载，所以这样的方案不能解决出行问题；方案四，还有的学生可能会认为可以租大车、小车各2辆，乘坐60人，租金需560元，此方案理论上解释得通，但是这样操作很浪费，现实生活中一般不提倡。因此，通过比较，学生能够清晰了解方案二能满足40人乘坐并且所需租金最少，是最优的解决方案。

三、强化“正难反解”开放题训练，培养学生逆向思维

逆向思维与正向思维相对应，逆向思维是指不遵循问题中所给条件的先后顺序，从一般的思维定势、解题习惯的相反方向入手推理演绎的思维方式。逆向思维的培养是创造性思维训练中的难点，在教学过程中，在进行正向思维训练的基础上，还必须训练学生不同类型的逆向思维的解题技巧，培养学生的逆向思维能力，促使学生的逆向思维和正向思维相互协调发展。如反证法、逆推分析法等都属于逆向思维方法。

“正难反解”开放题一般是指按照从题目所给出的条件正向分析推理，很难得出问题的结论或结果，则可以改变思考的方向，从问题的侧向或反方向进行思考，从而得到化繁为简、计算简便的解题思维过程。小学阶段，学生接触的题型多数通过正向思维可以解决，学生也就逐步养成了解答任何题型都进行正向思维的习惯，因此他们的逆向思维能力较弱。教师有必要对学生进行正难反解的训练，促使学生养成一种善于逆向思维的习惯。

例如，列式计算题：1119连续减去多少次8后还余下119？如果从正向思考较难找到解决方法，用列方程的方法解答，较为繁琐；从反向思考，如果1119缩小119，尾数则刚好被减完，列式为（1119-119）÷8=1000÷8=125次。

再如，北师大版数学五年级上册“图形的面积”求阴影部分（圆环）的面积，图形如下所示，就可以根据圆面积的计算公式与图中大圆减小圆的面积来求阴影部分的面积。正面计算阴影的面积很难，可运用逆向思维解答，这是两个同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是阴影部分的面积。实际解题过程中，多数组合图形的面积都可以考虑采用逆向思维的方法来解答。

四、强化“多余条件”开放题训练，培养学生批判性思维

批判性思维是一种非常重要的数学思维品质，是创造性思维的前提和基础；批判性思维是一种特殊的反思性思维，强调对已有条件或结论进行质疑、评析以及提出问题等再思考，从而更好地的解决问题。“多余条件”开放题是指题目给出的已知条件过多，有些条件不需使用，也不会影响解题的结果，但是出题者仍然将其放于题目中，干扰学生的解题思维。这时就需要学生具有好的批判性思维，对这些条件进行审核，排除题目中多余的条件，简化原有题目，便于问题的解决。

例如，北师大版“数学与购物”习题：水果店有80箱梨子，有50箱桂圆，桂圆和梨子各项售出5箱，此时的桂圆比梨子少多少箱？这时学生就应该不难看出，桂圆和梨子各项售出5箱这是个多余条件，可以不使用，删除对问题的结果不会有什么影响，因此可以得出式子，50-（80-50）=20箱，从而培养学生的批判性思维。

又如，北师大版数学二年级下册“混合运算”练习：水果市场购进3500根甘蔗，昨天卖出20捆，每捆20根，今天卖出90根，请问，两天一共卖出了多少根？这时不少的学生会被多余条件迷惑，列式为3500-20×20-90，错误地算成了剩下的甘蔗根数；正确的列式为20×20+90，就是总共卖出的甘蔗数量，可见“水果市场购进3500根甘蔗”这个条件是多余的条件，解题时可以忽略，以避免干扰解题思路。

小学生的数学思维还不够缜密，解题过程中容易形成思维定势，因此教学中应强化开放题训练，同时注重培养学生的发散思维和聚合思维，通过“正难反解”开放题训练学生的逆向思维；通过“多余条件”开放题训练，培养他们的批判性思维。只有将这些全面穿插结合训练，培养学生良好的思维习惯，增强数学学习的兴趣，提高学习的积极性，才能发展学生的创造性思维和数学能力。

（责编 罗 艳）