平面图形周长和面积计算须分清线与面

“一块长方形菜地，长是12.8米，宽是4.5米。这块菜地的面积是多少平方米？”此为浙江教育出版社配套新课标人教版出版的小学数学五年级上册的作业本中的一道练习，笔者所教班级此题的错误率达36%。分析学生出现错误的原因，其中33.3%是计算错误，66.7%是套用了长方形周长公式。询问平行班其他任教老师，也出现了同样的情况：学生对长方形周长、面积的计算公式易混淆。在百度中搜索“周长面积混淆”的有关信息，收搜结果达76页之多。可见，在教学平面图形面积公式之后，学生易将其与周长公式相混淆。

一、分析原因

1.教材中材料呈现具有共存性

右图为义务教育课程标准实验教科书《小学数学》三年级下册第41页周长起始课用图，学生在材料中看到的边（周长）和面（面积）是同时的。其中国旗和数学课本更吸引学生关注的是面，很难抽象出周长，与本课教学目的相违。在面积教学中也是类似情况。

《脑与学习》一书中阐述：人们对学习情境的“感觉”会决定其投入注意力的程度。学生根据材料的视觉所获，在大脑中登记的是线与面共存的影像，在接下来的学习中是线面两种注意力共存的学习，且材料对视觉的冲击力度影响着学生对两种注意力的侧重。就算在课堂上，老师有意地强调一个物体的“边”和“面”，学生也很难将它们真正区分开。正是平面图形教学材料在呈现上有共存性，给学生的混淆埋下了伏笔。

2.教材中概念表述具有冲突性

小学阶段所学习的基本平面图形中，教材都是从线的角度来定义的。例如：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形；圆是一条封闭的曲线。但在教学立体图形的时候，却与之不一。例如：圆柱的底面是圆。此句首先肯定了圆柱的底面是一个面，言下之意，圆是一个面。那圆究竟是线还是面呢？

笔者曾对13名六年级一线教师就“圆究竟是线还是面呢？”这个问题进行了调查与访谈。

问题1：圆是什么？

调查结果：回答“圆是一条封闭的曲线”占84.62%。回答“圆是在同一平面内，与固定一点距离相等的点的集合”占15.38%。

问题2：圆柱的底面是什么？

调查结果：回答“圆”占61.54%。回答“圆形”占30.77%。回答“圆面”占7.69%。

问题3：圆是一条线，为什么还说圆柱底面是一个圆？

调查结果：回答“不知道”的占76.92%。回答“小学阶段不要求区分”的占15.38%。回答“学生长大后自然能够区分”的占7.69%。

从调查与访谈结果中不难看出，这13位教师对这个问题一样存在疑惑。教师都存在不解，更何况学生呢？

3.教学中教师过分强调周长面积的计算公式具有过分性

在课堂中，教师往往会通过一定的推理得出平面图形的周长、面积计算公式，会理想地认为学生都已经理解并掌握公式。在练习中，学生自动套用公式，很少去关注之前的推理过程及其针对性。

若学生用错公式，教师问的是应该用面积公式还是周长公式，而非题目所求的本质。

于是，学生对此就产生了理解上的模糊、识记上的混淆，导致应用上的错误。

从以上三个原因看出，造成混淆的关键在于学生对线、面的概念不清。

二、提出解决方案

为解决学生在学习过程中，由于线、面的概念不清而造成的平面图形周长、面积计算混淆问题，笔者对平面图形区分“线”“面”教学进行研究与探索，意图在教学中处理学习材料所呈现的周边信息，帮助学生建立周长与面积两个不同维度的概念；强调数学学习内容与材料的有效性学习；给学生以足够的空间经历操作活动、多次解释活动、思维内化过程，从而使学生理解平面图形周长、面积公式。以下是笔者结合长方形的周长、面积计算，谈谈解决方案。

1.结构图示：如图1所示。

2.具体应用

（1）强调数学学习内容与材料呈现的有效性。

就有效性学习的本身来说，新知识与原有知识系统的可辨析度，是影响学习的重要变量之一。这就需要我们教师帮助学生建立周长与面积两个不同维度的概念，关键在于学习材料所呈现的四边信息的处理。

周长属于一维空间（只有“长度”）。在处理学习材料时，就要突出长方形四边的长度信息，给学生以视觉冲击，在大脑中形成长方形周长就是四边的长度之和的印象。

而面积属于二维空间(由长度、宽度构成的空间)。面积是“面”的大小，是由它的长度与宽度两个因素决定。教师需让学生建立二维印象，弱化四边的长度信息，把其转化为二维信息。如图例中：长为3厘米转化为3个1平方厘米的正方形，宽2厘米转化为有2排；或者宽2厘米转化为2个1平方厘米的正方形，长为3厘米转化为有3排。以此建立面积公式符号与意义的联结。

（2）给予学生经历过程的空间

现代学习心理学认为，学习是学习者原有认知结构的组织与重新组织，而不是“复制知识”的活动；儿童不只是模仿和接受成人的策略和思维模式，他们要用自己原有的知识去过滤和解释新信息，以至理解它、同化它。这里所讲的理解，是指符号所代表的新知识与学生脑中已有的适当知识（概念、原理、公式、定理等）建立了非人为的（非任意的）和实质性的（非字面的）联系。

学生通过操作活动，亲身体验、感受长方形直观背景和周长、面积概念之间的关系，并初步得出周长与面积的解求方法，再内化为学生的一种数学活动经验。此时学生需要有足够的空间来对活动进行思考，即长期同类型的解题练习和意义解释。通过多次的数学活动，经历思维内化、概括过程，学生在头脑中对活动进行多次描述和反思，“熟能生巧”的与相关的周长公式、面积公式建立联系，并抽象出周长公式、面积公式。

数学中的公式是撇开具体事物的质的方面，抽出其量的方面进行研究得出的关系式。它应用广泛，推导方法具有代表性，所以人们把它比喻为“数量关系的精髓”。在教学中，学生不能只记住公式和套用公式，我们要让学生利用它的特殊性来解决问题及解释问题。

（责编 罗 艳）