数学学习因渗透数学思想而厚重

日本数学教育家米山国藏深刻指出：“纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里，长久的活跃于日常业务中。”可见，数学思想和方法之重要。然而，在我们的教学中，那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透基本数学思想、方法的教学，是不完备的教学。它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调基本数学思想和方法的渗透，而忽略表层知识的教学，会使教学流于形式，学生也难以领略到深层知识的真谛。笔者这几年来特别重视对教材的研读和挖掘，致力于探求在数学教学中有效渗透数学思想的措施与方法。

一、在合作交流过程中体验数形结合思想的神奇

案例：二年级上册第九单元“整理与复习”中的第7题

师（出示图1）：你能算出大正方形里一共有多少个小正方形吗？

生1：1+3=4。

师：根据颜色用加法算，不错！还有不同的算法吗？

生2：2×2=4。

师：你是怎样想的？

生2：每排有2个，有两排。

师：看来，同一个问题思考的角度不同，就能得到不同的解决方法。

师（出示图2）：这个大正方形里有几个小正方形？你能用不同的方法解答吗？

生3：1+3+5=9。

生4：3×3=9。

师：谁能分别解释加法算式和乘法算式的意思？

生5：加法就是1个黑色的小正方形加3个浅黑色的小正方形，再加5个白色的小正方形，一共有9个小正方形；乘法就是每排3个，有3排。

师：解释很清楚，我听明白了，你们呢？（众生点头）

师（出示图3）：和你的同桌说说怎样用不同的方法计算小正方形的个数。

生6：1+3+5+7=16，4×4=16。

1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16

2×2=4 3×3=9 4×4=16

师：观察这三组算式，你有什么发现？

生7：我发现上下两道题的得数一样。

生8：我发现上面一道全是加法算式，下面一道全是乘法算式。

生9：我还发现上面加法的加数都是单数。

师：厉害！而且这些单数还是——

生10：有顺序的。

生11：从小到大排列的。

师：那加数分别有——

生：2个、3个、4个！

师（手指乘数）：这还有什么秘密？

生12：我发现加数有几个，下面的乘数就是几！

师：你像火眼金睛的孙悟空！你们能根据规律接着再写一组这样的算式吗？（出示图4）如果有困难可以和同桌商量商量，也可以画画图。

（学生独立在练习纸上尝试，教师巡视，发现绝大部分学生都能正确写出：1+3+5+7+9=25，5×5=25）

师：你是怎么想到1+3+5+7+9=25，5×5=25的？

生13：我是画图得到的。

生14：我在脑子里把刚才的正方形的外面又加了一层，外面一层的小正方形有9个，所以加起来是1+3+5+7+9=25；这样的大正方形里有5排小正方形，每排5个，所以也可以用5×5=25计算。

师：脑中画图，多好的方法，真是个会学习的好孩子！

师：的确，结合图能更好地帮助我们理解这两道算式的含义和联系！

生15：前面是1+3+5+7=16，后面就要再加9这个单数，就变成1+3+5+7+9=25；现在是5个单数，所以是5×5=25。

师：你已经不需要画图，完全根据规律就能写出了，说明你已经真正地把规律记在了心里。

生16：我还知道1+3+5+7+9+11=6×6。

生17：我还知道1+3+5+7+9+11+13=7×7。

生18：我知道有几个连续的单数相加得数就是几×几。

……

反思：有了图形的感官刺激，学生显得尤为兴奋，自觉根据颜色从里向外逐层相加，又根据乘法的意义，列出乘法算式。有了方块图的辅助，给枯燥的算式穿上感性的外衣，使学生理解起来十分顺畅。在提供给学生三组图形后，教师巧妙地设计了让学生自主选择方法写出下一组有关联的加法和乘法算式的环节，由于学生的知识和经验是有差异的，思维发展更是有快慢和层次之分，所以有的学生需要借助动手画图，有的学生只需要在脑中构图，更有的学生则已经不需要图形的支撑直接能根据算式的规律正确列式。需要解释的是，这里的“规律”是学生在积累了大量丰富表象和感性经验的基础上总结出的，是真正理解并内化了的规律，是加法算式和乘法算式之间的规律，所以学生才能类比联想出“几个连续的单数相加得数就是几×几”。这是多么了不起的发现，这个要到高年级才能总结出的规律在图形的帮助下，却被我们二年级的学生用最朴素和浅显的话语表达了出来，数形结合可真是神奇！

二、在动手操作中领略转化思想的美妙

案例：第十册第十单元“圆”中的例8

（学生用数格子的方法得出圆的面积在3r2和4r2之间）

师：那圆的面积到底是它半径平方的多少倍呢？用数格子的方法能求出精确值吗？

生：不能！

师：为什么？

生：数格子有误差。

师：看来，我们得另辟蹊径。想想除了数格子外，我们还用过什么方法推导平面图形的面积公式？

生：转化！

师：比如——

生1：平行四边形转化成长方形，三角形转化成平行四边形，梯形转化成平行四边形。

师：转化的确是个好策略。看看圆，你有什么想说的？

生2：圆是否也可以把它剪拼转化成为熟悉的平面图形，推导出面积公式呢？

师：嗯，多好的问题啊，提出一个有价值的问题往往比解决一个问题更重要！那圆该怎样转化呢？我看到有的同学把两个圆放在了一起，能直接拼吗？

生：不能！

师：为什么？

生3：因为圆的边是曲线，不能拼合。

师：那得先（剪）再（拼）。沿什么剪呢？大胆地和你的同桌说出你的设想。

生4：把圆先对折，然后沿直径剪开。

师：哦，对折后沿直径剪开，你建议对折几次？（两次）这是个不错的主意，那就赶快同桌合作像这样折折、剪剪、拼拼，把圆转化成我们学过的平面图形并贴在白纸上吧！

（学生分小组动手操作，然后分类展示学生拼好的作品，如三角形、梯形、平行四边形等）

师：同学们开动脑筋用圆拼出了这么多我们学过的图形，你认为计算什么图形的面积比较简单？

生：平行四边形！

师：好！我们就一起研究平行四边形。

师：瞧，这组同学的作品，说说你们把圆怎样了？

生5：我们把圆平均分成了4份，拼出一个平行四边形。

师：是真正的平行四边形吗？

生：不是！

师：为什么？

生6：因为它的边是弯的。

师：那只能说是近似的平行四边形。

师：下面的圆呢？上下对比，你有什么想说的？

生7：下面的圆平均分成了8份，拼出的图形更像平行四边形了。

师：能不能把拼出的图形的边变得更直些？（再平均分）平均分成16份，这么复杂的任务咱们就交给电脑吧。瞧，怎么样了？如果要更直，更像呢？（电脑演示，平均分成32份）闭着眼睛想象一下，平均分成64份、128份、256份……会——

生8：平均分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。

师：由4份到8份，再到16份、32份……我们使拼的图形的上下两条边越来越直，也就经历了一个由曲到直的转化过程，最终把圆转化成了近似的长方形。

……

反思：本课在学生用数格子的方法得不到精确值时，调动学生已有的认知经验——把平行四边形转化成长方形、把三角形转化成平行四边形、把梯形转化成平行四边形去求面积，从而想到把圆转化成学过的图形。但是圆是曲线围成的图形，这和前面学过的线段围成的图形有着本质的区别，如何转化是个难点，所以这里学生的交流与教师的引导是必要的。通过教师的引导与同伴思维的碰撞，学生想到了把圆对折后沿折痕剪开，然后再拼，于是问题迎刃而解。接下来教师给予学生小组合作的时空，让学生在剪剪、拼拼、贴贴中把圆转化成学过的平行四边形、三角形、梯形。由于课堂时间有限，并且平行四边形的计算最简单，推导过程也相对容易些，所以教师引导学生选择平行四边形进行圆面积公式的推导。在以上环节中，学生通过剪拼、观察、电脑演示、闭起眼睛想象等活动，不仅经历了由新到旧、由难到易、由曲到直的转化过程，还体会到圆被分的分数越多，拼成的图形越接近长方形的极限思想。

三、在自主探究中感受归纳、演绎思想的魅力

案例：苏教版“公倍数和公因数”练习五第2题

师：能用画√的方式找出这些数的因数和公因数吗？

生：能！

（学生独立解决，教师巡视）

师：我发现这位同学找得又对又快，能介绍你的好方法吗？

生1：我是一对一对找的，比如说找到1就想到30……

师：你们觉得这个方法怎么样？

（学生们赞同地点点头，并自觉运用这种方法）

师：谁愿意把你的思考和大家分享？

生2：8的因数有1、8，2、4；10的因数有1、10，2、5；20的因数有1、20，2、10，4、5。

生3：8和10的公因数有1、2，最大公因数是2。

生4：8和20的公因数有1、2、4，最大公因数是4。

生5：10和20的公因数有1、2、5、10，最大公因数是10。

（电脑同步演示，并闪烁相应的公因数）

师（电脑闪烁“1”“2”）：你们还能发现什么？

生6：我发现1和2既是8的因数，又是10的因数，还是20的因数。

生7：1和2是8、10、20的公因数。

师：厉害，还知道1和2是这三个数的公因数呢！

生8：1是所有非0自然数的公因数。

师：你们认为呢？

生：同意。

师：比如说——

生9：1是1的因数。

生10：1是2的因数。

生11：所有的奇数都有因数1，所有的偶数也都有因数1，所以1是非0自然数的公因数！

师（走到生11旁边握着他的手）：谢谢你的发现，使我们的思考更加深刻。

师：观察10和20，你发现它们有怎样的关系？

生12：倍数关系。

师：再仔细看它们的因数，你还能发现什么？

生13：10的因数全是20的因数。

生14：找10和20的公因数只要找10的因数。

生15：10和20的最大公因数就是10。

师：我们班的同学就是爱动脑子，这么伟大的规律都被你们发现了。你还能找到像这样有倍数关系的一对数吗？

生16：3和6。

师：找它们的公因数只要看谁？

生：3。

师：为什么？

生17：因为3的所有因数都是6的因数。

师：3和6的公因数有——

生：1、3。

师：最大公因数是——

生：3。

师：谁还能举例？

生18：8和40。

师：它们的公因数有——

生：1、8，2、4。

师：最大公因数是——

生：8。

（学生情绪高涨，跃跃欲试）

师：还想说，那就和你同桌说一说，让他找找公因数和最大公因数吧。

师：这样倍数关系的数说得完吗？你有什么好办法，只说一句话？

生19：找有倍数关系的两个数的公因数只要找小数的因数，它们的最大公因数就是小数！

……

反思：学生在找出8、10、20 的因数后，通过观察发现1和2既是8的因数，又是10的因数，还是20的因数，所以归纳得出1和2是8、10、20的公因数。教师的激励性评价和开放的课堂教学给了学生思维的翅膀，使学生归纳得出1是所有非0自然数的公因数。这里的归纳思想尽显无疑，且教师的“比如说”又把学生的思维引向了归纳的反面——演绎，让学生举出一些例子来验证此结论。更妙的是，有学生从奇数和偶数的角度去全面归纳，再次验证了1是所有非0自然数的公因数的结论。下面的环节可谓更加精彩，学生在发现了有倍数关系的10和20及10的所有因数都是20的因数后，推想出找10和20的公因数只要找10的因数，而且它们的最大公因数就是10。“我们班的同学就是爱动脑子，这么伟大的规律都被你们发现了。你还能找到像这样有倍数关系的一对数吗？”教师的提问再次把学生引向了归纳的方向。学生在举出大量的例子并对倍数关系的两个数的公因数和最大公因数有了更为深刻的理解后，教师的提问“这样倍数关系的数说得完吗？你有什么好办法，只说一句话”，便使学生水到渠成地归纳出“找有倍数关系的两个数的公因数只要找小数的因数，它们的最大公因数就是小数”的结论。以上环节，在学生的自主探索过程中，归纳和演绎这两种对立又统一的数学思想互相交织，完美地融合在一起，使学生经历了观察——猜想——验证——归纳的全过程。

我们知道数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地编写在教材中，是有“形”的；而基本的数学思想和方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。但学生只有领会了基本的数学思想和方法，才能有效地应用知识解决问题，形成能力。所以，教师在教学中要认真研读教材，根据学生的年龄特点和认知规律，有效开发教学资源，把教学资源变静态为动态、变枯燥为鲜活、变封闭为开放，让学生充满灵性、富有智慧，使数学学习因承载数学思想而变得厚重而丰润。

（责编 杜 华）