八法在手,解选择题易如反掌

高考数学试题的选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大．解答选择题要准确、迅速，只有这样才能赢得时间，获取高分，因此我们必须采用合适的解题方法．

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直接法就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确选项的方法．

■ 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB等于（ ）

A． ■?摇?摇 B． ■?摇 C． －■?摇 D． －■

破解 此题是直线和抛物线的常规问题，联立求出A、B两点坐标后转化为解三角形或利用向量求解． 联立y2=4x，y=2x－4消去y得x2－5x+4=0，解得x=1，x=4．

不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为（4，4），（1，-2），

可求AB=3■，AF=5，BF=2，利用余弦定理得cos∠AFB=■=－■． 选D．

反思 直接法是解答选择题最基本的方法，适用的范围很广，低档选择题可用此法迅速求解．只要运算正确必能得出正确的答案，因此在学习中必须提高直接法解选择题的能力．

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特殊化方法即用特殊值、特殊图形、特殊位置、特殊函数、特殊数列等代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而做出正确的判断．

■ 已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且■=x■，■=y■，则■的值为（ ）

A． 3?摇?摇?摇 B． ■?摇?摇?摇 C． 2?摇?摇?摇?摇 D． ■

破解 取特殊直线：MN∥BC，此时x=y=■，所以■=■，故选B．

■ 在平面内，已知■=1，■=■，■·■=0，∠AOC=30°，设■=m■+n■（m，n∈R），则■等于（ ）

A． 3 B． ±3 C． ■ D． ±■

破解 本题采用特殊位置和特殊值来处理，将O，A，B放在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，■）．

由于∠AOC=30°，所以点C的位置分别在第一和第四象限． 不妨取m=1，则C1，±■，

所以n=■=±■，所以■=■=±3，故选B．

反思 当选择对象在题设普遍条件都成立的情况下，用特殊化方法进行探求，能清晰、快捷地得到答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略．

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筛选法就是从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演或通过取特值逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断．

■ 若f（x）=x2－2x－4lnx，则f ′（x）>0的解集为（ ）

A． （0，+∞）

B． （-1，0）∪（2，+∞）

C． （2，+∞）

D． （-1，0）

破解 f（x）的定义域为（0，+∞），排除B、D；

又f ′（x）=2x－2－■，且f ′（1）=2－2－4=－4<0不符，故选C．

■ 已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：

P1：a+b>1?圳θ∈0，■π；

P2：a+b>1?圳θ∈■π，π；

P3：a-b>1?圳θ∈0，■；

P4：a-b>1?圳θ∈■，π；

其中真命题为（ ）

A． P1，P4B． P1，P3

C． P2，P3D． P2，P4

破解 当θ=0时，a+b=2>1，符合，P2为假；

?摇?摇?摇当θ=π时，a-b=2>1，符合，P3为假；故选A．

反思 筛选法适用于不易直接求解的选择题，即使能够直接求解，用筛选发排除选项也能大大提高解题速度． 它与特殊化方法、图解法等结合使用是解选择题的有效方法．

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代入法即将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断．

■ 已知复数z=cosθ+isinθ（0≤θ<π），则使z2=－1的θ的值为（ ）

A． 0?摇?摇?摇 B． ■?摇?摇?摇 C． ■?摇?摇?摇 D． ■

破解 当θ=0时，z=1，z2=1不符；

当θ=■时，z=i，z2=－1；故选C．

（代入时要先挑容易计算的代）

■ 已知函数f（x）=x－1－x+1，如果f（f（a））=f（9）+1，则实数a等于（ ）

A． －■?摇?摇?摇 B． －1?摇?摇?摇 C． 1?摇?摇?摇 D． ■

破解 由题意知f（9）=8－10=－2，f（9）+1=－1，所以f（f（a））=－1．

再将四个选项依次代入函数f（f（a））看哪个的值等于－1，

ff－■=f■=－1，故选A．

反思 代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题．若能根据题意确定代入顺序，则能大大提高解题速度．

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?摇?摇图象法即根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，即数形结合法．

■ 函数y=■的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）

A． 2?摇?摇?摇 B． 4?摇?摇?摇 C． 6?摇?摇?摇 D． 8

破解 在同一坐标系中画出两个函数的图象，两个函数的图象都关于点（1，0）成中心对称，两个图象在［-2，4］上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8．

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图1

■ 函数f（x）=lgx－sinx的零点的个数为（ ）

A． 2?摇?摇?摇 B． 3?摇?摇?摇 C． 4?摇?摇?摇 D． 5

破解 转化为方程lgx－sinx=0，即lgx=sinx根的个数的问题．

令y■=lgx，y■=sinx，即原问题转化为这两个函数图象的交点个数问题，作图：

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图2

从图上直接看出共有4个交点，即函数f（x）有4个零点．

反思：对于明显具有几何特征的代数问题，我们要思考能否用数形结合的方法解决．

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“能割善补”是解决立体几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形或几何体转化为规则的图形或几何体，使问题得到简化，从而缩短解题时间．

■ 一个四面体的所有棱长都为■，且四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A． 3π?摇?摇 B． 4π

C． 3■πD． 6π

破解 如图1，将正四面体ABCD补成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为■，所以正方体棱长为1，从而外接球半径R=■，故S球=3π． 选A．

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图3

反思 在求不规则图形的面积、不规则几何体的体积或涉及几何体的外接球时，经常用到“割补法”．

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由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程．因此可以猜测、合情推理、估算而获得，以便减少运算量．

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图4

■ 如图4，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=■，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（ ）

A． ■?摇?摇 B． 5?摇?摇?摇 C． 6?摇?摇 D． ■

破解 由已知条件可知，EF∥平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2，所以V■=■·32·2=6，则该多面体的体积必大于6，故选D．

反思 估算，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷． 它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．

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单一的解题方法不能使试题迅速获解时，我们可以将多种方法融为一体，交叉使用，试题便能迎刃而解．根据题干提供的信息，不易找到解题思路时，我们可以从选择项里找解题灵感．

■ 设函数f（ｘ）=■（0≤x<1）的反函数为f －1（x），则（ ）

A． f －1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1

B. f －1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0

C． f －1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1

D． f －1（x）在其定义域上是增函数且最小值为0

破解 从选择项我们知道需判断原函数的单调性，利用取特值的方法 简化判断过程． 令x■=■，则f（x1）=■；令x■=■，则f（x■）=2，所以f（x1）

■ 如图5，P是正四面体V－ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是（ ）

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A． 直线

B． 抛物线

C． 离心率为■的椭圆

D． 离心率为3的双曲线

破解 A易排除，结合选择项及题干，我们知道该题考查的是圆锥曲线的统一定义，即曲线上的点到定点和定直线的距离比是否为常数，常数值是多少？设VP=PD=t，作PE⊥BC于E，则∠PED就是面VBC与面ABC所成的二面角的平面角．易求cos∠PED=■，所以PE＝■t．所以■=■<1．动点P的轨迹是离心率为■的椭圆． 故选C．

总结提炼 从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”、“手段”都是无关紧要的． 但平时做题时我们还是要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因． 另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大做，真正做到准确和快速，为后续解题节省时间，赢得高考的胜利．