高考不等式核心考点揭秘

不等式是高中数学的主干内容，是求解数学问题的主要工具，也是高考的必考内容之一．新高考对不等式既考查基础知识、基本技能、方法，还考查运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力．

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不等式的性质

【考纲要求】 理解不等式的性质.

【考纲解读】 不等式的性质是不等式的基础，应用不等式的性质解题要特别注意条件．

【经典例题】 对于0

①log■（a+b）

②log■（a+b）>log■a+■

③ba+b

④b■>b■

其中成立的是_______． （填所有正确的序号）

命题意图 本题考查不等式的基本性质，等价转化思想．

思路分析 运用不等式的性质结合指数、对数函数的性质判断．

完美解答 由0log■a+■，ba+b>b■，②④成立．

【命题趋势】 不等式的性质通常在客观题中出现，也可能在开放型的填空题中出现，要求牢记性质和重要不等式的条件与结论．

简单线性规划

【考纲要求】 （1）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；

（2）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．?摇

【考纲解读】 要求理解二元一次不等式表示的平面区域，能画出线性约束条件下的可行域，理解目标函数的几何意义，能运用图解法解决简单的二元线性规划问题．

【经典例题】 设变量x，y满足约束条件x+y≤3，x－y≥－1，y≥1， 则目标函数z=4x+2y的最大值为________．

命题意图 根据二元一次不等式组表示的平面区域，运用图解法求最优解．

思路分析 画出可行域，根据目标函数的特点确定其取得最大值的点，即可求出其最大值．

完美解答 如图1，直线z=4x+2y经过B（2，1）时，目标函数取得最大值，所有zmax=4×2+2×1=10．

【命题趋势】 线形规划问题是高考的热点，基本上是每年高考都会有一道小题， 关键是画好可行域，弄清目标函数的几何意义．

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图1

简单不等式的解法

【考纲要求】 （1）会解一元二次不等式；

（2）掌握简单不等式的解法．?摇

【考纲解读】 一元二次不等式的解法是高考的重点内容，要求能够运用转化与化归的思想将其他的不等式转化为常见的不等式．?摇

【经典例题】 已知定义域为R的偶函数f（x）在（－∞，0］上是减函数，且f■＝2，则不等式f（log■x）>2的解集为（ ）

A． 0，■∪（2，+∞）

B． （2，+∞）

C． 0，■∪（■，+∞）

D． 0，■

命题意图 本题以分段函数为载体，考查简单不等式的解法及分类讨论与转化化归的思想．

思路分析 通过分类讨论转化为两个不等式组，再运用指数函数与对数函数的性质解不等式．

完美解答 作出函数f（x）的示意图（如图2），则log■x＞■或log■x＜－■，解得x>2或0

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图2

【命题趋势】 高考对不等式的解法的考查呈多元化趋势，从纯粹解不等式到求定义域、取值范围与最值，都与解不等式有关，合理转化与等价转化是解题的关键．?摇?摇?摇?摇

均值不等式

【考纲要求】 掌握两个（文科不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．?摇

【考纲解读】 均值不等式是不等式的重点与难点，应用时要遵循“一正、二定、三相等”的条件，还要注意二元均值不等式的几何解释．

【经典例题】 已知a>0，b>0，a+2b+2ab－8=0，则a+2b的最小值是（ ）

A． 3?摇?摇?摇?摇?摇?摇B． 4?摇?摇?摇?摇?摇?摇C． ■?摇?摇?摇?摇?摇?摇D． ■

命题意图 本题考查均值不等式求条件最值．

思路分析 先将代数式变形，然后再利用均值不等式求解．

完美解答 由a+2b=8－a·（2b）≥8－■■，整理得（a+2b）2+4（a+2b）－32≥0，即（a+2b－4）（a+2b+8）≥0． 又a+2b>0，所有a+2b≥4． 故选B．

【命题趋势】 高考对基本不等式的考查形式灵活，在客观题与主观题中都可以涉及． 求解时，要注意均值不等式成立的条件．

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不等式的证明

【考纲要求】 掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式．?摇

【考纲解读】 不等式的证明是考查逻辑推理能力的重要载体．要求能够运用比较法、分析法、综合法结合不等式的性质和基本不等式证明不等式．

【经典例题】 若a>0，b>0，且2c>a+b，求证：c－■

命题意图 本题考查运用分析法证明不等式及考查不等式的性质与基本不等式．

思路分析 该不等式从形式上不易看出其规律性，可以采用分析的方法来寻找证明途径．

完美解答 要证明c－■

只需证－■

也就是（a－c）2a（a+b）．

因为a>0，2c>a+b，b>0，所以c>■≥■，故c2>ab，即有c2－ab>0．

又2c>a+b，可得2ac>a（a+b）成立．

综上，所求不等式c－■

【命题趋势】 纯粹的不等式的证明是近年来新高考的热点，但数列、导数背景下的不等式的证明是高考的难点，一般作为“把关题”．

含参数不等式恒成立问题

【考纲要求】 会求各种背景下不等式恒成立的问题．?摇

【考纲解读】 通过含参数不等式恒成立问题的求解，培养利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识．

【经典例题】 设函数f（x）=x2-1，对任意x∈■，+∞， f■-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是________?摇．

命题意图 本题以函数为载体，考查变量的取值范围，运算量大，对数式变换的要求较高.

思路分析 先把不等式化简，将变量m进行合理分离，再求相应函数的最值．

经典解答 依据题意得■-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）在x∈■，+∞上恒成立，即■-4m2≤-■-■+1在x∈■，+∞上恒成立．

当x=■时，函数y=-■-■+1取得最小值-■，所以■-4m2≤-■，

即（3m2+1）（4m2-3）≥0，解得m≤-■或m≥■．

【命题趋势】 不等式恒成立问题可以与函数、导数、数列、三角函数、解析几何等知识整合在一起，又可以涉及不等式的证明和参数取值范围问题，渗透着化归、数形结合等重要数学思想，是历年高考命题的热点.

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不等式与函数（导数）

【考纲要求】 会求不等式与函数（导数）的综合题，深化代数知识间的融会贯通．

【考纲解读】 与函数（导数）结合的不等式，解题时往往以不等式、导数为工具，结合函数的图象与性质，通过代数推理来解决问题．

【经典例题】 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是－■．

（1）求f（x）的解析式；

（2）设g（x）=lnx－f（x）f ′（x），求g（x）的最大值及相应的x值；

（3）对任意正数x，恒有f（x）+f■≥x+■·lnm，求实数m的取值范围．

命题意图 本题以函数为背景，考查最值和恒成立问题．

思路分析 第1问由待定系数法求解析式；第2问利用导数求函数的最值；第3问通过换元，结合均值不等式求参数的取值范围．

完美解答 （1）由二次函数图象的对称性，可设f（x）=ax－■■－■．

又f（0）=0，所以a=1，故f（x）=x2－x．?摇

（2）f ′（x）=2x－1，g（x）=lnx－（x2－x）·（2x－1）=lnx－2x3+3x2－x，

则g′（x）=■－6x2+6x－1=■．

因为g（x）定义域为（0，+∞），所以■>0，

所以当00；

当时x>1，g′（x）<0，

所以g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，x=1时，g（x）取得最大值g（1）=0．

（3）由（1）知， f（x）+f■=x2－x+■－■=x+■■－2－x+■，

不等式f（x）+f■≥x+■·lnm可化为x+■■－2－x+■≥x+■·lnm． ①

因为x>0，所以x+■≥2（当且仅当x=1时取“=”）．

设x+■=t（t≥2），不等式①可化为t2－2－t≥t·lnm，lnm≤t－■－1． ②

由已知，不等式②对t≥2恒成立．

因为t－■－1在［2，+∞）上是增函数，所以t－■－1最小值为2－■－1=0，

所以lnm≤0，所以0

【命题趋势】 函数（导数）与不等式的综合题蕴涵丰富的数学思想、方法，在高考的压轴题里屡屡出现．解题时要抓住导数的“工具性”，结合不等式的性质、特征，合理变换、严格推理．

不等式与数列

【考纲要求】 在数列与不等式交汇处命制试题，考查代数推理能力．

【考纲解读】 数列与不等式相联系的综合题是常考题型，要注意把数列的逆推性与不等式问题的思考方法结合起来，联系分析，寻求解题思路．求解此类问题通常要用到放缩法以及函数思想（求函数的最值等）．

【经典例题】 已知函数f（x）=x2+x．

（1）数列｛an｝满足a1>0，an+1=f ′（an），若■+■+…+■<■对任意n∈N?鄢恒成立，求a1的取值范围；

（2）数列｛bn｝满足b1=1，bn+1=f （bn），n∈N?鄢，记cn=■，Sk为数列｛cn｝前k项和，Tk为数列｛cn｝的前k项积，求证：■+■+…+■<■．

命题意图 本题以函数、数列为背景，考查参数的取值范围以及运用放缩法证明不等式．

思路分析 第1问先构造出■，求得其通项，再求和，结合条件求出a■的取值范围；第2问先进行代数变换，再利用■<■进行放缩，注意放缩的起点．

一、选择题

1． 气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为■+4.9（n∈N?鄢）元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）

A． 600天B． 800天

C． 1000天D． 1200天

2． 已知函数f（x）=lgx，010.若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）

A． （1，10）B． （5，6）

C． （10，12）D． （20，24）

二、填空题

3． 已知奇函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调递减函数，α，β，γ∈R且α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，则f（α）+f（β）+f（γ）______0． （填大小关系）

4． 设x，y满足约束条件3x－y－6≤0，x－y+2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则■+■的最小值为______．

5． 已知函数f（x）=lnx，g（x）=■ax2+2x，a≠0，且h（x）=f（x）－g（x）存在单调递减区间，则a的取值范围是________．

6． 已知n（n∈N，n≥2）是常数，且x1，x2，…，xn是区间0，■内任意实数，则函数f（x1，x2，…，xn）=sinx1cosx2+sinx2cosx3+…+sinxncosx1的最大值等于______．

三、解答题

7． 已知关于x的方程2x2－tx－2=0的两个根为α，β（α<β），t∈R，设函数f（x）=■．?摇

（1）判断f（x）在［α，β］上的单调性；

（2）若α

8． 已知函数f（x）=ax+x2－xlna，a>1．

（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

（2）函数y=f（x）－t－1有三个零点，求t的值；

（3）对?坌x1，x2∈［－1，1］，f（x1）－f（x2）≤e－1恒成立，求a的取值范围．