专业.专家.专题.专门

近年来，我听了不少关于“用字母表示数”的公开课、观摩课以及教研课（包括网上教研），发现有些教师对“用字母表示数”意义与理解水平的把握有较大的偏差和缺失。为了改变现状，我自2006年下半年以来，对“用字母表示数”意义与理解水平进行“以专业的视角作剖析，用专家的观点细解读，依专题的研讨来实践，按专门的理论鉴效果”的具体解读和实践，收到了较好的效果。

一、以专业的视角作剖析，偏差较大

无论在校际教研课，还是去参加省（市）以及全国级的观摩课，我们不难发现，所有“用字母表示数”的课的内容和结构大同小异，唯有对意义与理解水平的把握偏差较大。请看以下两个案例。

案例（一）：意义引入时有画蛇添足、舍近求远之势头

其一，上课伊始，教师随即抛出了以下习题。

第一幅图的字母表示_____________。

第二幅图的字母表示_____________。

第三幅图的字母表示_____________。

其二，很多教师在课的最后引入一首熟悉的儿歌，出示“数青蛙”：1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿……大多数学生对第一句没有异议，对第二句有的说是“2ɑ只眼睛”，有的说是“ɑ2条腿”……

点评：对其一，我认为，课堂教学由热烈的讨论转变为激烈的争论，可以说是众说纷纭，时间花去了近10分钟，表面上热热闹闹好像与生活接轨，实际上与“用字母表示数”全然无关。大家都知道，CCTV是中国中央电视台的英文缩写，车牌“浙A”表示浙江杭州地区，只有扑克牌中的J可以表示自然数中的11（勉强可以，扑克牌J其实也是英文JACK的缩写），案例中教师真可谓在教材的处理上有画蛇添足之势头。对其二，我认为多数教师为了追求时尚和新意，丢开了数学课本本质的东西，在长方形和正方形周长公式中不就有2ɑ+2b与4ɑ这样的教学内容吗？但教师总不愿意采用，宁可舍近求远，效果却适得其反。

案例（二）：理解层次有要求整齐划一、生搬硬套之感觉

在理解应用时，教师安排了“猜老师和同学的年龄”这个环节。

师（板书“ɑ”）：猜一猜，ɑ是老师的年龄，还是同学的年龄？（全班学生鸦雀无声）

师（板书“ɑ+20”）：请同学们猜猜ɑ表示什么？ɑ+20表示什么？

生1：ɑ表示我们的年龄，ɑ+20表示老师的年龄。

生2：ɑ也可以表示老师的年龄，那么我们的年龄是ɑ-20。

点评：教师全然不顾这部分“另有想法”的学生和不同理解水平的学生，对学生只作整齐划一的讲解，使部分学生特不服气。因此，这个环节给我一种要求整齐划一、生搬硬套的感觉。

二、 用专家的观点细解读，内涵丰富

1.用“用字母表示数”的意义解读。

“用字母表示数”属于概念性知识，从数学发展史的视角来看，它的教学无疑要关注以下三点：一是要寻找承载“用字母表示数”的本质意义并使意义有直观认识的教学模型；二是引发学生对数量间的关系进行抽象概括的情感需求；三是应该顺应学生的认识规律，即抽象认识源于直观模型的心理程序。结合我的教学经验，在教学实践中，我对“用字母表示数”的意义归纳为以下四点：其一，把字母当作一个特定且未知的数；其二，字母可以代表几个数或一批数；其三，可以把字母当作变量；其四，还可以用字母表示数量关系。

2.对“用字母表示数”的理解水平的解读。

长期的教学实践和经验告诉我们，学生的理解水平不是由教师的教学期望所决定，而是由学生的数学现实、认知能力和数学学科的本质所决定的。我认为根据学生对字母表示数意义的理解程度，可把理解水平划分为四级：第一级水平——了解，对字母表示数的意义达到感性的、初步的认识；第二级水平——理解，对字母表示数的意义达到理性的、能比较差异的层次；第三级水平——掌握，对字母表示数的意义在理解的基础上达到能举例、能解决一般问题的技能；第四级水平——灵活运用，对字母表示数的意义能综合其他知识灵活运用，且形成能力。

三、 依专题的研讨来实践，“研”有方向

数学教育经验告诉我们，概念教学要坚持三性：一是数学性；二是自然性；三是知识形成方法的可重复性。遵照以上三性，遵循学生的心理认知发展规律，我在“用字母表示数”的教学设计中，把教学内容与课堂教学结构相匹配，以经典的事例改编教材的主要内容。在设计教案时，我既利用人教版教材中的特点，也吸取北师大等版本教材中的优点，收到了较好的效果。

板块（一）：实例导入——探究规律，初步体验意义

1.想象用小棒摆正三角形，寻找三角形个数与小棒根数之间的联系。

（1） 出示一根小棒，想象用同样的小棒如何摆一个三角形。

（2） 依次回答摆1个、2个、3个、4个、5个三角形需要小棒的数量。

（3） 寻找三角形个数与小棒根数之间的规律。

2.尝试用简明、概括的方法在一个括号里分别表示所有的三角形个数与小棒根数，通过信息反馈，得出用字母表示是一种相对简明、概括的方法。

（1） 教师给学生每人发一张如下的小纸条。

师：尝试用一种既相对简明又非常概括的方法把所有三角形的个数都写出来，同样用这种方法把相应的所有小棒根数也表示出来，而且还让人知道它们之间的关系（3倍）。拿出一张小纸条，怎么想就怎么写。（学生信息反馈环节略）

（2） 引出课题，体验用字母表示数的优点。

师：通过简短的分析，我们找到了一种新的方法，是什么？（用字母表示数）其实，这就是今天这节课我们重点来研究的内容。（板书课题：用字母表示数）

师：再回头看这种方法，一旦我们知道了三角形的个数，根据这种表达方式，我们能不能很快确定小棒的根数？22个、1000个三角形呢？

师：你觉得你们找到的这种方法好不好，好在哪里？

设计意图：课堂导入通过找数的规律，让学生尝试简明、概括地表示数，并对思路进行分析，使学生在不知不觉中自觉地用字母来表示数，初步体验用字母表示数的意义与作用。

板块（二）：本质学习——应用范例，理解实际意义

1．猜猜年龄。

（1）猜父女年龄。

（2）出示下面两个式子猜师生年龄：ɑ+20，ɑ-20。（学生分小组讨论）

2．猜正方形的周长公式。

师（贴一个正方形，板书“C=ɑ×4”）：猜一猜，这个式子里的字母分别表示正方形的什么？

师：凭你的经验，ɑ在这表示任意一个正方形的边长时可以是哪些数？（任何数）

师：你看，同样一个ɑ在表示年龄的时候与表示正方形边长的时候，表示数的范围一样吗？

设计意图：这个环节我们安排了两个猜测，一是猜年龄，让学生明白字母在不同的情境下，表示数的范围是不一样的。另一个猜测是与导入互为辩证的过程，导入是从数到字母，这里是先有字母式子，反过来让学生用具体的数来解释字母式子表示的意义。我们想通过这种方式去不断诠释“用字母表示数”这个概念的内涵。

板块（三）：反馈训练——开放练习，诠释概念内涵

1．开放性练习，根据ɑ×4与书本图片说明ɑ×4表示的意义。

（出示ɑ×4，再出示4本书的图片，如下图）

师：ɑ×4只能表示正方形的周长吗？谁能说清楚这里的ɑ表示什么？ɑ×4又表示什么？

2.儿歌。

（1）出示（数青蛙）：1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿……

（2）学生一边拍手，一边唱。

（3）理清青蛙的眼睛与只数、腿与只数的关系。

（4）照这样唱，唱得完吗？学习这一课后，你能用简明、概括的方法，用一句话把它唱完吗？

出示：（ ）只青蛙（ ）张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿。

（5）学生信息反馈。（略）

设计意图：在这个环节中，我安排了三个练习。首先让学生开放性地说一说ɑ×4的意义，突出字母作为一种符号的意义，它不代表一种具体的数量。然后再从这里引出“用字母表示数”的历史，把数学史的介绍安排在具体的情景中，让学生再次体会用字母表示数的发展史。最后，儿歌的规律用字母表示是有一定难度的，但是从学生的反馈来看，大部分学生已经能用正确的方法来表示。

板块（四）：互动总结——自我反思，提升理解水平

1.组织学生学习以下改编后的儿歌。

1张课桌1个面，2人可坐有4条腿；2张课桌2个面，4人可坐有8条腿；3张课桌3个面，6人可坐有12条腿……

2．教师提问。

（1）我们全班有42个学生，你能立即算出有几张课桌、几个桌面和几条桌腿吗？

生：有21张课桌21个面，42人可坐有84条腿。

（2）全校有ɑ个同学，要多少张课桌，有几条腿？

生：ɑ÷2。

……

设计意图：本环节旨在让学生亲历事例，感悟意义，提升理解层次。本教案的设计和实施依据学生已有的生活经验，对“用字母表示数”意义与理解水平已有一种潜在的直观认识和理解。因此，在课的最后把教室的桌、人等作为终极目标，从实际生活场景中提炼出数学问题，使学生的学习进入一目了然的自然状态，感悟到实在的意义。

以上教案和实施的全过程可以概括为两条线：一是明线，具体问题→数学概念→强化应用→小结反思；二是暗线，自我领悟→抽象领会→抽象领悟→形成概念。

四、按专门的理论鉴效果，收获丰厚

1．理论依据。

对于这个问题，英国CSMS研究小组进行了卓有成效的研究，他们撰写的《孩子们的数学理解（11—16岁）》一书中的第八章就“用字母表示数”的理解水平的研究成果进行了阐述。他们主要选取了两个标准作为测验孩子理解水平的内容，这两个标准是字母赋予的意义与题目结构的复杂性，并根据结构的复杂性和量的性质把题目划分为四种理解水平，同时得到了印证。

2．实践意义。

“用字母表示数”是小学生系统学习代数知识的第一课，且是代数知识中最基础、最重要的概念之一。我们知道，代数中的字母可以赋予许多不同的意义，因此，学生对“用字母表示数”意义的理解就有不同的层次和水平。这种层次和水平的高低对学生后续学习数学与进一步发展创造具有不可低估的作用。

3．具体效果。

经过对重组后的教材进行试教（最后一次试教的课堂实录），学生在以下方面有了提高。

（1）充分地体验“用字母表示数”的优点。

先前教学中，按照人教版教材的编排，以教学用字母表示特定的数、定律、公式为主要内容，内容简单、枯燥，学生学习没有激情。这次教学从用字母表示数量关系入手，让学生自主探究，主动用字母表示数量关系中的变量，体会字母表示数的抽象性、概括性，并回顾用字母表示定律、公式的过程，体验字母表示数的简明性、易记性。在最后环节，大部分学生都能用字母正确地表示出青蛙只数与嘴、眼睛、腿之间的关系，说明学生已经比较好地掌握了用字母表示数量关系的知识。

（2）有效地激发了学生的学习兴趣。

先前教学中，我通过乘法交换律引出字母与字母之间的乘号可以省略，再通过正方形的周长和面积公式引出字母与数字相乘时的书写规则和平方数的意义、读写法，按部就班，一环接一环，整整花了半节课的时间讲清其中的要点。这一次，从找小棒与三角形之间的规律入手，尝试用不同方法表示它们的关系，让学生在不自觉中运用字母来表示数。接着通过两个猜谜的游戏来诠释字母表示数的内涵，开放性地解释ɑ×4表示的意义，自然地进行用字母表示数的历史意义的渗透，最后通过一首儿歌来加以提升。这些环节层层衔接，生动有趣，极大地激发了学生学习的兴趣。

（3）成功地培养了学生良好的学习行为和习惯。

课堂教学研究了学情，分析和掌握了学情，不仅使学生学会了知识基础，而且使学生的态度、习惯和能力得到了提升。其实，这在平时作业、学生访谈、课前测试、调查等都能适时应用。如图形知识中要了解学生的动手能力，概念性知识要知道学生的生活经验，简便计算中要了解学生对数的感觉情况等等。

总之，多年的实践使我感悟到，只有认真研读教材，挖掘教材的深层价值，才能创造性地使用教材；只有做到对学生的认知水平心中有数，才能提高教学效率。

（责编 杜 华）