数学元认知能力教学策略浅探

徐新仓 宁夏中卫市第二中学教务主任，中学高级教师，数学特极教师，自治区、市骨干教师、优秀班主任，多次被评为市教育先进工作者、“数学教育优秀园丁”和“数学教育优秀辅导员”；先后在国家、省级刊物上发表论文达30多篇。

新的数学课程标准中首次提出“初步形成评价与反思的意识”，这一目标在以往的教学大纲中不曾提到。这一目标既保证了问题解决中学生认知发展的连续性与完整性，也有利于在活动中形成学生认知发展的多样性和水平的提升。特别是为第三学段（7～9年级）的学生提出：“通过反思获得经验”，已经逐渐引领学生在认知水平上达到元认知的层面。

一、对数学元认知的认识和理解

所谓元认知就是指个体对自身认知过程的认识和意识。之所以称为元认知是因为其核心意义是对认知的认知。我们通常所说的感觉、思维或想象就属于认知活动，而元认知则是对感觉、思维等这些认知活动的认知。因此，元认知实质上是个体以自身认知活动为对象的认知，是对自己认知活动的自我意识、自我体验、自我调节和监控。

元认知对学生的学习有以下几个方面的作用：一是可以使学生意识和体会到学习任务和目的、自己的优势与不足、自己的思维过程、自己的学习能力水平等情况；二是能使学生意识到有哪些可供选择的学习方法与策略，并依据学习任务和自己的学习能力去选择最有效的方法、策略进行学习；三是能使学生正确评估自己的学习结果，并依据评估调整自己的学习活动；四是能使学生意识到当学习失败时，应采取什么方法去改进自己的学习，使成绩有所突破。

由上可见，学生的元认知能力必然直接影响其对数学问题解决的过程和结果。而数学元认知是个体在数学认知活动中的观念及其对这些观念的自我调节。显然，在数学教学过程中，如何培养学生数学问题解决中的元认知能力是初中数学教学中的突破口之一。但是在当前的数学教学中，存在着重“结果”轻“过程”，重“知识”轻“能力”，重“鱼”轻“渔”的现象，而对学生在数学问题解决中出错的心理原因研究较少。对学生数学问题解决过程中的错误，教师只知道多加练习，无形之中增加了学生的负担。因此，要培养学生的学习能力，我们就要研究学生解决数学问题的心理过程，通过数学问题解决的过程，培养学生解决数学问题的元认知能力。

二、数学元认知在数学问题解决中的作用

数学元认知是指人们在数学活动中，对自己学习活动的过程、结果及与之有关事项的认识和控制。它有以下两个方面的作用。

一是情境性知识的作用。我们经常遇到这样的情境，教师讲解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法等，每节课讲一种方法时，绝大部分学生都能学会，可是当不告知用哪种方法解一元二次方程时，好多学生不知选用哪种方法较好，甚至解不出方程。这说明学生缺乏情境性知识，即不知在什么条件和背景下运用哪种数学方法或数学知识。情境性知识的作用，一方面表现为引领解题方向，另一方面表现为触发解题思维。具有情境性知识引导和支持的解题者，知道在什么条件下用哪种方法解题，从而能灵活地运用各种解题策略去发现问题中的隐含条件，突破思维障碍，找到解题方法。

例：已知x₁，x₂是方程x²+x-2012=0的两个实数根，则x²₁+2x₁+x₂的值为（ ）。

A.2009 B.2010 C.2011 D.2012

评析：题设给出了x₁，x₂满足的条件，结论中要求代数式的值。由于程序性知识引导的控制作用，我们知道，由根与系数的关系得：x₁+x₁=-1；由于情境性知识的支持引导作用，我们发现把x₁代入所给方程中可得x²₁+x₁-2012=0，再把两个方程相加即得答案C。

二是数学思想对数学方法的作用。数学思想是指对数学知识本质的认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学概念、命题、方法、规律等的认识过程中提炼上升的数学观点。基本的数学思想主要有：化归推理思想、分类讨论思想、建模思想、数形结合思想、极限思想、统计思想等。数学方法是指从数学的角度提出问题，解决问题的过程中所采用的各种策略、方法、手段、途径等，如：换元法、配方法、降次法等等。在数学问题解决中，当情境稍有变化时，学生常会感到束手无策，如果有数学思想来调控数学方法，则往往可以超越特定的情境，或变化情境以适应模式，或变化模式以适应情境。

比如，在数与代数的教学里，只要抓住实数与数轴上的点一一对应、有序实数对与坐标平面上的点的一一对应关系，从数形结合的角度出发，借助数轴处理好相反数和绝对值的意义、有理数的分类、有理数大小的比较、不等式的解集在数轴上的表示等。让学生经历试验、探索的过程，体验如何用数形结合思想分析和解决，培养学生学习和应用的能力，从而激发其学习数学的原动力。因此，要培养学生的学习品质和数学解题能力，我们就要研究学生解决数学问题的心理过程。

三、提高学生元认知水平的策略

培养并提高学生数学元认知能力是一个迫切需要解决的问题。数学元认知能力是指在问题解决的过程中监控活动完成情况的能力，它包括策略选择、监控活动进行、策略效果评价、及时反馈并修正该过程的进度、方向和所采用的策略等，其核心在于主体积极监控、调节自身学习活动的思维过程。

1.提高教师自身的元认知水平

培养学生数学元认知能力的主要场所是课堂，教师的主导作用是学生数学元认知能力培养的关键，教师在教学中要克服重教轻学、重知识传授轻能力培养、重结果轻过程和缺乏对学习过程的反思等传统教法的弊端。要培养学生的元认知能力，必须先提高教师的元认知水平。教师的元认知能力与学生的元认知能力有着相同或相似的发展机制和规律，教师的元认知能力给学生提供模仿的榜样，从而促进学生元认知能力的提高。有较高元认知能力的教师才能在数学问题解决教学中暴露解决问题的思维过程，教授学生问题解决的策略。教师在问题解决的过程中给予良好的示范，有利于促进学生元认知能力的提高，引导学生反省学习的过程，启发学生不断改进自己的学习活动。

2.帮助学生确立学习目标，增强计划监控能力

学生的元认知能力是逐渐形成的，它以学生在解题活动中的主动参与为基础，学生只有喜爱数学，才可能去主动学习数学，并关注数学知识，碰到一些难题时，才会用心思考，逐步养成自觉地调控自己的解题行为。所以，要帮助学生学会学习，必须帮助学生确立学习目标，指导学生学会提出与学习有关的问题，并制订学习计划。教师还应教会学生面对具体的学习任务。首先，教会学生对学习材料进行分析，从而明确学什么、为什么学、怎样学等问题，并估计自己的学习特点等因素，以便选择有效的学习方法；其次，引导学生考虑具体的学习计划。一般学生的学习计划应在教师的指导下，通过学生独立确定或相互讨论确定，这样拟定的计划使学生拥有一个较为完整的学习步骤和方法，有利于完成学习任务。再次，在按计划实施教学的过程中，教师还要善于引导学生监控学习进程，维持、修正或补充自己的学习行为。

3.有针对性、系统地传授数学元认知知识

学生数学问题解决中的元认知能力是以学生自身的数学基本知识、基本经验为基础的。所以，学生基础知识、基本技能、基本数学思想方法和基本数学活动经验的掌握是顺利解决数学问题的前提条件，是促进学生数学问题解决中元认知能力发展的基本保证。

首先，引导学生建立数学知识网络图。顺利的解决数学问题需要一定的数学知识，学生不仅要掌握数学中的定义、公理、定理，而且要将这些知识形成网络结构。而北师大版教材依据新课程标准，将学习目标分阶段达成，学生对知识的积累是渐进的，学生的知识网络是逐步扩展的。因此，到初三复习时，每用到相关旧知识时，都需要引导学生进行知识的重新组织和整理，帮助挖掘出数学知识的内在联系，使知识系统化、条理化，从不同角度帮助学生加深对概念、原理等的理解，使新旧知识逐步形成紧密的锁链，形成知识网络，发展学生数学问题解决中元认知能力。这样学生能对数学知识结构有一个清晰的整体把握，弄清数学基本概念、基本理论和方法间的联系和区别，将头脑中的知识结构化、整体化、网络化，从而在解决数学问题的过程中能较快、较准确地调用到相关的知识。数学知识是以概念为核心的，而数学概念的记忆是以图文结合的图式形式存贮在概念联系网络中的，因此教师可以通过概念图或图式帮助学生建立数学知识网络。例如，在初三数学相似形的复习教学过程中，可以用概念图（如下图）的形式将相似形的有关知识点串联起来，帮助学生形成清晰的数学知识网，以便学生在数学问题解决的过程中快捷而有效地提取信息。

其次，帮助学生掌握解决数学问题的策略性知识。要让初三学生成为学习的主体，教师在平时的教学中要帮助学生归纳、总结数学问题解决过程中常用的思维方法和解题的策略，这样学生才能思路清晰地运用相关方法和策略解决数学问题。

最后，引导学生掌握一定的元认知知识。学生数学元认知知识的贫乏是致使数学问题解决中元认知能力低的重要原因之一，即学生的元认知能力与其拥有的元认知知识有极大的关系。为了实现元认知知识的传授，教师就必须要先掌握它们，在教学中注意收集、整理、研究有关数学学习的元认知知识，以便进行有针对性、策略性的传授和培养。帮助学生获得并掌握正确的元认知知识，就是让学生认识到数学学习同时存在着认知和元认知过程，认识数学问题解决的实质，鼓励学生及时反思，总结自己或他人解决数学问题的特点和使用的策略或方法，不断交流，扬长避短，提高学生在数学问题解决中的有效性，减少盲目性，不断促进数学问题解决中迁移能力的提高。从而提高数学问题解决中元认知能力。

4.培养学生自我评价、自我监控和反思的习惯

新课程标准要求教师引导学生在“问题解决中学习”，让学生自主探究，通过激励性评价使学生围绕问题进行高水平的思维，构建自己的知识系统。因此，评价在数学问题解决中元认知能力形成的过程中具有重要的作用。教师应当注意指导学生将形成性评价和总结性评价相结合，促进学生学习活动的调控和改进学习行为；指导学生在学习过程中随时评价学习进程，评价学习策略，并根据学习情境的变化，不断地调整和修正自己的学习策略。

学生反思问题解决的过程是数学活动的核心和动力。作为数学教师，在指导学生解决数学问题的过程中要特别注意有意识地培养学生的反思意识，教会学生在解决问题的过程中进行有效反思，真正提高对信息的分析、选择和处理能力。数学问题解决过程中的反思包括：对整个解决数学问题过程中所涉及有关数学问题的表征、数学基础知识、数学思想方法、解决数学问题策略的选择和实施过程以及解决数学问题结果等认知活动主动进行回顾、思考、总结、评价、调节的过程。因此，反思是认识过程中强化自我意识，进行自我监控、自我调节的重要形式。

5.数学教学充分展示数学知识的发生发展过程

数学知识的获取、技能的训练、能力的培养都离不开解题。所以展示解题的思维过程，不但能为学生参与教学活动创造条件，而且还能提高学生分析问题、解决问题的能力。因此，教师在讲解例题时，应该把自己是怎样想的，应该怎样下手，甚至可以把自己探索失败的过程都要展示给学生，即暴露思维过程。说穿了，教师要讲的不是怎样做，而是为什么要这样做。如果从来不展示“失败”的思路，不展示如何在有限的碰壁中，通过调整策略找到正确的思路和方法，总演示“成功”的思路，每种解法都很正确、很巧妙，其结果只能是教师讲得精彩，学生听得轻松，但遇到题设或结论稍加改变的问题，学生往往束手无策。只有让学生体验解题时的分析和探索过程，才能让学生逐步学会怎样分析、怎样判断、怎样推理、怎样选择方法，从而提高解决问题的能力。

总之，教师在教学中，应注意创设合理的教学情境，充分展示知识的产生、发展和应用的思维过程，给学生提供合作与交流的空间，进而培养学生的数学思维能力。

四、培养学生数学元认知能力的方法

数学问题解决中的元认知能力可以在实践中得到培养和提高。教师只有认识到培养学生解决数学问题中元认知能力的作用和意义，并在教学实践中认真体会和总结解决数学问题中元认知能力的教学方法，才能使得这些方法在提高学生解决数学问题中的元认知能力的过程中起到积极有效的作用。

1.指导学生在解决问题中出声思维

所谓出声思维，就是让学生在问题解决过程中，一边思考一边把思考的内容大声说出来，以便他人能清晰了解该学生思维活动的具体过程和细节。即让学生借助语言暴露内隐的思维过程，这样做不但让老师和同学能了解到这个学生是怎样想的，这个想法是怎样形成的，想法是怎样起作用的，而且暴露了学生的思维过程，使学生有机会对思维过程进行审视、监控，从中获得反馈信息，并根据反馈信息对思维过程进行修正、调整或控制，还能对认知活动的结果加以设想、预估，使思维过程始终处于不断循环的动态变化过程中。

例：已知二次函数y=ax²+bx+c中的x，y满足下表：

求这个二次函数关系式。

学生甲：二次函数y=ax²+bx+c中有三个待定系数a、b、c，只需三组条件，即可确定a、b、c的值，而题目给出了五组条件，多给了两组，因此，我任意选三组比如：（-1，O），（1，-4），（2，-3），得方程组，解这个方程组就可得a，b、c的值。

教师：大家就按他说的做一下。同学们很快列出

如下方程组：

a-b+c=O

a+b+c=-4

4a+2b+c=-3

但由于新教材已经把三元一次方程组删除，大部分学生不会解这个方程组。

此时，学生乙：这个方法是对的，但方程组太复杂，不好解，不如代（0，-3），（1，-4），（2，-3），这样把（0，-3）代入直接得c=-3，再把（1，-4），（2，-3）得一个二元一次方程，解得a=1，b=-2。

学生丙：把（0，-3），（1，-4），（-1，0）代入方程组简单好解，不容易出错。

两分钟后，同学们解得二次函数关系式为：y=x²-2x-3

此时，学生丁举手要表达观点。

学生丁：我发现（-1，0）与（3，0）、（0，-3）与（2，-3）是关于x=1的对称点，说明此抛物线的对称轴为x=1，题目告诉了当x=1时，y=-4，利用顶点式，可设所求二次函数为y=a（X-1）²-4，此时，只有一个待定系数，代入（0，-3）得a=1，所求二次函数为y=（x-1）²-4=x²-2x-3

又有学生戊要表达观点。

学生戊：我发现（-1，0）与（3，0）是所求二次函数与x轴的交点坐标，利用交点式，可设所求二次函数为y=a（x+1）（x-3），代入（0，-3）得a=1，可设所求二次函数为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3

此例通过出声思维，不但得出了求二次函数关系式的三种常用方法，而且充分暴露了思维监控的过程，很好地体现了学生元认知发展的过程。

2.指导学生自我提问

自我提问是培养元认知能力的重要方法。通过进行一系列启发式自我提问，不但可以帮助学生整理、归纳、总结和迁移知识，加强学生对自己学习状态的认识，而且增强学生对自己学习过程的控制，学会根据不同内容选择不同的学习方法，在学习中获取成功的学习经验和积极的元认知体验，使学生的元认知能力得以充分发展。

总之，在数学教学中，利用元认知理论，培养学生元认知能力，有助于提高学生的主观能动性和自我意识，有助于提高学生的自我监控意识和能力，逐渐提高学生思维水平。随着数学元认知水平的提高，学生会更加自觉地将有关元认知知识运用于解决数学问题和现实生活中，使数学元认知在数学问题解决中发挥更大的作用。

作者单位宁夏中卫市第二中学

（实习编辑 李华凯）