利用几何画板绘制圆锥曲线的统一轨迹

朱日华

● 前言

轨迹是数学图像的重要组成部分，几何画板是展示轨迹生成和动画演示不可或缺的技术工具。教材和教辅上的绝大多数轨迹问题在笔者的精心研究下总能迎刃而解，但教材中的一道轨迹问题却困扰了笔者好几个月，在反反复复的苦心探究下，最终获得了圆满解决。正是这个问题的解决，使笔者对轨迹的认识有了极大的提高，构建了自己的轨迹理论，为以后遇到的类似轨迹问题提供了一个清晰的构图方向。在此，笔者将其编撰成文，以飨读者。

● 轨迹理论

轨迹生成的原理是从一个主动点出发，依托几何画板提供的功能，按照一系列规则做出从动点，从而生成轨迹（或演示动画）。

每一个轨迹生成或动画演示问题，无论复杂与否，都可以概括为一个（或几个）从主动点到从动点的构图过程。与纸上作图不同，几何画板上的点线具有“父子”的层次关系，要生成最终轨迹，必须保证主动点与从动点的“父子”层次关系的单向传递性，一系列构图规则的确定都必须遵循这一原则。

● 问题的背景

椭圆、双曲线、抛物线是圆锥曲线家族的三成员，它们除了各自的身份和特征，还具有一个统一的定义：平面内到一个定点和到一条定直线（定点在直线外）的距离之比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，其中，定点是焦点，定直线是准线，常数是离心率，当常数小于1时，轨迹是椭圆；当常数等于1时，轨迹是抛物线；当常数大于1时，轨迹是双曲线。

一般情况下，三种圆锥曲线的图像都是单一呈现的，构造其中任一轨迹都不困难，而统一定义中需要通过离心率控制同一轨迹的变化来体现三种圆锥曲线的连续变化和内在联系，却十分具有挑战性。

这是一个经典的轨迹问题，提供的基础对象有一条直线及这条直线外一点，还有一个离心率参数。简单而言，正如图1所示，在已知离心率e的情况下，如何从直线DH及直线外一点F出发，做出符合条件 的点P（其中PH为点P到直线DH的距离，FD⊥DH）？

问题简洁而明确，但构图的规则如何确定？

● 难点剖析

通过分析我们了解到图1中的点A是曲线的顶点，同样满足 ，因此，可以在垂线段FD上任取一点A，标记比值为离心率。这样，可以通过改变点A的位置来控制离心率的大小。点P需要满足条件 ，点P是明确的从动点，但主动点如何探求？

● 解决方案

1.方案一

如果将直线DH向左右分别平移长度d得到两条新直线，再以点F为圆心、e.d为半径构造新圆，新直线与新圆相交的交点P即满足条件。循此思路，可得如图2所示的构图规则。

①过点F作已知直线的垂线段FD，并在FD上任取一点A，测量并标记比值 （即离心率e ）；②构造射线FD，在射线FD上任取一点B，点B为主动点；③以点F为缩放中心，将点B按标记比值缩放，得到新点B'，再依次选择点F、B'，构造新圆；④分别标记向量FB和BF，将已知直线向左右平移，得到两条新直线（虚线），两条新直线与新圆相交，可产生四个交点，分别为P1、P2、P3、P4，这四个点均为满足条件的从动点（如果构图时，不能产生交点，可适当调整点A，使比值 变大，再调整点B增大圆的半径即可产生所需交点）；⑤选择点B、P1，构造轨迹，同样构造点P2、P3、P4的轨迹，至此圆锥曲线统一轨迹构造成功。

隐藏作图的痕迹后，拖动点A从点F向点D移动，离心率会从0向无穷大变化，可以观察到轨迹从椭圆到抛物线、再到双曲线的一个连续巧妙的变化过程，三种曲线的内在统一的联系一目了然。

品析：要掌握轨迹的构图精义，需要充分了解构图对象之间的联系及层次关系。本构图方案中，点A的地位非常重要，它最终控制了轨迹变化的过程，但在作图过程中，它仅仅是参数e的提供者，是一个静止的对象；主动点B的探求是关键性的，它是所有后继构图及最终生成轨迹的基础，主动点B取在射线FD上的主要目的一是用于标记向量便于平移直线，二是便于缩放得到新圆的半径，三是有了射线FD，就足以取到任意大小的圆。

2.方案二

从演示效果来看，方案一已解决了问题，但从生成的轨迹来看，图像却不能令人满意，由于计算精度的问题，椭圆、双曲线的两支都是不完整的。为了尽善尽美地展现轨迹，笔者对三种圆锥曲线的共同性质进行了大量的深入的研究，期待发现一个统一的性质可以利用。终于，找到了一个可供构图的性质。

圆锥曲线统一性质：如图3是圆锥曲线的一部分，记焦点F，顶点A，准线l，过点A作对称轴FA的垂线m，设点P为曲线上任意一点，∠PFA的平分线交l于点Q，交m于点C，延长AC到点E，使AC=CE，则P、E、Q三点共线。

从性质可以看出，只要点P的位置确定，其他对象的位置均确定。反过来，如果以F为起点构造任一条射线，能否找到确定的点P？循此思路，可得如图4的构图规则。

①过点F作已知直线的垂线段FD，在FD上任取一点A，测量比值（即离心率）；②以点F为圆心作任意大小的圆，在圆周上任取一点B，点B为主动点；③作直线BF，过点A作线段FD的垂线m，作∠BFA的平分线交l于点Q，交m于点C，延长AC到点E，使AC=CE；④作直线QE交直线BF于点P，则点P为所需从动点；⑤选择点B、P，构造轨迹，至此，圆锥曲线统一轨迹构造成功。

品析：此方案下的轨迹是完整连续的圆锥曲线，拖动点A，圆锥曲线的变化更加连贯自如；构图时，主动点的选择是讲究的，不适宜使用平面上的自由点，为了控制方便，一般都取在某条曲线上，本方案中用圆周上的点控制射线的转动便于轨迹的生成和动画演示。

● 提升

轨迹生成和动画演示占据了几何画板的半壁江山，理解并掌握轨迹生成的原理是学好几何画板的基础，在思考构图规则时需要关注如下几点。

①所有轨迹问题不管繁简，都有三要素：主动点、从动点、作图规则。②从动点作为生成轨迹的运动点，往往是明确的，也是一系列作图规则的最终目标。③主动点应是唯一的。有的轨迹问题会提供某一曲线上的动点，这是当然的主动点，但是如果没有，则要探求合适的主动点。④主动点一般取在某一已知曲线或新构造曲线上，包括直线、圆、函数图像、轨迹等，必要情况下可以是曲线的一部分。要尽量保证主动点的运动路径使从动点生成轨迹时既不重复也不遗漏，重复会产生不必要的运算，遗漏则使轨迹不完整。⑤主动点与从动点之间是具有严格的“父子”层次关系的。除了已有的图元对象和另外提供的参数，从主动点到从动点的作图过程中，所有产生的新对象都必须是单向“父子”关系传递的中间一环，不能出现彼此独立的对象。