复变函数与积分变换教学中几种思维习惯的培养

曾婷 李俊锋

【中图分类号】O174.5-4

【文献标识码】A

【基金项目】湖南城市学院精品课程资助项目（2011-92）

一、引 言

“复变函数与积分变换”课程是许多理工科专业学生必修的专业基础课,学好它将为后续课程的学习奠定坚实的数学基础.它尤其是工科相关专业的一门重要基础课程，通过本课程的学习，学生能理解复变函数的一些理论和方法，掌握解析函数、柯西定理、留数、共形映射以及傅里叶变换与拉普拉斯变换等基础内容，同时能利用这些基础知识解决实际问题.由于它的实用性，我校数学系的学生选用本课程为专业课，它的前继课程为数学分析等.

除了内容的教学，我们更应培养学生学习本课程的一些好的思维习惯以及教师本身的良好的教学思维，因为教学过程是学生和老师互动的过程.与书本内容的教学相比，我们更加重视对思维的培养，这也不失我们人性化教学的初衷.我们不一定非要得出多么惊世骇俗的想法，但我们深信，好思维会让学生透彻、全面地掌握所学的知识，有助于他们去思考问题、研究问题，甚至冒出一些创造性的灵感.对教师而言，好的教学习惯会让老师与学生之间更加融洽，更容易地传授知识.

二、培养学生的学习思维

注重开阔学生的视野，别让思维停留在前面的课程内容或方法中.在以前的学习中，负实数的二次方根是不存在的，但在复数域内却存在，也应让思维发生改变.此外，在教学过程中，我从下面几个例子可以看出，还有许多地方需要培养学生的思维.

1.思维的转变

我们选用教材中无穷大与复球面这一节，我们看看无穷大是怎样定义的：无穷大为一个特殊的复数，记为∞，由∞=10定义.同时定义了它和有限数的四则运算.∞+∞，∞∞等无意义，且无穷大的实部、虚部和辐角都无意义.在以前的学习中，学生牢记：0不能去除别的数，即0不能为除数，但在复变函数里，却成为了可能.无穷大是一个很重要的性态，应理解和接受这个新的定义，这就须要改变一下陈旧的思维.

2.思维的开阔

在复变函数与积分变换的前继课程中，我们一般是在平面坐标系中研究问题，坐标平面上的点的全体与所有的复数一一对应，整个坐标平面为复平面.学生对复平面这个概念不难理解，且对于任给的一个有限复数，都能在复平面上找到它的对应点.但我们不满足于此，因而把无穷大加到复平面中，变成了扩充复平面，这种扩充是很有必要的，便于在几何中全面地研究复数.从后面讲到共形映射这一节便可看出，分式线性映射一般都是基于扩充复平面来研究的.要理解这个新概念，就应在思维的“扩充”上多下工夫.老师要提醒学生开阔思维，去想象复平面是如何扩充的，但有些同学会觉得它比较抽象，甚至很想在纸上画出无穷大这一点来.这时，应及时引导学生，这一点在平面上无法画出，只是该平面上的每一条直线都通过无穷远点（即与∞对应的点）.我们可以进一步放宽思维，将复数放到一个球面上来研究，可以采用多媒体的手段，将此复球面显示在幻灯片上，而且可清晰地将复球面与扩充复球面上的点一一对应起来，尤其是强调无穷大这一点.只有将思维放宽了，才能更好地理解复数及其几何意义.否则，若局限在以前的书本，不能将思维拓展到扩充复平面上，那么，我们即便知道无穷大的存在，也总会觉得它无处“安放”.

另外，复变函数中有一个很重要且应用性很强的定理——最大模原理，若函数f(z)在区域D内解析，且f(z)不是常数，则在D内|f(z)|没有最大值.在实际中我们可以体会到它的涵义.比如在流体力学里面，平面稳定流动在无源无旋的区域时，流速的最大值不能在区域内达到.此时，学生应拓宽思维，想象一下：它能否在边界上达到呢？事实证明，这一点可以做到，且流速的最大值只能在边界上达到，当然这也需要满足一些条件的，如有界性、连续性等，这样得到的结果比较容易令人接受.由区域内到边界上的这个过程，是需要学生充分地展开联想的.

3.培养严谨的思维

解析函数是复变函数的一个重要工具，在研究解析函数的孤立奇点时，若能考虑得更全面，即将无穷远点也作为孤立奇点，则思维将更严谨.学生在处理无穷远点这类问题时，往往比较棘手，但又是必须考虑的，我们引导学生将不熟悉的问题化为熟悉的问题，用学过的方法来研究.还有将留数推广到无穷远点，等等.类似的情形很多.我们应培养学生严谨的思维，这也是数学这门课对我们的要求.

4.培养应用型思维

从理论到实践，把复数的理论应用到流体力学、电磁学、热学等学科中，为科学研究作出一份贡献，只有这样，才能推动理论的完善.

5.培养变换思维

在积分变换内容里面，讲到了傅里叶变换和拉普拉斯变换，从一个状态过渡到另一个状态，这中间需要变换，必定就离不开变换的思维.从变换的角度思考问题，会得到一些新的、令人感兴趣的东西.

三、培养教师的教学思维

教师应站在学生的立场，想象一下他们能不能真正地理解这些新的概念、定理、公式，从理论到实践这一关能否顺利通过，时常想学生之所想，急学生之所急，贯彻实施以人为本的教学理念，有利于教学.

四、结束语

通过教学和讨论等一系列实践，我们取得了很好的效果，学生很主动地探索、思考新事物，而不是被动地接受那些定理、公式，更难得的是，我们的教学也为培养大学生的自学能力服务.

总之，在教学中应时刻注重思维的培养，在“复变函数与积分变换”课程中，只有解放思想，从以前的书本中跳出来，开阔思维，转变思维角度，让思维严谨，等等，才能真正学到复变函数的精华，才能领悟到数学带给人们的这种精神：严谨和完美.很多时候，结果固然重要，但思维之花会开放得更加绚烂.