数形结合思想在解题中的应用

高英 张栋

摘要： 数形结合是数学解题中一种常用的思想方法，数与形二者相结合往往能使抽象问题具体化，复杂问题简单化.本文主要介绍了数形结合思想在集合，解不等式，直线方程，以及求函数极限之中的应用.

关键词： 数形结合数学解题应用

数形结合是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法，所谓数形结合思想，就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者是把问题的数量关系转化为图形的性质、把图形的性质转化为数量关系，数精确但比较抽象，形直观但不够精确，数与形二者相结合便能优势互补，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化.因此，数形结合的思想，就是将复杂或抽象的数量关系与直观形象的图形在方法上相互渗透，并在一定条件下相互补充、转化的思想.本文就教学中所出现的问题谈谈数形结合思想在解题中的应用.

一、关于集合中求差集的运算

集合的运算包括交集、并集、补集和差集，在这几类运算当中，差集是学生比较难掌握的.我们在解有关差集的题目时可以用文氏图来分析题目，从图形上进行观察，就可以很容易地解题.例如：设A={x|x+2=x}，B={x|=x}，求A-B，B-A.要解这样的题，首先来回顾一下差集的定义：设A和B是两个集合，把属于A而不属于B的所有元素组成的集合称为A和B的差集，记为A-B，读作“A减B”，即A-B={x|x∈A，x?埸B}，如图（1）所示.也就是说我们要先分别求出两个集合中所含的元素，并且在A集合中除去B集合中的元素，就可以得到A-B，在B集合中除去A集合中的元素，就可以得到B-A，由此可以得出A-B=A-（A∩B），B-A=B-（A∩B），因此我们先求出A={-1，2}，B={2}，再求出A∩B={2}，因此由图（2）可以看出A-B=A-（A∩B）={-1}，B-A=B-（A∩B）=?覫.

二、用数轴解不等式组

解不等式组一直是学生比较头疼的问题，其实在解不等式组的时候，利用数轴来分析，思路会更加明确，直观清晰，而且充分体现了数形结合的优越性.例如：

解不等式组2x-1＞-xx＜3，我们首先要分别解出2x-1＞-x和x＜3的解集，然后求它们的交集，下面我们用数轴来分析一下.解不等式2x-1＞-x，得x|x＞.解不等式x＜3，得{x|x＜6}.在同一数轴上表示两个不等式的解，如图（3），可知所求不等式组的解集是{x|＜x＜6}.

三、根据直线方程的图像研究直线方程的系数

在我们研究直线方程的过程当中，有时会出现这样的问题：已知直线方程的图像，要求从方程的图像上判断出直线方程的系数，如图（4）所示.从图像上我们可以看出直线的方程穿过了第一，二，四象限且与x轴相交与A点，与y轴相交于B点，而A点位于x轴的负半轴，B点位于y轴的正半轴，由直线的一般方程ax+by+c=0（c≠0）可以得出A点的坐标为-，0，B点的坐标为0，-，因此可以得出-＜0-＞0，解得ab＜0，即a与b异号.

四、求函数的极限

在我们学习函数的极限时会把自变量x的变化趋势分成两种情况来研究，一种情况是当x→∞时函数的极限，一种情况是x→x时函数的极限，为了让学生更加深刻地理解函数极限的概念，通常会通过函数图像来讲解函数值随自变量的变化情况.例如有这样一个题目：考察当x→∞时，函数y=的变化趋势，其实就是求.要解决这样的问题，在只理解函数极限的概念的情况下，我们只能从函数图像上进行观察，如图（5）所示.图上虚线分别表示自变量x的变化趋势，函数图像的变化趋势，以及函数值y的变化趋势.从图像上可以清楚地看出当x→+∞时，函数图像成一个上升的趋势，无限的向y=1这条直线靠近，函数值y也在无限地向1靠近，因此=1，同样当x→-∞时，函数图像成一个下降的趋势，无限地向y=1这条直线靠近，函数值y也在无限地向1靠近，因此=1，因此，根据函数极限的定义，我们可以得出=1.

著名的数学家华罗庚说：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万世事休.”这句话深刻地说明了数形结合在数学学习中的重要作用，因此，教师在数学教学中要恰当地使用数形结合的思想来启发学生，使学生切身体会到数形结合思想带来的便利，激发学习热情.

参考文献：

［1］周小兵.巧学妙技之数形结合思想［J］.中国科教创新导刊，2009，（36）.

［2］张宏良.浅谈数学教学中的数形结合思想［J］.衡水学院学报，2005，03.

［3］耿春智.恰当运用数形结合思想解题［J］.教师，2010，02.