“不足”与“不到”就是“少于”或“小于”

刘继红 刘永豪

笔者在教学人教版七年级下册《数学》P142页的第9题习题时，认真学习了与之配套的人教版《教师教学用书》给出的解题方法，同时也查阅参考了由内蒙古少年儿童出版社出版的七年级数学下册《点拨》（配人教版）所附赠的《教材习题参考答案》给出的解题方法，笔者觉得均有不妥，值得商榷，现提出自己的浅见.

七年级下册《数学》课本P142页的第9题习题题目如下：

把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本. 这些书有多少本？学生有多少人？

《教师教学用书》给出的解题方法为：

解 设有x名学生，则有（3x + 8）本书.

根据题意，得

3x + 8 ≥ 5（x - 1）， ①3x + 8 < 5（x - 1） + 3， ②

解不等式组，得5 < x ≤ 6.5.

因为x取整数，所以x = 6.

则3x + 8 = 26（本）.

即这些书有26本，学生有6人.

数学《点拨》附赠的《教材习题参考答案》给出的解题方法为：

解 设学生有x人，则有（3x + 8）本书.

根据题意，得

3x + 8 ≥ 5（x - 1）， ①3x + 8 ≤ 5（x - 1） + 2， ②

解不等式组，得5.5 ≤ x ≤ 6.5.

因为x取整数，所以x = 6.

则3x + 8 = 26（本）.

即这些书有26本，学生有6人.

由上可看出：两者解题的方法实质上是一样的，不等式① 都是大于或等于号. 笔者认为不妥，若按照此种解题方法来解下面一道题，就可看出不妥之处.

题目：有一群猴子，一天结伙去偷桃子. 分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果前面的每只猴子分5个，最后一只猴子分到的桃子不足5个. 你能求出有几只猴子、几个桃子吗？

解 设有x只猴子，则有（3x + 59）个桃子.

根据题意，得

3x + 59 ≥ 5（x - 1）， ①3x + 59 < 5（x - 1） + 5， ②

解不等式组，得29.5 < x ≤ 32.

因为x取整数，所以x = 30，31或32，

则3x + 59 = 149，152或155.

我们对当x = 32时，3x + 59 = 155的结果来分析一下，当前面的31只猴子每只分得5个桃子时，就已分完了155个桃子，最后一只猴子将会一个桃子也没有分到.

在生活中无论是购买东西或是分发东西，最后到者往往会遇到“不足”与“不到”多少数量的现象，这是很正常的，但并不说明一点也没有，而仅仅是少一点而己.

所以笔者认为“不足”、“不到”应该只是“少于”或“小于”，不应包含一本（个）也没有分到这种情况.

前面的解题中不妥之处，在于所列的不等式组中，不等式 ① 含有等号，包含一本（个）也没有分到这种情况，使不等式组的解集范围扩大了.

故对于七年级下册《数学》课本中P142页的第9题习题，笔者认为解题过程应如下：

解 设有x名学生，则有（3x + 8）本书.

根据题意，得

3x + 8 > 5（x - 1），①3x + 8 < 5（x - 1） + 3，②

解不等式组，得5 < x < 6.5.

因为x取整数，所以x = 6，3x + 8 = 26（本）.

即这些书有26本，学生有6人.

对于对比列举的例题，解法应如下：

解 设有x只猴子，则有（3x + 59）个桃子.

根据题意，得

3x + 59 > 5（x - 1）， ①3x + 59 < 5（x - 1） + 5， ②

解不等式组，得29.5 < x < 32，

因为x取整数，所以x = 30或31，

则3x + 59 = 149或152.

即猴子有30只时，桃子有149个；猴子有31只时，桃子有152个.