挖掘基本图形和结论，提高解题能力

胡爱萍

【摘要】 本文主要结合自己的日常教学对挖掘基本图形和结论、提高解题能力进行了阐述.

【关键词】 图形；结论；解题

到了初三，几何型综合性的题目也非常多，很多学生拿到综合题都需要很长的思考时间，甚至都无法下手. 上课老师评讲后他也能听懂，但课后遇到类似的，还是不会做. 作为教师，我觉得怎么教是关键 . 我们在实践中都会遇到一些重要图形，我们暂且称它们为基本图形，其中培养学生循基本图形解决问题的能力是怎么教的方法之一.

要提高学生的解决综合题的能力，光靠模仿、听懂是不够的，我觉得老师例题的解法、证法能读懂听懂仅仅是停在最浅层次上，而最重要的是必须知道老师是怎样想出那个解题方法的，为什么要那样解题，那么怎样提高学生的解题能力呢？

数学解题能力的高低归根到底就是问题转化能力的高低，不管解决什么数学问题，都是通过一步一步转化，最后归结为我们所熟悉的问题中去处理. 可以说每个复杂的图形都是由这些基本图形构建而成的，而这些正是分析解决复杂图形的突破口所在，在分析时才有可能把这些复杂图形分解成若干个基本图形，用基本图形的基本结论帮助我们冲突难点进而解决问题. 如果对这些图形和结论非常熟悉的话，就会很容易找到题目的突破口，解决问题. 下面我举几个基本图形的例子.

基本图形1：如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于E，AB = BE（即等腰三角形）.

若题目中出现这三个条件中的两个必能推得第三个结论，有了这个基本图形，就可以将复杂综合题稍加简化了.

如2010年泸州的一道中考题：如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC.

（1）求证：AE⊥DE；

（2）设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD = 5，AE = 8，求■的值.

分析 由于题中有角平分线和平行的条件，如果看到这个条件，那么第（2）问就有等腰三角形，就很容易把AD边求出来了（理由：由于AD∥BC，AE是角平分线，容易得∠BAE = ∠BEA，那么AB =BE = CD = 5，同理有CE = CD = 5，容易得出AD = BC = BE + CE = 10）. 再解决后面的问题就顺畅多了. 基本图形2：如图3，已知Rt△DAE与Rt△EBC，∠A = ∠B = 90°，DE⊥EC，则Rt△DAE与Rt△EBC必相似. 类推到△BAC与△CDE，如果∠A = ∠D = α，∠BCF = α，则△BAC与△CDE必相似，若有一组对应边相等，则△BAC与△CDE必全等.

如2009年山西省太原市的一道中考题：如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC = 4 AD = 4■，∠B = 45°.直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F.若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于 .

分析 由于题中有等腰梯形，且∠B = 45°，则∠C = 45°，又有∠AEF = 45°，则△BAE与△CEF相似，再由题中条件BC = 4AD = 4■，∠B = 45°，就可求出腰长AB = 3，利用相似可将CF求出.

再如2008年海南省的一道中考题的第（1）问：如图6，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A，C不重合），点E在射线BC上，且PE = PB.（1）求证：① PE = PD； ② PE⊥PD.

这道题第①问证全等方法难度不大，用一次全等就可以解决，但是第 ② 问的证法就多了，如证法一：

② （i）当点E在线段BC上（E与B，C不重合）时，

∵ PB = PE，

∴ ∠PBE = ∠PEB，

∴ ∠PEB = ∠PDC，

∴ ∠PEB + ∠PEC = ∠PDC + ∠PEC = 180°，

∴ ∠DPE = 360° - （∠BCD + ∠PDC + ∠PEC） = 90°，

∴ PE⊥PD.

（ii） 当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.

（iii）当点E在BC的延长线上时，如图7.

∵ ∠PEC = ∠PDC，∠1 = ∠2，

∴ ∠DPE = ∠DCE = 90°，

∴ PE⊥PD.

综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD.

由于点E在射线BC上，第②问分类讨论比较麻烦，若要证明PE⊥PD，如果我构造如图8的基本图形，证明Rt△EFP ≌ Rt△PGD，那么第 ② 问的证明就会简化.

（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD，BC于G，F，如图8所示.

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.

∴ GD = FC = FP，GP = AG = BF，∠PGD = ∠PFE = 90°.

又∵ PB = PE，

∴ BF = FE，

∴ GP = FE，

∴ △EFP ≌ △PGD （SAS）.

∴ PE = PD.

② ∵ ∠1 = ∠2，

∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = 90°.

∴ ∠DPE = 90°.

∴ PE⊥PD.

当然，提高解题能力不是一蹴而就的事，需要有意识地加以训练，平时注意对基本图形的识记，并保持适度的训练，还要掌握方法，积累解题经验，再加上钻研精神及必胜的决心和毅力，就能够提高对数学问题的认识水平，大大地提升解题能力.