高考概率问题的三个易失分点

2012-04-29 03:35刘月洁
数学学习与研究 2012年21期
关键词:化验患病次数

刘月洁

面对高考,我们最大的愿望就是多得分,少失分,尽可能地提高高考分数.同学们一定会问,有没有办法多得分少失分?其中最重要的方法——找准高考的易失分点,对易错易混的高考热点问题进行辨、析、正、补,确保此类问题不再出错,杜绝失分现象.下面就概率问题中的三个易失分点和大家一起分享,确保概率问题多得分,少失分.

一、基本事件把握不准致误

例1 投两枚骰子,求事件A为出现的点数之和等于3的概率.

错解 投两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2,3,4,…,12},故P(A)=1[]11.

找准失分点 事件的发生不是等可能的,不符合古典概型的条件.

失分原因与防范措施 对于公式P(A)=m[]n(n和m分别表示基本事件总数和事件A包含的基本事件数),仅当所述的实验结果是等可能出现时才成立.但是上述解法中找到的基本事件却不是等可能出现的,例如取数值2和3不是等可能出现的,2只有(1,1)这样的情况,而3有两种情况(1,2),(2,1).防范此类问题出错的基本方法是充分理解古典概型的定义,验证基本事件的有限性及等可能性.

正解 投掷两枚骰子可能出现的情况:(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…,(6,1),…,(6,6),基本事件的总数为6×6=36.在这些结果中,事件A只有两种可能结果(1,2)(2,1),∴P(A)=2[]36=1[]18.

二、对互斥事件概率加法公式理解不透致误

例2 投掷一枚正方体的玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,求P(A∪B).

错解 因为P(A)=3[]6=1[]2,P(B)=3[]6=1[]2,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1[]2+1[]2=1.

找准失分点 事件A与B不互斥,所以不能用加法公式.

失分原因与防范措施 忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件.由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件,及出现1或3时,事件A,B同时发生,所以不能应用P(A∪B)=P(A)+P(B)求解.在解决这类问题时,一定要注意分析事件是否互斥,若事件不互斥,可以将其转化为互斥事件来求.

正解 将A∪B分成出现“1,2,3”与“5”这两个事件,记出现“1,2,3”为事件C,出现“5”为事件D,则事件C与D两事件互斥,所以P(A∪B)=P(C∪D)=P(C)+P(D)=1[]2+1[]6=2[]3.

三、分不清事件的构成致误

例3 已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法:

方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.

方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.

(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;

(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望.

错解 设方案甲所需化验次数为η,则η的所有可能值为1,2,3,4,5.根据方案甲,患有疾病的1只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的,由前面分析知,其分布列为:

找准失分点 逐个化验,直到能确定患病动物为止,最多化验次数为4.

失分原因与防范措施 本题易错的地方是没有考虑这是一个实际问题,对于甲方案,患有疾病的一只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的,考生易误认为化验次数的等可能取值为1,2,3,4,5,事实上,若前4次化验为阴性,第5次不需要再化验即知最后一只为患病动物,所以化验次数只能取1,2,3,4;类似地,对于乙方案,第一次化验呈阳性,再化验3只中的前两只呈阴性后也不需要再化验,或第一次化验呈阴性,再化验另外2只中的第一只呈阴性或阳性后也不需再化验,及化验次数只能取2,3.在解决有关分布列的问题时,在求随机变量的分布列之前,要弄清楚随机变量可能取到的每一个值时所表示的意义,然后再利用所学的概率知识求出随机变量取每一个值时的概率,从而求出分布列,还要检验所有概率之和是否为1.

正解 (Ⅰ)对于甲:

对于乙:

若甲的化验次数不少于乙的化验次数,则P=0.2×0.6+0.2×(0.6+0.4)+0.4(0.6+0.4)=0.72.

(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数,ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4.

对于失分点的寻找,我们发现,在高考中容易失分的问题大致可以归纳为以下几类,在以后的解题中,应更加注意.1.概念不清,理解不透,特别涉及一些特殊情况,更容易混淆;2.定义、定理、公式掌握不准确,易忽略前提条件;3.思路分析不到位,不能自觉地运用数学思想方法去分析和解决问题.

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