高考概率问题的三个易失分点

刘月洁

面对高考，我们最大的愿望就是多得分，少失分，尽可能地提高高考分数.同学们一定会问，有没有办法多得分少失分？其中最重要的方法——找准高考的易失分点，对易错易混的高考热点问题进行辨、析、正、补，确保此类问题不再出错，杜绝失分现象.下面就概率问题中的三个易失分点和大家一起分享，确保概率问题多得分，少失分.

一、基本事件把握不准致误

例1 投两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率.

错解 投两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，…，12}，故P（A）=1[]11.

找准失分点 事件的发生不是等可能的，不符合古典概型的条件.

失分原因与防范措施 对于公式P（A）=m[]n（n和m分别表示基本事件总数和事件A包含的基本事件数），仅当所述的实验结果是等可能出现时才成立.但是上述解法中找到的基本事件却不是等可能出现的，例如取数值2和3不是等可能出现的，2只有（1，1）这样的情况，而3有两种情况（1，2），（2，1）.防范此类问题出错的基本方法是充分理解古典概型的定义，验证基本事件的有限性及等可能性.

正解 投掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），…，（6，6），基本事件的总数为6×6=36.在这些结果中，事件A只有两种可能结果（1，2）（2，1），∴P（A）=2[]36=1[]18.

二、对互斥事件概率加法公式理解不透致误

例2 投掷一枚正方体的玩具（各面分别标有数字1，2，3，4，5，6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P（A∪B）.

错解 因为P（A）=3[]6=1[]2，P（B）=3[]6=1[]2，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1[]2+1[]2=1.

找准失分点 事件A与B不互斥，所以不能用加法公式.

失分原因与防范措施 忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件.由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件，及出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用P（A∪B）=P（A）+P（B）求解.在解决这类问题时，一定要注意分析事件是否互斥，若事件不互斥，可以将其转化为互斥事件来求.

正解 将A∪B分成出现“1，2，3”与“5”这两个事件，记出现“1，2，3”为事件C，出现“5”为事件D，则事件C与D两事件互斥，所以P（A∪B）=P（C∪D）=P（C）+P（D）=1[]2+1[]6=2[]3.

三、分不清事件的构成致误

例3 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病.下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望.

错解 设方案甲所需化验次数为η，则η的所有可能值为1，2，3，4，5.根据方案甲，患有疾病的1只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的，由前面分析知，其分布列为：

找准失分点 逐个化验，直到能确定患病动物为止，最多化验次数为4.

失分原因与防范措施 本题易错的地方是没有考虑这是一个实际问题，对于甲方案，患有疾病的一只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的，考生易误认为化验次数的等可能取值为1，2，3，4，5，事实上，若前4次化验为阴性，第5次不需要再化验即知最后一只为患病动物，所以化验次数只能取1，2，3，4；类似地，对于乙方案，第一次化验呈阳性，再化验3只中的前两只呈阴性后也不需要再化验，或第一次化验呈阴性，再化验另外2只中的第一只呈阴性或阳性后也不需再化验，及化验次数只能取2，3.在解决有关分布列的问题时，在求随机变量的分布列之前，要弄清楚随机变量可能取到的每一个值时所表示的意义，然后再利用所学的概率知识求出随机变量取每一个值时的概率，从而求出分布列，还要检验所有概率之和是否为1.

正解 （Ⅰ）对于甲：

对于乙：

若甲的化验次数不少于乙的化验次数，则P=0.2×0.6+0.2×（0.6+0.4）+0.4（0.6+0.4）=0.72.

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4.

对于失分点的寻找，我们发现，在高考中容易失分的问题大致可以归纳为以下几类，在以后的解题中，应更加注意.1.概念不清，理解不透，特别涉及一些特殊情况，更容易混淆；2.定义、定理、公式掌握不准确，易忽略前提条件；3.思路分析不到位，不能自觉地运用数学思想方法去分析和解决问题.