再探对称数

谷春安 陆建军

【摘要】对称数是包罗万象且又深刻的，难能一书言尽，一书说透.本文将阐述的是关于对称数的基本性质、对称数的分布图像、对称数研究的目标意识等内容.

【关键词】对称数；性质；图像；目标

拙作《探幽对称数》发表于《数学学习与研究》第9期上，该文仅仅是我们的初步研究成果.在后续再探索中，我们又加深并拓展了对对称数的认识，于是以“再探对称数”为题，进一步阐析对称数.

一、“对称数的基本性质”补遗

在《探幽对称数》一文中已阐述过对称数的基本性质，为更全面、深入地认识对称数，本文再补充一些关于对称数基本性质的内容.

1.在叠减法则下，任意三档以上对称数都可以拆成两个或两个以上的对称数.

如：

2.任意两个对称数相乘，如果其乘法竖式里没有相乘、相加进位，其结果一定是对称数.

如：313×20002=6260626，1221×202202=246888642.

很显然，能满足“乘法竖式里没有相乘、相加进位”条件的，一般是两个相乘的对称数各个数位上的数字都比较小.

3.如果一个对称数各位上的数是2或3，4，5，6，7，8，9的倍数，那么这个对称数就一定能够被2或3，4，5，6，7，8，9整除，且商一定是对称数.

如：36963各位上的数都是3的倍数，则36963÷3=12321；8448448各位上的数都是4的倍数，则8448448÷4=2112112.

4.同档级对称数中，有较多的对称数具有整除性；不同档级对称数中，也有一些对称数具有整除性.

如：464÷232=2，363÷121=3，4884÷1221=4，5555÷1111=5，60006÷10001=6，777777÷111111=7，59895÷5445=11，1430341÷130031=11，4376734÷43334=101.

二、对称数分布图像

对称数在多位数中的分布是极其广泛的，那么它们的分布状况能否说明某些数学问题呢？请先看下面的对称数分布图像.

三档对称数分布图像

四档对称数分布图像

五档对称数数量比起三、四档对称骤然增加了许多，很难在方寸纸上将其完整的分布图像描绘出来，于是只显示了其中的一小部分.

五档对称数分布图像

观察、分析如上三、四、五档对称数分布图像，能够发现多位数中对称数分布的一些规律.

1.任意档级对称数数量都是一个常数，如三、四、五档对称数数量分别是90，90，900个.

2.不同档级对称数的分布图像犹如依序排列的9盏竖直悬挂着的日光灯那样，一截一截的，亮白亮白的.而且每“截”上的所有对称数的外档都是相同的，如三档对称数中外档为“6”的10个对称数都分布在600～700这截数域间；五档对称数中外档为“1”的100个对称数都出现在10000～20000的数域间.

3.在0～100、0～1000、0～10000……中分别都没有三、四、五档……对称数.

4.同一档级对称数在相应数域的分布数量是均等的，如三档对称数在100～200中有10个，在200～300中也有10个，在300～400中还是10个.换句话说，就是同一档级对称数中，外档为“1，2，3，4，5，6，7，8，9”的对称数数量都是同样多.

5.如果像三档、四档对称数分布图像那样把各个数域中大小顺序相应的对称数用虚线连接起来，可以得到9条连线，且这些连线是逐步上扬、相互平行的.

6.用“对称数分布图像法”去检索多位数中的对称数，比起“对称数图谱法”更直观、简便.

三、对称数问题研究的目标意识

致力于对称数问题研究，直至初步建立起对称数理论，其目标意识是什么呢？

1.在于发展数学科学

数学科学和世间事物一样，都需要发展.

推动数学科学发展的途径是多样的，而探索者首选的则是为数学知识大厦增添新内容，因为他们清楚地看到数学知识大厦其实就是一个个微观知识的累积，是由诸如自然数、整数、小数、分数、函数、三角形、圆锥体等局部知识共同构建的.对称数问题研究，是从广袤的自然数中择取自身特点明显的对称数作为研究对象的探索过程，其中包括对称数相关概念、计算方法的提出，以及对称数的特点、性质的探析，直至初步建立起对称数知识体系.很显然，“对称数”扩充了数学知识宝库，这是其一.

其二，对称数问题，开垦了一方数学地块.这对于激发人们关注数学现象的主动性、自觉性，对于增强数学意识，对于提升数学观察和数学思考能力都有直接的、积极的作用.提升这样的数学科学态度，能助力数学科学的发展进步.

其三，“九族制等差递进式列数方法”图谱和用组合计算方法求不同多位数的对称数的过程，其本身就是数学思想的扩充与发展.人们一旦具备了这样的数学思想，就能够从容面对纷纭复杂的情境，进而冷静思考、深入研判.再者，位数较多多位数的对称数数量问题是一个富有挑战性的问题，可能会唤起众多爱好者去探究.

2.让“对称数”走进中小学数学课本

2005年全市小学毕业考试，我命制了“像121，454这样的数叫作对称数，请写出一个是五位数的对称数（）”的填空题，结果80%以上的学生都写出来了，这说明在小学进行对称数教学是可行的.同时，“对称数”研究起源于中国大地上，理应走进我国中小学数学课本.

可以考虑按照对称数知识的层次性，分别在中小学数学课本里各编排一、两个章节的“对称数”教学内容.小学课本宜在“比和比例”之后作安排，小学教学“对称数”至少有如下两个好处.

（1）有利于发展数感

对称数是很有特色的一类数，学生认识对称数时，首先是从它的数相特征去体悟的，这种由数相而认识对称数的过程就是数感.很显然，学生认识对称数过程中，直观、敏捷的数感能力也会随之发展.

（2）有利于发展数学能力

对称数的基本性质这一块是极好的小学数学教学内容.具体教学时，教师先举出62332616235326这一组数，让学生以比对的方法，发现“对称数去掉或添上对称轴数，结果一定是对称数”的规律.接着，再出示一些素材，要求学生用比对、计算的做法去探索对称数的其他规律.在教师的引领和学生自己相互启发、共同帮助下能够得出：①对称数去掉或添上两个或几组相对应的数，结果一定是对称数；②在不进位加、不退位减的条件下，对称数的两个相对应的数加、减同一个数，或整个对称数各位上的数同时加、减同一个数，结果一定是对称数；③对称数相对应的两个数的比或几组相对应的数的和的比，一定是1∶1；④同一种档级对称数中任意两个对称数相加减，在不进位加、不退位减的条件下，结果一定是对称数.

与分数基本性质、比的基本性质教学相比，对称数知识教学中不仅发现规律的途径别样，而且规律内容的宽泛性也是前者不可比拟的，因而更能有效地发展学生的数学能力.这些就是“对称数”的教学意义所在.

如果在中学的“组合”后安排对称数教学，不仅能使学生意识到对称数其实是一种特殊组合的数，而且可以让学生用组合的方法去求多位数中的对称数的数量来，并由此深入到对称数率的探索中.此外，“等差数列”一章可提出两个公差相等或不相等的由对称数构成的等差数列，让学生去探究这些等差数列之间的关系，以拓展等差数列知识的宽度，深化对等差数列的认识.

3.张扬均衡、和谐理念

对称数的结构形式，既有均衡之性，又有和谐之意.

于是，人们造物、立事都应秉承均衡、和谐之义.比如机器制造，哪怕是一块铁片的薄厚、螺孔之间的相应位置都要讲究均衡性，否则会因其受力不匀而发生炸裂的严重后果.又如生态系统，各物种之间必须相互依存，均衡发展，切不可有欺小凌弱、一花独放的局面.再大到治山、治水、治理社会的活动，我们更应切实遵循均衡性、和谐性规律.

此外，探索对称数与生产、生活、科学技术的相互关联，关注对称数的实际应用也是对称数研究的重要目标之一.