对集合的特性理解的一点浅见

孙永平

【摘要】集合是考查同学们能力与学习潜力的很好的命题素材，它不仅是中学数学的基础，同时也是支撑代数大厦的基石.由于集合的确定性、互异性、无序性使集合形成了一套严密的逻辑系统，因此要学好集合，必须对集合的三大特性有深刻透彻的理解.本文将对集合的三大特性进行较为详尽的阐述，供参考.

【关键词】集合；特性；确定性；互异性；无序性

高一《数学》必修1的教学一开始就要从集合的概念入手，由于集合的概念是在承继康托尔（Cantor）的描述性概念，所以初上高一的学生理解起来还是比较困难的，为此，本人对其三个特性做了一点研究，得到了一些有用的结论，教学效果也比较好，现把它整理出来，和同行共享.

集合的概念在书本上只是这样描述的：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），组成的总体叫作集合（set）（简称集）.这种描述性的概念对学生来说，理解得不透，很容易对集合的三个特性的问题设置中出现疑问，我认为从以下三个方面来理解会使学生对函数的概念理解得更加透彻.

一、集合中元素的确定性

给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中是确定的，要么在，要么不在，二者必居其一.换句话来说，组成一个集合的元素是确定的，不能不清楚标准，模棱两可.如：“高一年级长得比较帅的同学”“《数学》第一章中比较难的数学题目”“本班身材比较高的同学”“高一年级肺活量比较大的男同学”等等，这些元素都没有确定性，因而就构不成集合，任给一个元素，无法确定该元素是否在这个集合内.但是，像“高一·一班的全体男同学”“高一·一班个子最高的同学”“不小于2的全体实数”等中的元素是确定的，可以组成集合.

例1 已知-1∈A={x，x2}，求x.

分析 由于-1是A中的元素，因此x，x2中必有一个等于-1，而x2≥0，所以x=-1.

解 ∵-1∈A={x，x2}，

而x2≥0，

∴x=-1.

二、集合中元素的互异性

一个集合中的元素是互不相同的，相同的元素放入一个集合只能算一个.在这个意义下，集合中的元素相当于“类”，一个元素在一个集合中相当于“一类”.关于集合中元素的互异性，考查的很多，应给学生多举几个复杂一点的例子，以加深理解.如：

例2 1∈A={x，x2}，求x.

解析 ∵1∈A={x，x2}，

∴x=1或x2=1（解得x=±1）.

而x=1与集合中元素的互异性相矛盾，

因此x=-1.

三、集合中元素的无序性

集合中的元素是没有顺序的.从这方面来说，集合就像一个“麻袋”，把任何东西都可以作为元素装进这个“麻袋”.无论以怎么样的顺序装进去都指这个集合.如{a，b，1，2，课桌，小汽车}={课桌，b，1，小汽车，2，a} .

当把集合的互异性和无序性结合在一起的时候，题目相对来说就会复杂一些，这种题目对学生理解集合的概念、特性帮助很大.

例3 已知集合A={1，1+d，1+2d}，集合B={1，q，q2}，若A=B，求实数d，p的值.

解析 由A=B得1+d=q，

1+2d=q2，

①或1+d=q2，

1+2d=q.②

由①得q=1，

d=0，

∴A=B={1，1，1}，不符合元素的互异性，舍去.

由②得q=-1[]2，

d=-3[]4，

或q=1，

d=0.

（舍去）.

经检验，q=-1[]2，

d=-3[]4符合题意.

例4 已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}，若A=B，求c的值.

析 ①若a+b=ac且a+2b=ac2，消去b得：a+ac2-2ac=0，即a（c2-2c+1）=0.

当a=0时，集合B中的三元素均为零，这与元素的互异性矛盾，故a≠0.

当c2-2c+1=0，即c=1时，集合B中的两元素又相同，故c≠1.

②若a+b=ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2-ac-a=0.

∵a≠0，∴2c2-c-1=0，即（c-1）（2c+1）=0，

又 c≠1，故c=-1[]2.

集合是考查同学们学习能力与学习潜力的很好的命题素材，它不仅是中学数学的基础，同时也是支撑代数大厦的基石.由于集合的确定性、互异性、无序性使集合形成了一套严密的逻辑系统，因此要学好集合，必须对集合的三大特性有深刻透彻的理解.以上只是本人对集合特性的一点教学心得，供高一初学集合的学生参考.