浅析辩证思想在解决数学问题中的运用

汤洁

在数学学习中，有时学生们会为解决一个问题而手足无措，会为一个方程的解法、一个角的取值或者一个变量的大小而困惑.这些问题表面上可能被认为是计算能力的欠缺，但实质是一种数学思维的缺失，是一种解题思维的不完善.

在数学思维的培养和形成的过程中，辩证法思想的运用是关键所在，辩证法所运用的思维模式对建立数学思维和数学答题模式具有导向作用.甚至可以说，是否有辩证思维的意识决定着数学学习的成败.浅析如下：

一、分清整体和局部，用普遍联系的观点看待和解决数学问题

高中数学体系是由多个模块构成的，每个模块都是一个小的知识体系.通常了解一个小知识体系并不是非常困难.但是，如果要真正掌握这个模块的知识就需要与其他模块的知识相联系.比如，三角函数与圆锥曲线、函数与不等式等，都是不同知识体系之间的相互联系.而这种联系就是在解题过程中学生经常感到困惑的环节.

以2009年新课标全国卷（文）12为例：用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值.设f（x）=min{2瑇，x+2，10-x}（x≥0），则f（x）的最大值为（）.

A.4B.5C.6D.7

在这道题中，包含着最值、分段函数、指数函数、函数图像等知识点，也只有运用联系的观点，将几部分知识串起来，数形结合，在坐标系中作出三个函数的图像，再分段选取最小值，再在最小值中选出符合题意的最大值，进而求解.

以普遍联系的观点为基础，对数学模块之间的联系进行具体地分析，引导学生分清整体和局部，对解题的成功起着决定性的作用.在解决问题的过程中，要承认因果联系的普遍性和客观性，正确把握数学模块之间和模块中的因果联系.引导学生运用整体和部分相互关系的原理，在学习数学和解决数学问题时要树立整体观念和全局思想，从整体着眼，寻求最佳解题途径；搞好局部，使整体功能得到最大的发挥.

二、运用发展的思想来引导学生深化学习效果，解决复杂问题

每个模块的学习多是由浅入深，由易入难，在学习中，往往会遇到“瓶颈期”的问题，这是在学习时由质变到量变的关键环节，常常有的学生的分数一直悬在不高不低的位置，与尖子生有不小差距，但又高于普通学生，而他们所处的位置就是在突破“瓶颈期”的位置，有时在解决问题时，这种学生往往只差一步或者两步，往往这一两步是“瓶颈期”前后的体现，在瓶颈期前，可能会对某些问题已经较为清晰，但在“瓶颈期”会一知半解，而数学学习就是一种从了解到认识，从认识到遗忘，从遗忘到掌握的螺旋式上升的过程，而并非是直线上升.

以2010年新课标全国卷（文）12为例：已知函数f（x）=|lgx|，0

-1[]2x+6，x>10，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）.

A.（1，10）B.（5，6）

C.（10，12）D.（20，24）

该题以分段函数为背景，属于分段函数中较新颖题目，但却是以一道常见题为基础改编的.原题是：

①已知函数f（x）=|lgx|，若a≠b，且f（a）=f（b），则a和b的关系为ab=1.

题①的解法为：分段讨论去掉绝对值后，由对数函数的单调性，可知a和b必为一个大于1，另一个在0和1之间，故得lga=-lgb，从而得解.而以①为基础改编的高考题，用发展的思想来看，是在原题的基础上将函数变为三段，且增加了一个变量.将a，b还看作原题中的a和b，即可得ab=1.再数形结合得出f（c）的范围，进而得c的范围即得解.

在解决数学问题时要引导学生运用运动、变化、发展的眼光看问题，而不是拘泥于眼前所出现的知识点.

三、运用矛盾的观点，对立统一中把握数学

有些学生往往在出错后会说大意失荆州，也就是在细节上出错.这些看似细小的问题，却很影响做题的结果和思维品质的形成.有些学生在解题时只记成题而忽略本质的概念，或者记概念而不知概念因何而来.而在高考这种选拔性考试中，试题往往与成题相异，甚至是背道而驰，但却始终围绕着核心的概念.在这类考试中往往“知甚解”的学生有很大的优势.这就说明，不论是核心知识还是细节问题都是非常重要的，而矛盾分析法的运用可以解决此类问题.

以2010年新课标全国卷（文）16为例：在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=2，∠ADB=135°.若AC=2AB，则BD=2+5.

这道题主要考查三角函数、解三角形的知识.此题计算量较大，而且边角关系较为复杂，需要步步为营，在解题过程中注意提取关键信息，抓住求BD的关键边角，进而运用正余弦公式得出BD长度，求出答项.

在学习数学时要引导学生牢记知识点并弄清知识的本来面目，坚持一分为二的矛盾分析方法.既把握核心知识又要兼顾细节问题.并且在解题中要敢于承认矛盾、揭露矛盾，善于分析矛盾；坚持两分法，一分为二地看问题，防止片面性.不能有成题思想和固定不变的解题模式，反对“一刀切”.运用矛盾分析法把握整体数学.

学习数学和解决数学问题时融入辩证思想，将思维与实践相结合，总结出解题规律和解题思想，在思维上占得解题先机，在解题时运用矛盾分析法规范步骤和逻辑，用哲学方法论指导数学学习和实践，才能使数学学习有章有法.