重视数学思想 提高数学能力

喻璟

数学同其他各学科一样，在其发展过程中，形成了一套行之有效的数学思想.所谓数学思想，是对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，是现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识当中，经过思维活动而产生的结果.数学思想除了指数学本身的论证、运算及应用的手段以外，还应包括关于对数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识.

培养和发展学生的数学能力是数学学科的重要任务之一，数学能力包括学习数学的能力以及创造性的数学能力.学习数学的能力，也就是在数学学习中，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力.苏联心理学家克鲁捷茨基认为：学习数学的能力是创造性数学能力的一种表现，因此，培养和发展学生的数学能力是培养和发展学生的创新能力和解决问题的实践能力的重要手段.

学生数学能力的形成大致可以分为三个阶段，即由“三基”到“数学思想”最终形成“数学能力”.基本数学思想的指导下驾驭数学知识，才能培养学生的数学概括能力，这不仅使数学学习变得容易，而且使其他学科的学习也变得容易，也只有通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高，掌握数学思想，就是掌握数学的精髓.按照上述观点，数学教学不能满足于单纯的知识灌输，而是要使学生掌握数学最本质的东西，用数学思想统领具体知识、具体问题的解决，循此培养和发展学生的数学能力.所以说，在数学教学过程中，要想深入领会数学的本质，引领学生学好数学，重视数学思想的渗透对提高学生的数学能力所具有的重要意义.

数学思想的内容相当丰富，在日常教学过程中常用的有以下几种数学思想：

1.函数与方程思想

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数与方程思想是指从问题的数量关系入手，提出问题的数学特征，运用数学语言将问题中的条件转化为函数关系型的数学模型，从而进行问题的研究，有时还实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的.函数思想涉及的知识点多，范围广，经常利用的性质有：函数的奇偶性、单调性、周期性，函数的最大值和最小值，函数图像的转化等.在解决问题过程中，善于挖掘问题当中的隐含条件，构造出函数的解析式和妙用函数的性质，是应用函数与方程思想的关键.对所给问题观察、分析、判断比较深入、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数模型.另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，用函数思想加以解决.

2.数形结合思想

数形结合思想就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又提示其几何直观，使数量间的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.使用数形结合思想解题，往往能避免冗长的计算与推理，又能考评结论是否完整.数学中的许多知识，有的本身就可以看作是数形结合，比如，任意角的三角函数就是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.

3.类比转化思想

类比转化思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.类比转化思想在数学教学过程中无处不见.众所周知，直线与曲线这两个数学概念是有严格区别的，初等几何正是以这种区别为基础建立起自己的理论体系的.但是，直线与曲线又是有着内在联系的，在一定条件下可以互相转化.比如在高等数学中，“无限”的条件下，直线与曲线可以当成是一回事.求曲边梯形面积的计算就是先将曲线转化成直线，然后再将直线转化成曲线，充分体现了曲线与直线相互转化的思想.正是运用这种思想，高等数学解决了很多初等数学碰得头破血流也无法解决的课题.

4.分类讨论思想

有时在解答某些数学问题时，会遇到多种情况，这时需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，并将这些小问题逐个加以求解，然后进行归纳小结，最后综合得出结论，这就是分类讨论思想.分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种典型的逻辑方法，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探究性，能训练学生的思维条理性和概括性.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏，不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.

例如，设p≥1，求极限﹍im﹏→∞1+p+p2+…+p﹏-11+p+p2+…+p琻，在解题过程中，需要运用分类讨论的思想，分p=1和p>1两种情况加以讨论：当p=1时，原式=﹍im﹏→∞猲n+1=﹍im﹏→∞11+1n=1；当﹑>1时，原式=﹍im﹏→∞1-p琻1-p﹏+1=﹍im﹏→∞1p琻-11p琻-p=1p，从而得解.

作为数学教师，应该深入地研究各种常用的数学思想，要透彻理解、熟练掌握它们的特点和作用；要把数学思想渗透在有关数学内容的教学当中；要注意选择适当的教学内容向学生系统地介绍各种数学思想；要有注意培养学生有意识地、主动地运用数学思想解决数学问题的习惯.只有这样，才能开拓解题思路，才能改善解题方法的合理性和正确性，才能提高学生的数学水平和能力.