加强数学素养,还课堂教学以生命的灵性

袁红霞

概率是处理随机现象（不确定现象）的一门科学，这些内容是一种“不确定性数学”内容，与传统的“确定性数学”内容有较大区别。最近听了不同年级关于概率的几节课，引发了我对概率知识及课堂处理的思考。

片段一：在二年级课题为“可能性”的公开课上，老师讲了可能性的一些例子后，设计了让学生讲一讲生活中的“一定”“可能”“不可能”的例子。许多学生讲对了，但有一个学生讲的例子是：“我们一定要注意安全。”老师犹豫了一下，给出的评价是“好”。受此影响，接下来几个学生讲的例子是：“上课我们一定要认真听讲。”“妈妈明天一定会来看我。”“吃饭前一定要洗手。”老师当时没有反应过来，未能及时纠正学生的错误。

思考：概率上的“一定”、“可能”、“不可能”分别对应概率为1、0—1、0，和生活中的语言“一定”是有本质区别的。课堂上学生讲的例子“上课我们一定要认真听讲”、“吃饭前一定要洗手”中的“一定”其实是“应该”，是一种倡导性的语言。而“妈妈明天一定会来看我”中的“一定”其实是很可能。我们不能因为语句中出现了“一定”“可能”“不可能”等词汇，就认为它属于数学“可能性”的研究范畴。我认为教师在实际教学中不要设计这样的问题，以避免和生活语言混淆，而应根据学生的实际水平，设计能判断的不确定现象或随机现象，例如，“任意找两个自然数，它们的和可能是双数，可能是单数。”等。

片段二：三年级的“等可能性”，四人小组在装有3个红球、3个黄球的口袋中重复摸球40次。6个小组合计摸到红球119次，黄球121次。学生发现：摸到红球的次数和黄球的次数差不多。老师对此作推理：在口袋里任意摸一个球，摸到每个球的可能性一样大；由于红球和黄球的数量相等，因此摸到红球和黄球的可能性相等。

思考：根据口袋里有3个红球、3个黄球，学生凭直觉能判断摸到红球与黄球的可能性相等。但是，这个年龄阶段的学生不适宜通过这样的推理得出结论，只有在直观的操作活动中加以感受。尚且操作活动得出的结果并不是事件发生的可能性，而是事件发生的频率。因此如果不理解教材的编排特点，不理解教学内容的重点、难点，在教学过程当中稍不留意就会出现“越位”。

为了让学生逐步感受、体会概率知识，从二年级开始，概率的基本思想方法即有序进入学生数学学习视野。根据课程标准的要求和学生的认知水平，教材在第一、二两个学段分四次安排教学可能性的知识。教材编排不仅在取材上以“摸球”“转盘”的相似情境贯穿前后，体现出很强的连贯性和整体感，而且在教学要求上也是逐渐提升，各有侧重，既有连续性又有发展性，层层推进，拾级而上。这样，就能使教学的针对性、有效性更强。

片段三：四年级的“游戏规则的公平性”，通过“抛硬币”让学生理解“出现正面和反面的可能性都是一样的”。小组活动“抛硬币”后，一位老师巡视了各小组记录单后，只让那些正反面次数相差不大的小组汇报，而没有让那些正反面次数相差较大的小组汇报。然后，老师指着汇总的数据说：“同学们经过试验，大部分同学出现正反面的次数相差不多，所以，任意抛一枚硬币，出现正面和反面的可能性都是一样的。”

思考：老师对学生“抛硬币”的结果这样处理，显然是一种错误的概率观。其实只要符合独立重复的条件，学生的试验都是正确的，他们的实验结果也是有价值的。教师可以将学生的实验结果全部汇报出来，纵观各组数据，学生会发现：有时正面朝上多，有时反面朝上多，有时一样多，正面朝上的次数和反面朝上的次数差不多。说明游戏是公平的。这样让学生做出比较和分析，对公平性有一个丰富的、全面的、正确的认识。

由于教师概率知识缺乏，对“频率与概率”“试验与结果”等概念认识不清，一些教师往往会在潜意识中对试验结果有一些错误的希望，例如在装有4个红球和4个白球的袋中重复摸球，“摸得次数足够多，摸到红球和白球的次数会相等”“摸的次数足够多，摸到红球和白球的次数相差很小”“摸的总次数越多，摸到红球和白球的次数相差得越小”“公平的游戏输赢的次数应该差不多”“公平的游戏平的次数最多”等。也有的教师试图用概率的统计意义（即用频率估计概率的方法），引导学生用“猜想—验证”的方式来让学生理解等可能性，或证明设计的游戏规则是否公平，这是违背概率论的。“等可能性”可以从概率的古典定义的角度去认识——因为抛的结果只有两种可能，且两种结果的可能性相等，所以该随机事件的概率是二分之一，却不能通过试验、游戏来验证、证明；而试验、游戏可以让学生体验等可能性和随机性的辩证统一，培养学生的随机思维。在课堂上引入随机试验，既不是让学生得出次数相等的结果，又不是要验证、证明规则的公平性，更不是要利用试验得到概率的估计值，而是让学生在进行随机试验和收集数据的过程中，进一步体会随机的思想，感受、领悟等可能性。在教学中，教师要想心中有数、有的放矢地驾驭好涉及简单概率知识这部分教材，必须较完整地学习概率知识，理清逻辑顺序，梳理知识结构，理解基本概念。

片段四：在教学“用分数表示可能性大小”这一内容时，例题1以猜左右争夺发球权为情境，在教学这个例题时，老师引导讨论交流:这样的规则是公平的吗?为什么?学生这样解释：人有两只手，乒乓球在一只手里，所以可能性是二分之一。与例题2配套的“试一试”是在装有3个红球和2个黄球的袋中摸球，摸到红球的可能性是多少？学生这样解释五分之三的意义：一共有5个球，其中3个是红球，所以摸到红球的可能性是五分之三。

思考：例题和试一试提供的素材都是静止的材料，即使学生没有学习这一知识也能根据分数的意义得到表示可能性大小的分数。于是老师认为教材太简单了，没有多大的意义。实则不然，用分数表示的概率，其分母表示一共有多少种可能性相等的情况，分子表示其中可能发生的几种情况。这一教学内容不仅要教会学生正确计算概率的方法，而且要注意引导学生理解概率的意义。如果一堂课下来，学生没有这些概括、认识，那么本堂课的知识目标也就没有达成，如解决练习十八第六题：小芳和小娟做“石头、剪刀、布”的游戏，小芳获胜的可能性是几分之几？学生就不能真正明白：求小芳获胜可能性的大小要列举出所有可能出现的情况和小芳获胜的情况。

这里需要注意的是另一种思路：一回合的结果有三种：小强胜，小强负，平手，所以小强胜的可能性是三分之一。这种分析方法在这个具体问题当中是正确的，但这不是一般的分析方法，因为这里的“小强胜”、“小强负”、“平手”都不是基本事件，都包含若干个基本事件，比如“小强胜”这个事件就包含“小强出石头—小丽出剪刀，小强出剪刀—小丽出布，小强出布—小丽出石头”这三种情况。之所以这里用这种方法得到的答案是正确的，是因为“小强胜”“小强负”“平手”这三个事件包含的基本事件数都是三个，是相等的。

客观地说，现在的小学数学教师系统学习过概率论知识的并不多，因此出现本位性知识缺失、知识体系把握不准、数学思想挖掘不够的现象不足为奇。而要引导学生领会事件发生的随机性、事件发生结果的必然性、大量随机现象中的统计规律性，教师就必须较深入地学习这些知识，提高自身的数学素养，教师具备了扎实的数学专业基础，才能够全面把握数学学科知识，教学才能统揽全局，还课堂教学以生命的灵性。