对简易逻辑的理解及教学建议

柏庆

摘要自20世纪以来,数学语言发生了显著的变化,即自然语言逐渐减少,代之以集合之间的运算及命题之间的逻辑演算这些形式化(或符号化)的语言，这一改变为数学打下了坚实的基础，又为计算机的发展和应用提供了工具。

关键词计算机；逻辑；课程改革

一、问题的提出

自20世纪以来,数学语言发生了显著的变化,即自然语言逐渐减少,代之以集合之间的运算及命题之间的逻辑演算这些形式化(或符号化)的语言，这一改变为数学打下了坚实的基础，又为计算机的发展和应用提供了工具。为了顺应时代发展及课程改革的需要，北京师范大学出版社新编的高中选修1-1数学教科书增加了《常用逻辑用语》一节内容。该节内容当属命题逻辑的范围。尽管内容并不很多，但在教学过程中，教师的教和学生的学都不同程度地存在一些问题。如对“命题的否定”、“复合命题的构造”等内容，存在着不同看法，即使在中学数学教育杂志上，对上述问题的争论也很多，并没有形成统一的认识。这对“简易逻辑”的教学和研究都是很不利的。

二、主要结果

1.关于命题

命题是什么，说法很多。教材中定义：可以判断真假的语句叫命题。通常认为命题就是表达判断的语句。因此命题有两个重要的逻辑特征：其一是对判断对象有所肯定或否定，其二是能判断其真假。例如语句“太阳从东边升”，作为一个判断，它是正确的，所以它是命题，是一个真命题。命题作为一个句子，必有主语、谓语和联系主谓语的联系词。例如“8是4的倍数”是一个简单命题。“8”是主语，“4的约数”是谓语，“是”是联系词。命题中的主语表示命题对象的概念，称为命题的主项。命题中的谓语表示命题对象所具有(或不具有)的某种性质的概念，称为命题的谓项。“是(或不是)”联系主项与谓项，称为命题的联项。在命题的主项前面都有一个表示命题对象数量的概念，称为命题的量词。量词有两种：一是全称量词：在指定范围内，表示整体或全部的含义，如“所有”、“一切”、“任意””等；二是存在量词：表示个别或一部分的含义，如“有的”、“某些”等，在命题中，全称量词常可省略，而特征量词不能省略。

2.关于“非p”命题

对整个命题p 加以否定得到新的命题叫做“非p”命题，即非命题。“非”就是否定，所以“非p”也叫做命题p 的否定，但“非p”之“非”只否定命题的结论，这也是“非p”与否命题的区别。所以欲写“非p”应先搞清p 的条件和结论，另外p 与“非p”的真假必须相反。含有量词的命题“p”与“非p”之间怎样转换呢？看以下几例

（1）p：正方形的内角都是直角。

非P：有些正方形的内角不是直角。

（2） p：有些学生身高超过1米8。

非P：所有学生的身高都不超过1米8。

（3）p：有些素数不是奇数；

非P：所有素数是奇数。

（4） p：直角三角形的斜边与两条直角边都不相等；

非p：有些直角三角形的斜边与直角边相等。

通过以上实例，推广到一般，可以得到：含有量词的命题的否定，是先将量词进行转化，即将全称量词转化成存在量词，将存在量词转化成全称量词，然后再对结论加以否定。

三、关于复合命题“p”或“q”与“p 且q”

复合命题“p 或q”、“p 且q”是逻辑联结词“或”与“且”联结两个命题p 与q。既不能用“或”与“且”去联结两个命题的条件，也不能用它们去联结两个命题的结论。复合命题“p 或q”、“p 且q”命题p、q 的关系有三种类型：

（1）p、q 的主项概念、谓项概念都不相同，如：

p：菱形的四边相等。

q：正方形的对角线相互垂直。

“p 或q”：菱形的四边相等或正方形两条对角线相互垂直。

“p 且q”：菱形的四边相等且正方形两条对角线相互垂直。

（2）p、q 的主项概念相同，谓项概念不相同，如：

p：12是3的倍数。

q：12是24的约数。

“p 或q”： 12是3的倍数或是24的约数。

“p 且q”： 12是3的倍数且是24的约数。

（3）p、q 的主项概念不同，而谓项概念相同，如：

p：对顶角相等。

q：同角的补角相等。

“p 或q”：对顶角相等或同角的补角相等。

“p 且q”：对顶角相等且同角的补角相等。

四、建议

为了学生能比较轻松的学好这一段内容，我想我们教师可以做到以下几点：

建议一： 在逻辑的教学中，一定要谨慎，不要想当然，多斟酌。 我们有机会也可以多和语文老师沟通，探讨语言、语法结构上的判断词、联结词、量词与数学语言的差别和联系，在一些命题的表述过程中将文字语言与数学符号有机地结合起来使用，便于学生理解。

建议二：教学过程中，不要只对学生进行大规模的训练。应多注意培养、提高学生转换命题与构造命题的能力。学生能在自己的创造过程中发现问题，以此激发探究的激情，有助于完善他们对客观世界的理性认识，并能逐步提高对事物的判断能力。

总之，新教材的众多闪光点，我们将在渐进的教学过程中逐步体会到。我们要利用好新教材中的这些闪光点。让我们的学生学得轻松一点、优秀一点。

参考文献：

[1]李三平.高中数学与中学数学[M].西安：陕西师范大学出版社，2006.