数学小实验探索三角形全等的条件

王宗信

本课是江苏教育出版社数学教材7年级下册第11章《图形的全等》的第3节《探索三角形全等的条件——边边边》。在此前两节课，学生通过观察、实验、归纳、猜想等，探索到通过“边角边”、“角边角”、“角角边”可以判定两个三角形全等，而且对“边边角”的不确定性和“角角角”的形状确定、大小不确定也有了一定的认识。那么，只剩下关于“边边边”是否可以判断三角形全等的探索了。学生个性不同，思维活跃，积极性高，对全等问题有着迫切的求知欲，而且有了一定的知识基础和基本经验，可以开展“边边边”的判定探索，这是学生的最近发展区。为了帮助学生跳一跳并且够得着，笔者在磨课的过程中不断调整，设计了一组数学小实验进行操作，结合例题、习题、思考题的设置，由浅入深，层层递进，让学生以研究者的身份在动手操作中发现问题、提出猜想、验证猜想，发展学生理性思维、创新意识和实践动手能力，提升他们的数学学习力，体验成功的喜悦，在“做数学”的过程中发现数学、理解数学、应用数学。

教学目标

知识与技能：通过动手操作，探索三角形全等的条件——“边边边”，能结合具体问题和情境进行有条理的思考，会分别用“因为……所以……”或“因为……根据……所以……”的表达方式进行简单的说理。

过程与方法：从两个图形全等的定义出发，参与到探索、发现过程中来，通过生生、师生的合作学习，猜想可能的结论。呈现形式为：“问题情境——探索活动——归纳结论——应用”。

情感、态度与价值观：运用数学的思维方式观察、思考、分析、解决问题，积累数学活动经验，感受数学的价值，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物。

教学重点、难点

通过让学生探索全等条件的过程，培养学生合情推理的能力；使学生能够有条理、清晰地思考并阐述自己的观点。

教学过程

（一）实验探索“SSS”对三角形形状及大小的影响

原始设计：

数学小实验：用一根20cm的铁丝，围成一个三角形，怎样才能使你和其他同学围成的三角形全等？

设计意图：这个问题的提出有一定挑战性，教学时可以分4人为一组，要求小组内的学生围出的三角形全等。课前要求每人准备一根20cm的铁丝，活动时要求学生充分讨论，设计可行的方案，并制作出三角形，然后各组汇报活动结果，出示全等的4个三角形。这样学生虽可利用“SAS”甚至“AAS”制作全等三角形，但容易“跑题”，同时制作方法上存在明显的不足，如角度难以准确把握。

优化后设计：

引入：欣赏图片（图1），寻找图中的三角形形状物体，思考:为什么把它们设计成三角形？

学生会回答出三角形具有稳定性，教师安排小实验活动进一步探究其中的数学原理。

实验一：画一个角等于已知角

实验器具：学案纸、圆规、直尺、三角板、量角器、剪刀。

在学案上给出∠AOB，要求学生用直尺和圆规按以下步骤操作实验（图2）：

1．以O为圆心，任意长为半径用圆规画弧，分别交OA、OB于点C、D。

2．任意画一点O′，画射线O′A′、以O′为圆心，OC长为半径画弧C′E，交O′A′于点C′。

3．以C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧C′E于点D′。

4．过点D′画射线O′B′。

5．剪下∠A′O′B′，与∠AOB比较大小，再用量角器量取∠A′O′B′与∠AOB的度数。

6．连接CD与C′D′。比较△OCD与△O′C′D′的形状与大小。

思考、讨论：为什么∠A′O′B′与∠AOB相等？

设计意图：本活动实际是教材前章节涉及的“做一做：画一个角等于已知角”。放在此处回顾，目的是让学生通过再次作图，提出问题：为什么∠A′O′B′与∠AOB相等？寻找其中的数学道理，本活动表面上是画角，实际上先画△OCD，再画△O′C′D′，这两个三角形满足OC=O′C′,OD=O′D′,CD=C′D′，三边对应相等，△OCD≌△O′C′D′，所以A′O′B′与∠AOB相等。所以此实验表面上是画一个角与已知角相等，实质是画一个等腰三角形与已知等腰三角形全等。

原始设计：

实验二:已知三边长画三角形

按下列画法，用圆规和刻度尺画一个三角形：

1．画线段AB=4cm。

2．分别以点A、B为圆心，3cm、2cm的长为半径画弧，两弧交于点Ｃ。

3．连接 AC、AB 。

你画的三角形与其他同学画的三角形全等吗？

设计意图：让学生通过尺规作图得到三角形，把三角形作在准备好的纸上，先猜一猜，再剪下三角形验证，通过讨论，归纳得出结论。

优化后设计：

实验操作流程：教师先在黑板上演示（图3）。

1．画线段AB=4cm。

2．分别以点A、B为圆心，3cm、2cm的长为半径画圆，两个圆有两个交点，分别记为C１ 、C２ 。

3．连接AC１、BC１得△ABC１ ；连接AＣ２、BＣ２得△ABＣ２。

看完教师演示，学生在学案上完成同样的操作。

师：请同学们根据自己的操作判断△ABC１与△ABC２是否全等？

生：全等。

师：如何验证△ABC１与△ABC２全等？

师：请把△ABC１沿直线AB折叠，看△ABC１与△ABC２是否重合。

生：折叠，发现△ABC１与△ABC２重合。

师：用几何画板演示、验证，精确作图，利用几何画板的反射功能即翻转180°来验证是否重合。

实验结论：满足三边对应相等的两个三角形全等。

设计意图：由于“实验一”实际上是一对全等的等腰三角形，有一定的特殊性，“实验二”提供的三角形是一个普通三角形，具有一般性，较之教材提供的活动，本活动把画弧修订为画圆，两个圆有两个交点C１、C２。学生可以通过翻折或同学间比对，发现所画的三角形是全等的，再结合几何画板的验证，给出结论。

板书课题：全等三角形的判定（3）

板书：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

给出图形和说理格式。给出条件的符号语言、图形语言和文字语言的不同表达方式。让学生分清因果关系，发展初步的推理能力，培养学生思考和表达能力。

实验三：三角形的稳定性实物实验

原始设计：

多媒体演示、操作，让学生自带三角形和四边形来操作，在实践中鼓励学生思考：三角形为什么具有稳定性，有什么办法让四边形也具有稳定性？

设计意图：让学生通过探索和思考，在逐步解答问题的过程中建立推理的意识和把四边形转化为三角形的转化思想。

优化后设计：

再次回顾开始给出的照片和“实验一”，指出：如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。这种性质叫做三角形的稳定性。

出示教师自制教具，用扁平的雪糕棒制作的三角形、四边形，连接处用图钉固定。发给每个小组一套雪糕棒制作的三角形和四边形，探索三角形的稳定性和四边形的不稳定性。

设计意图及教学过程回顾：设计三角形的稳定性和四边形的稳定性的教学时，我动了一番脑筋，课前通知学生捡雪糕棒，课上我发给学生图钉，让学生把三根雪糕棒用三个图钉固定成一个三角形（检验三角形的稳定性），用四根雪糕棒和四个图钉固定成一个四角形（检验四边形的不稳定性），然后我提出问题：如何把四边形稳定住呢？学生能够想到加一根木棒（添对角线），把四边形变成两个三角形。我肯定了学生的想法，但是提出了一个要求：只多给一个图钉，请把四边形固定住。其实，四边形之所以不稳定，因为虽然边长确定但角度不能确定，在四边形四条边长确定的前提下，只要固定四边形的一个角（两个图钉可以固定一个角），四边形就确定了。通过分析、讨论、探索和教师的提示，学生基本上明白了操作的数学道理。

结论：稳定性是三角形所特有的，如果三边的长度确定了，那么三个角的度数就随之确定。其他的多边形一般不具有这个性质。

（二）三角形全等条件（ＳＳＳ）的应用

1.出示例题

例１：（1）如图4，若AB=DC，AC=DB，则△ABC与△DCB全等吗？为什么？

（2）AB与DC的交点记为O点，问图中还有三角形全等吗？它们是？如何说明？

（3）△OBC是特殊三角形吗？（等腰三角形）如何说明？

学生讨论，师生共同分析，共同完成解答。

解：△ABC≌△DCB。

因为AB=DC，AC=DB，BC=CB。 根据“SSS”， △ABC≌△DCB。

所以 ∠A=∠D，又∠AOC=∠DOB， AC=DB。

根据“AAS”，△AOC≌△DOB 。

所以OC=OB，所以△OBC是等腰三角形。

设计意图及教学过程回顾：此例由课后的“练一练”改编而来，原题只有第一问，第二、三问是笔者补充的，这样层次性更强。此例还可以充分开发，组成问题串：固定一个三角形，另一个三角形沿着从左向右的方向平移（或从右向左方向平移，进一步探究）；还可以固定一个三角形，把另一个三角形翻转，然后从一个方向向另一个方向平移，进行探索；最后，教师用几何画板拖动一下，充分展示数学味，进行变式训练。

例２：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图5，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB 的平分线。为什么？

２．课堂练习

原始设计：

（1）如图6，点A、C、D、F在同一直线上，AB=FE，BC=ED，AD=FC，试说明△ABC≌△FED。

（2）如图7，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，请你在图中再画1个格点三角形ABC，且使△ABC与△DEF全等。

设计意图：练习1直接利用SSS来判定△ABC与△FED全等；练习2是练习用格点图形确定三角形的边长，进而通过SSS判定三角形全等。

优化后设计：

（1）已知：如图6，点A、C、D、F在同一直线上，AB=FE，BC=ED，要使△ABC≌△FED，可以添加条件_________。

（2）如图7，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，请你在图中再画一个格点三角形ABC，且使△ABC与△DEF全等。你还能找到这样的格点吗？这样的格点共有几个？

设计意图：练习1变原来的单一思考为开放思考，给出两条边对应相等，若使△ABC与△FED全等不仅可以利用SSS来探索，还可以尝试SAS来探索；练习2设计成问题串，引导学生逐步拓展探究，养成良好的探究习惯和数学思考能力。

教学反思

笔者在17年的初中数学教学生涯中有过6次关于三角形全等判定的教学经历，在这次磨课的过程中，依然有很多新体会。在以往的三角形全等的判定中，主要是以自己的讲授为主，在黑板上用作图的方法得到满足三边对应相等的两个三角形全等，之后开始大量的配套练习，学生也能很好地掌握，但是，很少主动参与。

本节课将着眼点放在如何引导学生获得知识、探究知识上。在原有的知识基础上，借助学生已有的经验，让学生动眼观察、动脑思考，让学生动手做——先做后想或先想后做，使学生在“做”中感受和体验，主动获取数学知识，揭示具体“事例”的数学本质，使学生的学习过程充分数学化。同时将过程性评价和形成性评价相结合，注重学生是否积极主动地参与课堂活动，是否能有条理地表达自己的观点，能否自发地综合应用。

为突出重点、突破难点，提高课堂效率。本节课采用启发、引导与学生自主探究相结合，并辅以多媒体演示的教学组织形式。本课设计有三大突出之处，一是充分利用信息技术，结合本节课的特点，准确把握信息技术与数学学科的整合点，利用PPT、几何画板软件制作了CAI课件，对课堂教学的顺利实施具有很好的辅助作用。特别是使用几何画板软件的拖动协助探究，完善学生的探究过程，解释了尺规作图的数学原理。二是充分进行了变式训练，一题多变、一图多动、动静结合，组成问题串，帮助学生理解动态问题，培养其数学探究能力。三是对三角形稳定性及四边形的稳定性的探究，充分挖掘学生身边的素材，调动了学生的积极性，提高了学生学习数学的兴趣。

（作者单位：中国矿业大学附属中学）