数学软件在高等数学教学应用中的一些体会

左占飞

摘要：该文以数学软件Mathematica为例，介绍了它的绘图功能在高等数学教学中的几个应用，说明在高等数学教学中，引入软件的绘图功能进行辅助学习，有利于增强教学内容的直观性，激发学生的学习兴趣，从而提高教学的质量与效率。

关键词：Mathematica软件；高等数学；绘图功能

中图分类号：G424 文献标识码：A文章编号：1009-3044（2012）30-7311-03

随着科学技术的发展，高等数学的思想已经渗透到了各个行业领域，为了给学生奠定坚实的数学基础，几乎所有的高校都将高等数学列为了必修课程。但是教过高等数学的老师都有这样的体会，对于理工科的学生讲授起来并不容易。究其原因，一方面是因为大部分高等数学内容逻辑性强，具有较高的抽象性，内容多而学时相对又少；另一方面是没有把先进的多媒体教学手段和方法引入到课堂中。为此，三峡学院大学数学教研室，结合学校各个院系的情况，对高等数学的内容体系和教学方法以及教学手段进行改革，推动人才培养模式，以适应学校申研工作和教学发展的要求。这次改革中一个重要的环节，就是在数学的教学中加入了数学软件的学习和应用，运用软件的功能增强教学内容的直观性，激发学生的学习兴趣，从而提高教学的质量与效率。这次的教学改革中选取了Mathematica软件做为教学的内容，经过一学期的实践，总结了自己在教学中的一些心得体会和各位老师们分享。

1 Mathematica软件在高等数学教学中的运用

在高等数学教学中，函数的图形描绘是一项比较重要的内容，虽然按照一定的方法可以画出函数的草图，但是对于学生来说直观性还是很差，特别是在学习曲面积分和曲线积分时，经常要画一些复杂的空间图形和空间曲线，用手工作图是相当困难的，有些图形难以直观感知，特征不易观察。利用Mathematica数学软件可很方便地绘制各种图形[2]，帮助学生加深对所学知识的理解。下面给出教学中常用的范例，来说明软件的绘图功能在高等数学教学中的应用。

例1：绘制函数[f（x，y）=2xyx2+y2]在区域[{（x，y）|-1

这道例题是二元函数微积分中常见的一个例题，初学者在极限的判断往往得出错误的结论。究其原因主要是二元函数的极限存在的条件比一元函数严格的多，再加上二元函数的图形是空间曲面，手工作图相当困难，没有直观的图形也给该题的判断增加了难度。而借用Mathematica软件的画图法这个问题就会变得比较简单，只需要在在Mathematica “基本输入工具栏”输入命令：

运行后可得图1和图2，这样就可以借助图形更直观地来观察和研究该函数的性质，有利于培养学生的空间想象能力。从图1可以看出（0，0）是函数的间断点，从图2可以清晰的看出函数在（0，0）附近的等高线是过（0，0）的直线y=kx，这就表明（x，y）沿[y=kx（k≠0）]趋近于（0，0）时，函数趋近于不同的值，因此[f（x，y）]在（0，0）处没有极限。

例2：化三重积分[I=Ωf（x，y，z）dxdydz]为三次积分，其中积分区域[Ω]是由双曲抛物面[z=xy]及平面[x+y-1=0]，[z=0]围成的区域[3]。

分析上述例题，最关键的问题是对积分区域[Ω]有一个直观的认识，才能确定积分的上下限，将三重积分化为三次积分。上述两个曲面中第二个和第三个比较简单，但是第一个双曲抛物面是一个马鞍面，画起来非常复杂，即使我们能把它们的草图画出，两者围成的区域也并不直观，给问题的解决带来了困难。但是用Mathematica软件中的三维作图函数Plot3D，很容易画出上述三个曲面，并给出它们围成的区域。在Mathematica “基本输入工具栏”输入命令g1=Plot3D[x*y，{x，-10，10}，{y，-10，10}]，g2=Plot3D[x+y-1，{x，-10，10}，{y，-10，10}]和g3=Plot3D[0，{x，-10，10}，再输入命令[Show[g1，?g2，g3]]便清楚的看出了三者围成的区域图6。

有了上述直观图加上一些简单的计算讨论，比较容易看出在[x∈[0，1]]和[y∈[0，1-x]]的区域内，z=x*y的取值还是要大于z=0，因此三次积分的上下限便可确定出来，

通过这种方法解决三重积分问题，不但直观而且快捷，学生们反映效果非常好。

例3： 作出直径为2的球面与一个经过球面的一条直径，且半径为1的圆柱面相交的图形C，写出投影柱面方程C和在xoy面上的投影曲线，及二者所围空间区域在xoy面上的投影区域。

上述两个曲面相交的图形C在数学上称为维维安尼曲线，它是以意大利数学家维维安尼的名字命名的，在数学中有着广泛的应用。如果不借用软件，徒手画出上述曲面围成的空间图形会特别的困难，而且得出的草图也不形象直观。而借助于Mathematica 软件能轻松地解决上述问题。在Mathematica中输入下列命令

便得到了维维安尼曲线C和它在xoy面上的投影曲线（图7， 图8）

输入命令

便容易得到两个曲面围成的空间区域（图9）。

通过上面例题的分析研究，我们对于空间曲线的图形，以空间曲线为准线的柱面（即投影柱面）空间曲线的投影，空间曲面所围成的空间图形的投影区域有了一个明确的了解，这为后续内容的学习打下了一个坚实的基础。例如求三重积分[I=Ωf（x，y，z）dxdydz]，其中积分区域[Ω]是图13的区域。借助直观的图形利用例2的方法容易化三重积分[I=Ωf（x，y，z）dxdydz]为三次积分。有了上述的直观图形，我们同样可以求出例 3中球面被圆柱面截下的部分曲面[Σ]的面积，或者维维安尼曲线的弧长。当然学了曲面积分和曲线积分的计算公式，通过直观的图形也容易求出在上述曲面[Σ]和曲线上的积分。

2 结束语

用Mathematica处理高等数学问题是一种比较新颖、直观的教学方法。在日常教学过程中，我们应不断地研究探索，用Mathematica设计制作数学课件，将高等数学概念表现的更准确、更完美、更具体化，提高信息技术与数学教学整合的实效，提高教学的质量与效率。

参考文献：

[1] 郑靖波.将数学软件和数学实验融入微积分教学的实践[J].安徽工业大学学报，2003（1）：82-83.

[2] 王高峡.用Mathematica软件绘制空间图形的方法和技巧[J].重庆工学院学报，2007（7）：17-20.

[3] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006.