数学符号在解题中的“启思”功能

王成营 孙祖万

摘要： 数学问题是以某种符号表征的，数学符号在解题过程中具有三个方面的“启思”作用：联想有关数学知识、寻找可能的解题方法、优化解答过程表征.在数学解题教学中，教师应注意充分发挥数学符号的“启思”功能，让学生能够通过数学符号的相关特征找到解决问题的“钥匙”.

关键词： 数学符号解题过程启思

在当前的数学解题教学中，教师一般都是向学生解释解题过程或向学生呈现多种解法，却很少解释为什么要这样解题，这样解题的依据是什么，老师是怎样想到这种方法的，又是如何想出这么多方法的。如果不解决这些问题，学生只能机械地模仿，在不断地解题训练中去自己领悟、总结.随着新课程改革的实施，许多教师开始注意在解题过程中启发学生的思维，但“启思”的方式主要有三种：通过提问或设问让学生为了回答问题而思考、通过创设问题情境让学生为了解决问题而思考、通过组织数学活动让学生体验到问题而思考.但所有方式的共同点都是让学生理解解题的过程，而不是自己去发现解题方法.那么，有没有引导学生自己寻找解题方法的途径呢？

任何数学问题都是以某种符号表征的，数学符号在解题过程中具有三个方面的“启思”作用：联想有关数学知识、寻找可能的解题方法、优化解答过程表征.在数学解题教学中，教师应注意充分发挥数学符号的“启思”功能，让学生能够通过数学符号的相关特征找到解决问题的“钥匙”.下面通过一个题目的解答过程具体介绍数学符号在解题中的“启思”作用.

例题：已知△ABC的内角A、B、C满足：A+C=2B，+=-，求cos的值.

一、通过分析数学符号的意义联想有关数学知识，为寻找解题方法做好知识准备。

数学符号的种类可以简单地划分为：名称符号、关系符号、运算符号、逻辑符号，而数学符号的主要意义是：表示数量关系；表示公式；解释关系；说明规律；实施运算和推理；借助符号，用于建立数学模型的基础，推测结论等.在解题的过程中要充分发挥它的作用，通过数学符号的意义联想有关数学知识，以便为解题做好知识准备.

结合上面的问题，我们可以从题目的表述中获得哪些数学信息，联想到哪些数学知识呢？首先要明确问题的已知条件和需要求解或求证的结论，从而判定它是一个什么样的问题，属于哪个数学领域的问题.其次，根据已知条件联想它与所学的那些知识相关，能够得出什么结论.最后，根据问题的类型和需要求解或求证的结论联想它通常用什么方法.那么，上面的题目是一道什么类型的问题呢?不难发现，题目中有cosA、cosC、cosB，以及问题是求cos的值，所以它是一道已知三角函数关系式求三角函数值的计算题.这个问题的已知条件有哪些？是否只有A+C=2B与+=-两个数学等式呢？许多学生容易忽略条件“△ABC的内角A、B、C”，事实上这也是一个重要条件.这样，我们共找到三个已知条件：①△ABC的三个内角A、B、C；②A+C=2B；③+=-.由①可联想到④A+B+C=180°；由②式与④式又可得到⑤A+C=2B=120°，从而③式变为⑥+=-2.求三角函数值一般有两种方法：一是代数法，即利用学习过的三角函数关系式从已知三角关系式中推导或求解出所求的三角形函数值，这些三角形函数关系式包括和差公式、差角公式、半角公式、二倍角公式、和差积化公式、积化和差公式等.二是几何法，即利用三角形函数线把三角关系式和三角函数值转化为几何问题求解.

二、通过分析数学符号的结构和特征寻找可能的解题方法。

数学符号具有抽象性、简洁性、一般性等基本特性.因其具有抽象性的特性，在解题时就需要对题目的结构和特征进行详细的解读，一个简单的数学关系式，也许就会成为解题不可缺少的因素.只有在分析清楚了数学符号所要表达的意义，以及题目本身所具有的特征，才能为解题寻找可能的途径和方法.那么，如何选择恰当的公式来解决这个问题呢？

首先，考虑用代数法，通过三角函数公式寻找已知三角关系式与所求三角函数值的关系.（1）根据求解的三角函数的形式特征，由cos可联想到半角公式⑦cos=±，也可以由=-联想到两角和公式⑧cos=cos（-）=cos•cos+sin•sin.根据⑦式，我们需要判定的范围及cos（A-C），反而使问题变得更复杂了.根据⑧式，我们需要求解，的三角形函数值.因为已知条件+=-2可变形为=-2，根据它的形式特征可联想到和化积公式与积化和差公式，而且在结果中会出现cos（所求）与cos（已知），从而得到一个关于cos的方程，从而解决问题.（2）由于A+C=120°表示的是两角之和，若设=α，即A-C=2α，则可解得A=60°+αC=60°-α，代入⑥式中可得到一个关于α的方程，从而解决问题.（3）同理，由于+=-2也具有两数之和的形式，若设-=2m，则可得cosA=cosC=，而A=120°-C，==60°-C，所以只要求解关于角C的方程也可以解决问题.其次，考虑用几何法，可以发现在单位圆中很难将条件与结论都同时用三角函数比表示出来.因此，几何法是不可行的.

三、通过选择恰当的数学符号优化解答过程的表述。

由上可知，对于一道题目，我们可以根据符号的特征，从不同的视角，发现和探索出多种解题技巧和方法，但是不同的解题方法难易程度不同，对思维和能力的要求也不同.有的方法不容易发现，有的解答过程可能很复杂，因此，我们需要对解题方法和解答过程进行选择和优化，选择一种比较简单明了的方法去表述解答过程.通过上面的分析，我们可以得到三种不同的解题方法.

解：因为A，B，C为三角形ABC的三个角，所以A+B+C=180°.又A+C=2B，所以A+C=120°，B=60°，+=-=-2.

解法一：由+==-2得cosA+cosC=-2cosC•cosA.

由和积互化公式得2cos•cos=-［cos（A+C）+cos（A-C）］

由A+C=120°及倍角公式可得4cos+2cos-3=0.

解得cos=或cos=-.

因为＜=90°，所以cos＞0，即cos=.

解法二：设A-C=2α，因为A+C=120°，所以A=60°+αC=60°-α，代入+=-2，得+=-2，化简得=-2，解得cosα=或cosα=-.因为＜=90°，所以cos＞0，即cos=.

解法三：设-=2m，因为+=-2，所以cosA=cosC=.

由=cos（120°-C）=-cosC+sinC=+sinC，得sinC=.

代入基本关系式sinC+cosC=1中得3m-16m-12=0，解得m=6.

cos=cos（60°-C）=cosC+sinC==

另由cosA+cosC=2cos•cos=cos=cosA-cosC=-2sin•=-sin=

得cos=sin=.

代入sin+cos=1整理也可得3m-16m-12=0，解方程得m=6，

将m=6代入cos==.

比较以上方法可以发现，由A+C=2B=120°、+=-2分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练.假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出.这道题目有一定的难度，三种方法说不上哪一种方法更简单，基本取决于解题者应用知识的灵活性和对数学符号的解读视角.

总而言之，数学解题离不开数学符号，在数学解题教学中一定要重视符号感的培养，发展学生的数学语言，提高学生的数学符号识别和应用能力，鼓励学生进制多元联想，拓展学生的创新思维.充分发挥数学符号在数学解道中的“启思”功能，使学生理解各种数学解题方法时能够找到客观的、“有迹可寻”的依据，消除学生对数学的“神秘感”，让学生逐步克服“怕数学”的心理.他们会发现，学习数学其实并没有想象中的那么难.只要善于动脑筋，遇到问题积极思考，养成由提出问题到解决问题的一般思路，充分发挥数学符号的“启思”功能，就能够通过数学符号的相关特征找到解决问题的“金钥匙”.