对2009年版《辞海》“陆家羲”词条的订正

［摘 要］陆家羲是世界闻名的组合数学家,他潜心埋头钻研组合数学26年多,历尽艰辛以毕生心血先后攻克了组合数学界的三大世界难题——柯克曼三元系、柯克曼四元系和不相交斯坦纳三元系大集的存在性问题,并攀登上RBIBD存在性理论研究的新高峰,为组合数学的发展作出卓越贡献,其研究成果“关于不相交Steiner三元系大集的研究”荣获1987年第三届国家自然科学奖一等奖。笔者试图以科学求实和客观专业的态度来订正2009年版《辞海》“陆家羲”词条中的有关内容并阐明了订正的理由。

［关键词］柯克曼女生问题；柯克曼(Kirkman)三元系；柯克曼四元系；斯坦纳(Steiner)三元系；不相交斯坦纳三元系大集；可分解平衡不完全区组设计(RBIBD)

［中图分类号］O 157.2［文献标识码］A［文章编号］1005-6432（2012）32-0108-09

1 引 言

陆家羲是一位笔者早已熟知和仰慕的数学大师,鉴于他在组合数学领域所取得的辉煌成就和崇高地位,笔者1990年3月奋笔给时任《辞海》主编的著名学者夏征农先生(1904.01.31—2008.10.04)写了一封信,强力推荐《辞海》在再版时增收“陆家羲”词条，并自告奋勇地表示可为《辞海》撰写“陆家羲”词条提供一切方便。不久,笔者就收到了上海辞书出版社总编办公室的一封回信：“朱安远同志：您给夏征农主编的信已收悉。您所推荐的陆家羲同志,其事迹确实很动人,但今后是否收入《辞海》,我们将同数学分科主编和有关专家研究后再作决定。十分感谢您对《辞海》的关心和支持。此致敬礼 1990.4.9”。据了解,当时《辞海》数学分科的主编是著名数学家苏步青教授(原名苏尚龙,1902.09.23—2003.03.17),此事在1999年《辞海》再版时落空,但以下书籍(按时间先后排序,据不完全统计,主要是辞典传记类著作)都陆续收录了“陆家羲”词条或有关介绍陆家羲光辉事迹的内容：

（1)1990年5月(第一版)《数学家辞典》第490-491页“陆家羲”词条,邓宗琦主编,武汉：湖北教育出版社出版。

（2)1991年3月(第一版)《中国现代科学家传记》第一集第102-107页《陆家羲》(罗见今),《科学家传记大辞典》编辑组编辑,北京：科学出版社出版,六集本。

（3)1991年3月(第一版)《二十世纪中国名人辞典》第735页“陆家羲”词条,蔡开松、于信凤主编,沈阳：辽宁人民出版社出版。

（4)1992年1月(第一版)《中华当代文化名人大辞典》第705页“陆家羲”词条,张品兴、殷登祥等主编,北京：中国广播电视出版社出版。

（5)1993年2月(第一版)《中华百科要览》第907页“194 陆家羲”词条(吴宏章撰),石泉长总主编,中国数学篇主编郭大文,北京：中国广播电视出版社出版。

(6) 1994年4月(第一版)《世界数学家思想方法》第1978-1992页《陆家羲》(康庆德)，解恩泽、徐本顺主编，济南：山东教育出版社出版。

（7)1995年12月(第一版)《中国现代数学家传》第二卷第480-495页《陆家羲》(刘子愈,系陆家羲妻子的姐夫),数学家程民德(1917.01.24—1998.11.26)主编,南京：江苏教育出版社出版,五卷本。

(8) 1998年11月(第一版)《科学思想丛书：科学的蒙难》第86-97页《中学教师陆家羲攻克世界数学难题的坎坷历程》(辛哲、若水)，解恩泽主编，北京：科学出版社出版。

（9)2000年8月(第一版)《数学史辞典》第90页“陆家羲”词条,杜瑞芝主编,济南：山东教育出版社出版。

（10)2002年8月(第一版)《数学辞海》第六卷第111页“陆家羲”词条,何思谦总编,胡作玄、梅荣照主编,山西教育出版社(太原)、中国科学技术出版社(北京)和东南大学出版社(南京)联合出版,六卷本。

（11)2005年1月(第一版)《人类科学发现发明词典》第89页关于陆家羲所取得的成就描述,葛能全编著,天津：百花文艺出版社出版。

（12)2008年10月(第一版)《光耀中华—改革开放30年科技成就撷英》第29-34页《不相交斯坦纳三元系大集》(李剑撰文),北京：科学普及出版社出版。

以上事实是“陆家羲”词条最终能登上2009年版《辞海》的前奏和基础。多年的夙愿得以实现,这对笔者来说是一件喜不自禁的大好事。

2 组合数学简介

组合数学(又称组合学)是主要研究有限个事物在一定规则下的安排,诸如安排的存在性、计数、构造与最优性等的一门数学分科。组合数学是离散数学的重要组成部分,它与数论是姊妹学科。其起源可追溯到我国公元前河图洛书中的九宫图(又称纵横图、幻方、魔方)。1666年德国数学家莱布尼茨(Gottfried Wilhelm von Leibniz,1646.07.01—1716.11.14)在《论组合术(Dissertatio de arte combinatoria)》一书中首先使用“组合”这一专用术语,自1963年美国数学家赖瑟(Herbert John Ryser,1923.07.28—1985.07.12)的专著《组合数学(Combinatorial Mathematics)》问世以后,组合数学才正式成为现代数学的一个分科。此前,组合分析(combinatorial analysis)、组合论(combinatorial theory)、组合学(combinatorics)和组合数学是通用等价的。组合分析(即经典组合学,主要包括计数理论、组合序理论和布局理论)、组合设计(主要包括正交拉丁方设计和区组设计)和图论(如著名的七桥问题、四色问题和1960年由中国数学家管梅谷首先提出并研究的中国邮递员问题等)是组合数学的三大分支,前两者现常合称为组合论［1］。

19世纪中叶,一些英国数学家开始了关于组合数学方面的早期研究,他们中主要有柯克曼(曾译寇克满、寇克曼、科克曼,Thomas Penyngton Kirkman,1806.03.31—1895.02.03)、伍尔豪斯(Wesley Stoker Barker Woolhouse,1809.05.06-1893.08.12)、西尔维斯特(James Joseph Sylvester,1814.09.03-1897.03.15)、凯莱(Arthur Cayley,1821.08.16-1895.01.26)、斯波蒂斯伍德(William Spottiswoode,1825.01.11-1883.06.27)和安斯蒂斯(Robert Richard Anstice,1813.04.09-1853.12.17)等人。他们之间相互交流,沟通切磋,论文主要发表在伦敦、爱丁堡和都柏林的几种学术刊物上,形成了世界上最早的组合数学学派［2］。

1844年英国数学家伍尔豪斯首先提出B［v,3,1］的区组设计问题［6］,1847年柯克曼首先证明它存在的充要条件是当且仅当v≡1,3(mod 6),其中v≥3［7］,首开此项研究之先河。他们的工作当时并未引起人们的重视,直到1853年瑞士数学家斯坦纳(Jakob Steiner,1796.03.18-1863.04.01)在研究四次曲线的二重切线问题时再次提出B［v,3,1］的存在性问题(斯坦纳只证明了其必要条件,充分条件问题他并未解决)［8］,三元系的问题才引起学者们的注意,因当时信息闭塞,1859年德国数学家赖斯(Michel Reiss,1805.07.23-1869.01.27)又独立地得到了与柯克曼一样的结果［9］,证实了斯坦纳的猜测。因斯坦纳是近代综合几何学的开创者,当时名望较高,赖斯就阴差阳错地将B［v,3,1］命名为“斯坦纳三元系(记作STS(v))”,将B［v,k,1］命名为“斯坦纳系”,B［v,3,λ］则被称为三元系。每个STS(v)的区组数由v(v-1)/6个3-子集组成。斯坦纳三元系是区组设计B［v,k,λ］中最小、最基本和最重要的研究对象。

20世纪80年代以前组合数学组合设计理论中两大举世闻名的成就(即区组设计领域两明珠)是：①正交拉丁方的欧拉方阵猜想不成立：1779年瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707.04.05-1783.09.18)开始对36军官问题进行研究,1782年他首先提出“不存在n=4t+2阶正交拉丁方”的猜想。1958年美国数学家帕克(Ernest Tilden Parker,1926.07.26—1991.12.31)利用群论和有限几何构造出21阶欧拉方阵,受此启发,1959年4月美国科罗拉多大学的印度裔几何学家玻色(Raj Chandra Bose,1901.06.19—1987.10.31,亦是Ray-Chaudhuri的博士研究生导师)及其博士研究生史里克汉德(Sharadchandra Shankar Shrikhande,1917.10.19—)首先成功地构造出两个22阶欧拉方阵［10］(单个方阵是没有意义的！),紧接着帕克利用电子计算机UNIVAC M-460构造出两个10阶欧拉方阵［11］,后两个反例推翻了欧拉方阵猜想。很快玻色和史里克汉德就证明了除n=2,6,14,26以外,对于n≥3的任意n都存在两个正交拉丁方,即欧拉方阵猜想是不成立的。稍后帕克又构造出14阶和26阶欧拉方阵,至此,欧拉方阵猜想只对n=2和n=6(即著名的36军官问题)时成立,其余都是不成立的。1960年他们三人合作在《加拿大数学杂志》正式发表论文,给出了完备的结论［12］。他们的光辉事迹曾荣登1959年4月26日《纽约时报》头版,此事轰动一时并成为科学史上的一段佳话。1977年中国数学家朱烈(1943年2月出生于苏州)对参考文献［12］的结论给出了一个最简洁优美的证明［13］。2005年3月9日在第十四届国际组合数学与应用年会上,苏州大学数学科学学院朱烈教授被授予国际组合数学界的权威大奖——2004年度欧拉奖,他是首获欧拉奖的华人科学家。②1961年以色列犹太数学家哈纳尼(Haim Hanani,1912—1991)证明k=3和4时B［v,k,λ］区组设计存在的充要条件是以下的(2.1)式和(2.2)式成立［14］：

λ(v-1)≡0(mod k-1)(2.1)

λv(v-1)≡0(mod k(k-1))(2.2)

1972年哈纳尼又证明k=5时除B［15,5,2］以外,上述两式对于B［v,k,λ］存在的充要条件也是成立的［15］。当k≥6时,情况变得复杂起来,因满足上述两式的区组设计并不都存在。鉴此,1967年美国数学家霍尔(Marshall Hall，Jr.,1910.09.17—1990.07.04)在其专著《组合论》中退一步地首先提出了如下猜想［16］：对于给定的k,除去有限对(v,λ)以外,上述两式是B［v,k,λ］存在的充要条件。1975年美国数学家威尔逊(Richard Michael Wilson)证明了这个猜想［17］,B［v,k,λ］的存在性问题至此尘埃落定。

一个B［v,k,λ］=(X,B)的区组集B若可分拆为若干个子族,使得每个子族B璱都构成集合X的一个分拆(即平行类),则称其为可分解平衡不完全区组设计RBIBD(resolvable BIBD),记作RB［v,k,λ］。RB［v,k,λ］的一般概念是1942年由玻色首先提出的,他还证明了不等式：b≥v+r-1,当等号成立时,则称其为仿射可分解平衡不完全区组设计,记作ARBIBD(affine RBIBD)［18］。因此类研究始于RB［15,3,1］,可分解的STS(v)就被称为柯克曼三元系,即RB［v,3,1］,记作KTS(v),其平行类个数是r=λ(v-1)/(k-1)=(v-1)/2。每个KTS(v)的区组数由v(v-1)/6个3-子集组成。更为广泛的RB［v,k,1］被称为柯克曼系［19-20］,RB［v,3,λ］则被称为可分解的三元系。

斯坦纳系和柯克曼系的一个重要性质是其相交性,相交性的特例是其交集为零,即不相交(互斥)。用D(v)表示各大集两两不相交的STS(v)或KTS(v)的最大个数,满足D(v)=v-2的v-2个STS(v)或KTS(v)分别称为不相交斯坦纳三元系大集LSTS(v)和不相交柯克曼三元系大集LKTS(v)。

为了避免一些平凡的情形,1961年哈纳尼首先引入了t-设计(transversal design,又称横截设计)的概念［14,21］：v元集X上一些k-子集的子集族B使得X中的任一个t-子集都恰被包含在B的λ个区组中时,称它为一个t-(v,k,λ)设计,记作Sλ(t,k,v),当λ=1时可省略λ不写。Sλ(2,k,v)就是BIBD设计,S(2,3,v)被称为v阶斯坦纳三元系STS(v),S(3,4,v)被称为v阶斯坦纳四元系SQS(v),即B［v,4,1］。若STS(v)的区组集B可分拆为平行类(即区组集中恰构成基集X的分拆的一族区组)的并,则称其为柯克曼三元系KTS(v),类似地可定义柯克曼四元系KQS(v),即RB［v,4,1］。

3 中国最伟大的业余数学家——陆家羲

陆家羲1935年6月10日出生于上海市一个贫苦市民家庭(父亲：陆宝祥，母亲：李月仙),1951年10月作为家中成年独子的他只身离开上海,被招聘到沈阳进入东北电器工业管理局举办的短期统计训练班学习,次年5月结业后被分配到哈尔滨电机厂生产科担任统计工作。以充实提高自己的素质为目的,陆家羲毅然放弃当时已每月64元的高工资(比当时的大学毕业生还高,已属当时的高薪族),于1957年8月在职考入吉林省长春市的东北师范大学(1946年3月创办于本溪,1949年年初定址于长春,1946—1950年称东北大学,1950年4月更名为东北师范大学,1958年10月又更名为吉林师范大学,并从教育部下放归吉林省领导,1978年2月重新划归教育部领导,1980年8月起恢复东北师范大学校名)物理系［22］,当年夏天他偶然阅读到数学家孙泽瀛(1911.09.28—1981.04.24)为中学生创作的课外普及读物《数学方法趣引》,书中深入浅出地介绍了哥尼斯堡七桥问题(哥尼斯堡现为俄罗斯飞地─加里宁格勒)、哈密顿周游世界游戏问题、地图着色问题(即四色问题)、十五棋子排列问题、魔方阵问题、欧拉三十六军官问题、火柴游戏问题和寇克满女生问题共八个世界著名数学难题［23］,他尤其被书中的“寇克满女生问题”所深深吸引并因此而着迷,从此他走上了独自在世界组合数学最前沿研究领域孤军奋战的艰难历程,在没有任何外部支持,长期不被理解,信息闭塞和冷嘲热讽的困苦条件下,他以超人的智慧和顽强执着的拼搏精神攀登上了一座又一座世界组合数学研究的高峰。

1850年英格兰一个教会的教区长和数学家柯克曼在《女士与先生之日记》杂志发表题为“疑问六”的文章,提出了这样一个有趣的问题：15个女学生每天以三人一排共五排的队形外出散步,现要求安排一周七天的队形,使得任意两个人恰有(即有且仅有)一天被安排在同一排。这就是后来广为流传的、经典的柯克曼15女生问题［24］,同年凯莱首先公布了这个问题的局部解［25］,次年柯克曼本人也给出了这个问题的另一个局部解［26］,1862年他还在继续着这方面的研究［27］。柯克曼15女生问题实质上就是KTS(15)的存在性问题,它仅是可分解平衡不完全区组设计的一个特例。至于一般的RB［v,k,λ］设计的存在性问题则常被后人概称为“柯克曼女生问题”。

1861年英国数学家西尔维斯特在柯克曼15女生问题的基础上又进一步地提出：请给出一个13周的散步安排,使得每周的队形方案都满足柯克曼15女生问题中的条件,且任意三个女生在13周恰有一天被安排在同一排。这就是著名的西尔维斯特(女生)问题［28］,它是区组设计大集问题的起源。不难看出,该问题的要求就是将15元集上总计5×7×13个3-子集分拆为彼此没有公共3-子集的13个KTS(15)。在组合设计的术语中,它被称为15阶不相交柯克曼三元系大集,记作LKTS(15),这是区组设计史上的第一个大集。该大集的第一个局部解直到1974年才由美国数学家丹尼斯顿(Ralph Hugh Francis Denniston)借助电子计算机找到［29］,由此可见此类大集问题的难度之大。同年丹尼斯顿还找到了一个3倍递归构造LKTS(3n),其中k≥1［30］。一般地,将西尔维斯特女生问题中的女生数15推广到正整数v：若v元集X的所有3-子集(三元组)可分拆为v-2个族B璱,使得每个(X,B璱)都是一个KTS(v),则称{(X,B璱):1

1850年凯莱证明了最多只有2个彼此不相交的STS(7),亦即不存在LSTS(7)［25］；同年柯克曼给出了LSTS(9)和LKTS(9)的构造［31-32］；1893年西尔维斯特给出了LSTS(3n)的3倍递归构造,这是递归构造法最早的文献之一［33-34］。此后一直到20世纪70年代,LSTS(v)和LKTS(v)的存在性问题几乎毫无进展。20世纪80年代以前,LSTS(v)的存在性结果依旧是零散的,1973年和1975年只分别得到两个重要的递归结果：①若D(v)=v-2(v>2)则D(3v)=3v-2［35］；②若D(v)=v-2(v≥7)则D(2v+1)=2v-1［36］,仍缺乏全面解决方案。

1981年9月18日至1983年3月4日,美国《组合论杂志》编辑部陆续收到来自包九中物理教师陆家羲独自完成的具有自主创新性的论文。1983年第1期3月号(前3篇)和1984年第3期9月号(后3篇)《组合论杂志(A辑)》以极为罕见的100个英文印刷页的篇幅发表了名不见经传的陆家羲以“论不相交斯坦纳三元系大集”为总标题的6篇论文,他独创性地引入5个辅助设计(AD、AD*、AD**、LD、LD*)和3个辅助设计大集(LDA1、LDA2、LDA3),巧妙地引进多种素数因子,精心地设计了一个又一个的递归构造,娴熟地运用了有限域理论、代数数论、正交拉丁方和横截设计(即t-设计)等工具和成果,前后推导出16个引理和29个定理,在前人的基础上［35-37］鬼斧神工般创造性地给出了5个各具特色的递归构造,终于严谨地以简洁优美而和谐的形式得到了不相交斯坦纳三元系大集的存在性定理(现称陆家羲定理)：若v≡1 or 3（mod 6),v>7,且v鼂141,283,501,789,1501,2365},则存在LSTS(v),且D(v)=v-2［38-39］。这个重大突破是具有世界一流水平的原创性成果,它解决了120多年以来(区组设计大集问题始于1861年)的世界性组合数学难题,被誉为20世纪组合数学领域最重大的成就之一,是区组设计领域当之无愧的第三颗明珠,它将被永远载入世界数学史册。顺便指出,在这6个遗留下来的可能例外值中,因283=141×2+1,1501=501×3-2,2365=789×3-2,故实质上的可能例外值只有3个(141、501和789)。1983年7月30日在大连首届全国组合数学学术会议全体会上,陆家羲宣布已明珠在握,他对于这6个例外阶数的大集构造方法已构思成功,即将以第7篇论文的方式正式发表。可惜他动笔不久就猝然离世,在其遗稿中只找到24页提纲和部分结果。1991年美国奥本大学的比利时裔数学家特尔林克(Luc Teirlinck,1952.05.02—)利用陆家羲首创的LD辅助设计工具并证明其具有成对平衡设计PBD(pairwise block design)闭集的性质,从而最终完成了这6个例外阶数大集存在性问题的证明［40］,使陆家羲大集定理臻于完备。这项工作开创了组合设计全面整体解决第一个大集系列的先河,具有里程碑式的重要历史意义。

此外,由于不相交柯克曼三元系大集LKTS(v)的存在性问题是高难度的,世界各国数学家经多方努力迄今也只取得一些零散的结果,距离完全解决仍相去甚远。

正如1905年被称为爱因斯坦奇迹年一样,1983年是名副其实的陆家羲悲喜交加年［41］(实际上只有10个月)：3月其前3篇论文顺利在国际组合数学界权威刊物《组合论杂志(A辑)》上发表(5月他收到样刊50本),这是他生前唯一一次正式公开发表学术论文,陆家羲终于得到了国内外专家和学者的高度认可和赞赏!此时他内心的喜悦和激动之情是不言而喻的；商调到大学(当时他已心仪广州的华南师范大学)的多年夙愿正在落实并在国际友人的推动下取得新进展；美国《数学评论(Mathematical Reviews)》(1940年创刊,美国数学会编辑出版)主管编辑阿门达立斯来函邀请他担任该刊评论员；忽然间他变得忙碌起来了,7～10月间因频繁参加国内的学术活动,其足迹已踏遍大连、合肥、上海、武汉和北京等地。只可惜,幸福对他来说是太短暂了,由于长期的超负荷运转和压抑太久,他生命的琴弦在10月底戛然崩断了。在这里要特别提及发现并赏识陆家羲的两位中外伯乐：中国的伯乐是第一个承认陆家羲论文的科学价值(慧眼识珠!)并建议他将论文投稿于《组合论杂志》的苏州大学组合数学家朱烈教授；外国的伯乐是陆家羲论文的审稿人、加拿大多伦多大学国际组合数学权威埃里克?门德尔逊(Eric Mendelsohn)教授。埃里克?门德尔逊是组合数学大师内森?索尔?门德尔逊(Nathan Saul Mendelsohn，1917.04.14—2006.07.04)的长子,他子承父业,父子均供职于多伦多大学。Mendelsohn三元系大集LMTS(v)就是以内森?索尔?门德尔逊的名字命名的。

正如某些组合数学专家所评论的那样：陆家羲与陈景润(1933.05.22—1996.03.19)主攻的都是世界著名的数学难题,显示了中华民族的数学智慧。陈景润在前人确定了主攻方向,顽强攀登,终于世界领先而逼近巅峰。而陆家羲则不然,他是100多年来别人在摸索前进、路径尚未选好的情况下,独辟蹊径并独占鳌头的。从纯粹的数学观点来看,陆家羲所取得的数学成就是超越陈景润的［42］。其主要论据有二：①陆家羲关于不相交Steiner三元系大集的研究几乎是全面整体解决方案,何况他对柯克曼三元系、柯克曼四元系和RBIBD存在性理论的研究亦作出过重大贡献,他所独创的研究方法对其后续研究者产生了积极的影响［43-45］,陆家羲的突破研究掀起了世界组合数学界对组合设计大集问题的研究高潮并取得一系列的新进展［46-50］。陈景润对哥德巴赫(Christian Goldbach,1690.03.18-1764.11.20)猜想的研究只是渐近式解决方案,他所取得的(1+2)的成果离数论皇冠上的明珠(1+1)还有一步之遥；②2006年9月美籍华裔数学大师丘成桐(1949.04.04—)在一次接受《南方人物周刊》专访时认为陈景润主要是基于当时的历史条件和大环境被媒体捧红的,在数学史上他还算不上是一位伟大的数学家［51］。即使是各自的逸事,说句轻松俏皮的话：陆老师沉思问题时骑着自行车在包九中校园内直杵杵地撞向联合器械的铸铁架与“陈景润撞树”的佳话也可相提媲美,并不“逊色”［52-53］。

1971年由美国俄亥俄州立大学的印度裔数学家雷-乔得赫里(Dwijendra Kumar Ray-Chaudhuri,1933.11.01—)及其博士研究生威尔逊(美国人)首先证明柯克曼三元系KTS(v)存在的充要条件是当且仅当v≡3(mod 6),其中v≥3［54］,找到了其完整解。1972年哈纳尼与他们合作证得柯克曼四元系RB［v,4,1］存在的充要条件是当且仅当v≡0(mod 4)和v≡1(mod 3),其中v≥3［55］。1974年哈纳尼又独立证得RB［v,3,2］除v=6以外,它存在的充要条件是以下的(3.1)式和(3.2)式［56］：

v≡0(mod k)(3.1)

λ(v-1)≡0(mod k-1)(3.2)

与研究B［v,k,λ］时相似,当k≥5时,即使限定λ=1,也有虽满足上述两式但相应的RB［v,k,λ］却不存在的例子。为此人们提出了与B［v,k,λ］类似的退一步的猜想：对于给定的k,除去有限个v以外,上述两式是RB［v,k,1］存在的充要条件。1973年雷-乔得赫里和威尔逊证明了这个猜想［57］,RB［v,k,1］的存在性问题至此得以完全解决。

关于雷-乔得赫里和威尔逊何时完成柯克曼三元系KTS(v)存在性问题的完整解有必要在此做出澄清：1968年3月21～22日由美国数学会组织在加利福尼亚大学洛杉矶分校召开的《纯粹数学》讨论会会议录报道了此问题的解决,但正式论文则是1971年发表于《组合学(Combinatorics)》杂志［54］,从而形成1968年说［58-60］和1971年说［61］两种观点,显然后者更为科学。此澄清可消除内蒙古师范大学数学史专家罗见今(1942年1月出生于重庆)教授在其专著《科克曼女生问题》［2］第106页中留下的疑惑。

实际上,早在1961年(12月30日将《寇克满系列和斯坦纳系列的制作方法》寄往中国科学院数学研究所请求予以审核,1963年2月21日他收到复信,未提出实质性意见,建议让他自己去核实论文的结论并可向专业数学刊物投稿),最迟在1965年(3月14日将《平衡不完全区组与可分解平衡不完全区组的构造方法》投稿于《数学学报》,该篇论文新增了有关柯克曼四元系的内容,次年2月7日他收到评论为“没有价值”的退稿信)陆家羲就取得了柯克曼三元系RB［v,3,1］和柯克曼四元系RB［v,4,1］的优先发现权［2,62-64］,但遗憾的是未能正式发表。最难能可贵的是他并未因此停下脚步来埋怨命运多舛和社会的不公,而是重新扬起理想的风帆,继续追寻着更高层次的数学之美,向着更多更高的组合数学高峰连续发起冲击。中国数学界的权威刊物《数学学报》于1984年7月第4期发表了陆家羲的一篇遗作《可分解平衡不完全区组设计的存在性理论》(编辑部1979年8月14日收到第一稿,1983年9月21日收到最后修改稿,这是陆家羲在国内唯一一次正式公开发表的学术论文),他得到如下结论：对于给定的的k和λ,除去有限个v以外,RB［v,k,λ］存在的充要条件是(3.1)式和(3.2)式成立［65］。陆家羲的这一研究成果在国内外组合数学界再次获得高度评价(其价值不亚于陆家羲大集定理),认为这一结果是整个区组设计理论中带有基础性的一个重要成果,在国际上亦处于领先地位,其重要性和历史意义非同凡响。

关于RB［v,k,λ］的存在性问题,至此人们自然要猜测,是否存在一个与B［v,k,λ］类似的更强的结论,那就是：对于给定的k,除去有限对(v,λ)以外,(3.1)式和(3.2)式是RB［v,k,λ］存在的充要条件。迄今这一猜想仍未得到证实,陆家羲的结论依然是RBIBD存在性理论中最好和最齐整的结果［66］。

1983年10月,陆家羲作为唯一被破例特邀的中学教师代表参加了在武汉举行的中国数学会第四次全国代表大会,数学家吴文俊(与世界“杂交水稻之父”袁隆平(1930.09.01—)一起荣获2000年首届国家最高科学技术奖)接替华罗庚出任中国数学会第四届理事长,大会充分肯定了陆家羲所取得的突出成就,表彰了他矢志图强、勇攀科学高峰的奋斗精神。会后他匆忙间于10月30日下午6时许回到包头医学院(其夫人张淑琴是该院副教授)职工家属区的家中,但他因长期在极其艰苦的条件下单枪匹马地在组合设计领域顽强拼搏,终于积劳成疾,因突发心肌梗死于次日凌晨1时许溘然长逝于包头市的家中［67-68］。死神比桂冠更快地悄然降临于他,中断了学者们对他更高的期望,痛哉!惜哉!!

1984年9月11日至15日,内蒙古自治区科委和包头市科委委托内蒙古自治区数学会邀请国内组合数学专家和教授,在呼和浩特市召开了“陆家羲学术工作评审会议”,大会专家充分肯定了其论文的学术意义和历史价值。同年10月31日,在陆家羲逝世一周年之际,内蒙古自治区党委和人民政府在包头市青山区第一工人文化宫会堂召开了“向优秀知识分子陆家羲同志学习表彰大会”,追授他为中学“特级教师”并颁发5000元特别奖金给其家属［69］(此前他逝世后不久包头市委和市政府已颁发2000元特别科学奖金给其家属)。1985年12月26日,内蒙古自治区首届科技进步奖颁奖大会在呼和浩特市举行,陆家羲和内蒙古大学的世界“试管山羊(羔羊)之父”旭日干(蒙古族,又名满仓,1940.08.24-,1995年当选为中国工程院院士,现任中国工程院副院长)分享全区仅有的两个科技进步奖特等奖。包头市第九中学陆家羲以“关于不相交Steiner三元系大集的研究”获得1987年第三届国家自然科学奖一等奖的殊荣［70］。1988年8月,根据国内外学者的倡议,在安徽黄山市屯溪区召开了以纪念陆家羲先生为主旨的“区组设计国际会议”,中国数学会委托内蒙古数学会组织有关专家编辑出版《陆家羲遗文集》(1990年英文版,内蒙古人民出版社)［62］,以志永久纪念。

4 对2009年版《辞海》“陆家羲”词条的订正及说明

2009年版《辞海》“陆家羲”词条的原文(详见彩图本第1452页)是：

陆家羲(1935—1983)，中国数学家。上海市人。东北师范大学毕业。曾在内蒙古自治区的一些学校任教,后任包头第九中学物理教师。1965年给出“柯克曼15女生问题”的证明,但未能发表。1979年基本上完成了“斯坦纳三元系”的研究。1983年在国际性的《组合论杂志》上陆续发表“论不相交斯坦纳三元系大集”等3篇论文,解决了世界性难题。1987年获国家自然科学一等奖。

笔者十分遗憾地发现,上述“陆家羲”词条的撰写很不理想,它既不专业也不严谨,漏洞不少,缺乏权威性和严肃性,甚至有误导读者之嫌。在词条内容稍做扩充的情况下,笔者订正后的结果是：

陆家羲(1935—1983)，中国数学家。上海市人。1961年毕业于吉林师范大学(今东北师范大学)物理系,曾在内蒙古自治区包头市的一些学校任教,后任包头市第九中学物理教师。1965年首先给出“柯克曼(Kirkman)三元系和四元系存在性问题”的证明,但未能正式发表。1979年基本上完成了“不相交斯坦纳(Steiner)三元系大集”的研究。1983—1984年在国际性的《组合论杂志(A辑)》上陆续发表以“论不相交斯坦纳三元系大集”为总标题的6篇论文,解决了世界性组合数学难题,首开整体解决大集存在性问题之先河。1984年在中国《数学学报》第4期发表遗作《可分解平衡不完全区组设计的存在性理论》,取得迄今仍是可分解平衡不完全区组设计(RBIBD)存在性理论中最好和最齐整的结果。其研究成果“关于不相交Steiner三元系大集的研究”1987年获国家自然科学奖一等奖。

笔者现对上述订正部分依次阐明理由如下：

（1)今东北师范大学在1958年10月至1980年8月期间的正式名称是吉林师范大学,标明“物理系”则便于与陆家羲后来的中学物理教师身份相呼应。2006年东北师范大学在60周年校庆时将陆家羲列为其知名校友,并在校史陈列馆专门长期增设陆家羲展室。

（2)1961年9月陆家羲大学毕业后被分配到包头钢铁学院(2003年起已更名为内蒙古科技大学)工作,1962年初夏包头钢院在高校调整时下马后,他调到包头市教育局教研室任职,其后他先后在包八中、包五中、包二十四中(1965—1973)和包九中(1973—1983)任物理课教师,直至逝世陆老师的工作单位从未离开过包头市。包头市第九中学(简称包九中)是其正式名称,它创建于1957年,1959年被内蒙古自治区教育厅命名为自治区重点中学,其知名校友有顾秉林(中国科学院院士、第三世界科学院院士和瑞典皇家工程科学院外籍院士,原清华大学校长)、李全生(原天津大学党委副书记和天津工业大学党委书记)、赵文源(湖北省人大常委会副主任)和邢锋(深圳大学副校长)等。1979—1981年笔者在包九中念高中,陆家羲当时就是我们高二、(2)班的物理课教师。包九中校园内图书教学楼前现已矗立着一尊陆家羲老师的雕像。

（3)柯克曼15女生问题(1850年)在其提出后不久就分别由凯莱(1850年)和柯克曼本人(1851年)予以解决(找到其局部解),它仅是将陆家羲引入组合设计研究前沿的一个向导。抽象扩展后的柯克曼女生问题实质上就是RB［v,k,λ］区组设计的存在性问题,陆家羲取得了其最好研究结果,但其完全解迄今仍未解决。柯克曼三元系和柯克曼四元系的存在性问题是陆家羲最迟于1965年完全解决的,但未能正式发表。外国人名以标注出英文或原文较好,因中文翻译可能有多种版本,易于混淆。

（4)斯坦纳三元系STS(v)的存在性问题早就由柯克曼(1847年)和赖斯(1859年)分别独立解决,1979年10月陆家羲基本上完成了“不相交斯坦纳三元系大集”(即LSTS(V))存在性问题的研究。

（5)《组合论杂志(Journal of Combinatorial Theory)》创刊于1966年,编辑部现设在美国加利福尼亚州的圣迭戈市(编辑部曾设在加利福尼亚大学洛杉矶分校数学系),原由美国学术出版公司(Academic Press，Inc.,该公司已于2001年被荷兰Reed Elsevier出版集团所收购)出版,世界组合数学界的权威刊物,稿件面向世界各地,原每年出版8期,自1971年(第10卷)起分为A、B两辑,现均为双月刊,A辑(Series A)主要刊载组合论的结构、设计和应用方面的研究论文,B辑(Series B)主要刊载有关图论和拟阵论方面的研究论文。以《组合论杂志》创刊为标志,在国际上掀起了组合数学研究的新高潮。《辞海》“陆家羲”词条原文在对陆家羲发表论文方面的描述存在很严重的错漏,甚至很容易误导读者,很有必要在再版时加以纠正。

（6)中国国家科技奖现包括五大类：国家最高科学技术奖(始评于2000年)、国家自然科学奖(始评于1956年,第一届称中国科学院科学奖,1982年第二届时更为现名)、国家技术发明奖(始评于2000年)、国家科学技术进步奖和国际科技合作奖(始评于1995年),五项大奖现每年颁发一次,其中中间三项是以项目名义申报的,其余两项则是以个人名义申报的。国家自然科学奖一等奖主要用于奖励国际认可的重大原创性成果,其含金量很高,迄今共颁发21届,只授予一等奖32项(其中2项未公开,30项中数学就独占6项,份额很重),其中有11届的一等奖空缺,由此可见一等奖的评选标准是相当严格的,其评选态度是很慎重的,宁缺毋滥。独自获得国家自然科学奖一等奖者共8人,他们依次是：数学家华罗庚(1910.11.12—1985.06.12)、数学家吴文俊(1919.05.12—)、空气动力学家钱学森(1911.12.11—2009.10.31)、数学家廖山涛(1920.01.04—1997.06.06)、数学家陆家羲、计算机科学家与软件工程专家唐稚松(1925.09.24—2008.07.21)、植物学家秦仁昌(1898.02.15—1986.07.22)和香港大学化学家支志明(1957.09.07—),另有生物化学家与科学技术史专家李约瑟等(英国剑桥大学李约瑟研究所)以及数学家冯康等(中国科学院计算数学与科学工程计算研究所)。获得国家自然科学奖一等奖时已故的第一完成人共6位,他们依次是：地质学家李四光(原名李仲揆,字仲拱,1889.10.26—1971.04.29)、建筑学家梁思成(1901.04.20—1972.01.09)、陆家羲、秦仁昌、冯康(1920.09.09—1993.08.17)和植物学家钱崇澍(字雨农,1883.11.11—1965.12.28)。陆家羲以“关于不相交Steiner三元系大集的研究”独自荣获1987年第三届国家自然科学奖一等奖,《辞海》中的“陆家羲”词条理应列明其获奖项目全称,以示其权威性和严肃性。

（7)陆家羲的一生是短暂而艰辛的,他热切地追求真理,坚持不懈地常年遨游于数学王国,在组合数学区组设计方面作出了四大历史性贡献：首先完成柯克曼三元系RB［v,3,1］存在性问题的证明、首先完成柯克曼四元系RB［v,4,1］存在性问题的证明、首先完成不相交斯坦纳三元系大集存在性问题的证明、取得RBIBD存在性理论中迄今最好和最齐整的结果,尤其是他的第四项研究成果亦具有世界先进水平,且随着时间的推移正日益凸显出其历史价值和地位,在2019年《辞海》再版时很有必要提及一下他的这项杰出成就。

5 结束语

限于篇幅和笔者的专业理解能力,本文对组合设计的评述基本上不涉及后陆家羲时代的研究和新进展。陆家羲老师毕生辛勤耕耘,长期受到不公正对待,生前默默无闻、地位卑微,他仅以中学物理教师且没有任何职称和头衔的身份就独自获得当时我国自然科学界的最高荣誉——国家自然科学奖一等奖,他创造的这一奇迹是对“前无古人,后无来者”的最好诠释。陆家羲老师踏实的工作作风和现实社会的浮躁情绪形成了鲜明的对照。他若不是英年早逝,20世纪90年代以前就当选为中国科学院院士应该是顺理成章、实至名归的事,因为迄今为止国家自然科学奖已公开的29项一等奖获得者(除陆家羲以外)中,无一例外地都是由中国科学院院士(含外籍院士)领衔或组织参与。

笔者撰写此文的主要目的是希望此事能引起《辞海》数学分科主编的关注,在2019年《辞海》再版时能予以订正。谨以此文献给为组合数学事业无私地奉献终生的陆家羲老师,并以此文纪念我所尊敬的陆家羲老师逝世29周年。

参考文献：

［1］ 刘绍学,朱元森.数学辞海(第二卷)［M］. 北京：中国科学技术出版社，2002.

［2］ 罗见今.世界数学名题欣赏丛书：科克曼女生问题［M］. 沈阳：辽宁教育出版社，1990.

［3］ Yates F..Complex experiments（with discussion)［J］. Journal of Royal Statistical Society，Supplement（fore-runner of Series B)，1935(2):181-247.

［4］ Fisher R.A.，Yates F..Statistical tables for biological，agricultural and medical research［M］. Edinburgh：Oliver and Boyd，1938.

［5］ Fisher R.A..An examination of the different possible solutions of a problem in incomplete blocks［J］. Annals of Eugenics，1940,10(1):52-75.

［6］ Woolhouse W.S.B..Prize question No.1733［J］. Lady餾 and Gentleman餾 Diary，1844.

［7］ Kirkman T.P..On a problem in combinations［J］. Cambridge and Dublin Mathematics Journal，1847(2):191-204.

［8］ Steiner J..Combinatorische Aufgabe［J］. Journal für die Reine und angewandte Mathematik（Crelle餾 Journal)，1853(45):181-182.

［9］ Reiss M..aber eine Steinersche combinatorische Aufgabe［J］. welche in 45sten Bande dieses Journals，Seite 181，gestellt worden ist，Journal für die Reine und angewandte Mathematik（Crelle餾 Journal)，1859(56):326-344.

［10］ Bose R.C.，Shrikhande S.S..On the falsity of Euler餾 conjecture about the non-existence of two orthogonal Latin squares of order 4t+2［J］. Proceedings of the National Academy of Science of the U.S.A.，1959,45(5):734-737.

［11］ Parker E.T..Orthogonal Latin squares［J］. Proceedings of the National Academy of Science of the U.S.A.，1959,45(6):859-862.

［12］ Bose R.C.，Shrikhande S.S.，Parker E.T..Further results on the construction of mutually orthogonal Latin squares and the falsity of Euler餾 conjecture［J］. Canadian Journal of Mathematics，1960,12(1):189–203.See also the account written by Martin Gardner in his Mathematical Games column in the Scientific American（November,1959).

［13］ 朱烈.构作正交拉丁方的和复合方法［J］. 应用数学学报，1977(2):56-61.

［14］ Hanani H..The existence and construction of balanced in complete block designs［J］. The Annals of Mathematical Statistics，1961,32(2):361-386.

［15］ Hanani H..On balanced incomplete block designs with blocks having five elements［J］. Journal of Combinatorial Theory，Series A，1972,12(2):184-201.

［16］ Hall M.Jr..Combinatorial theory［M］. Waltham，Mass.：Blaisdell Publishing Company，1967.

［17］ Wilson R.M..An existence theory for pairwise balanced designs，III：Proof of the existence conjectures［J］. Journal of Combinatorial Theory，Series A，1975,18(1):71-79.

［18］ Bose R.C..An affine analogue of Singer餾 theorem［J］. Journal of the Indian Mathematical Society（N.S.)，1942（6）:1-15.

［19］ 康庆德.斯坦纳和柯克曼三元系及大集问题［J］. 自然杂志，1985,8(6):459-465.

［20］ 黄光明.斯坦纳二重奏——斯坦纳系和斯坦纳树［J］. 数学传播季刊(台湾)，1986,10(1):2-8.

［21］ 罗见今.Steiner系若干课题研究的历史回顾——陆家羲学术工作背景概述［J］. 数学进展，1986,15(2):175-184.

［22］ 张奠宙,王春萍,张建国.走向科学的明天丛书：组合数学方兴未艾［M］. 南宁：广西教育出版社，1999.

［23］ 孙泽瀛.数学方法趣引［M］. 北京：中国科学图书仪器公司，1953.

［24］ Kirkman T.P..Query VI［J］. Lady餾 and Gentleman餾 Diary，1850,NO.147:48.

［25］ Cayley A..On the triadic arrangements of seven and fifteen things［J］. London，Edinburgh and Dublin Philos.Mag.and J.Sci.，1850,37(247):50-53(Collected Mathematical Papers I：481-484).

［26］ Kirkman T.P..Solution to query VI［J］. Lady餾 and Gentleman餾 Diary，1851,NO.148：48.

［27］ Kirkman T.P..On the puzzle of the fifteen young ladies［J］. London，Edinburgh and Dublin Philos.Mag.and J.Sci.，1862,23(153):198-204.

［28］ Sylvester J.J..Remark on the tactic of nine elements［J］. London，Edinburgh and Dublin Philos.Mag.and J.Sci.，1861,22(4):144-147.

［29］ Denniston R.H.F..Sylvester餾 problem of the 15 schoolgirls［J］. Discrete Mathematics，1974,9(3):229-233.

［30］ Denniston R.H.F..Double resolvability of some complete 3-designs［J］. Manuscripta Math.，1974,12(2):105-112.

［31］ Kirkman T.P..Note on an unanswered prize question［J］. Cambridge and Dublin Mathematics Journal，1850（5）∶255-262.

［32］ 康庆德.组合设计的大集［J］. 数学进展，2003,32(3):269-284.

［33］ Sylvester J.J..Note on a nine schoolgirls problem［J］. Messenger of Math.，1893,22(2):159-160.

［34］ Moore E.H..Concerning triple systems［J］. Mathematische Annalen，1893,43(2):271-285.

［35］ Teirlinck L..On the maximum number of disjoint Steiner triple systems［J］. Discrete Mathematics，1973,6(3):299-300.

［36］ Rosa A..A theorem on the maximum number of disjoint Steiner triple systems［J］. Journal of Combinatorial Theory，Series A，1975,18(3):305-312.

［37］ Quiring D..A construction of disjoint Steiner triple systems［J］. Journal of Combinatorial Theory，Series A，1979,27(1):407-408.

［38］ Lu Jiaxi.On large sets of disjoint Steiner triple systems I-III［J］. Journal of Combinatorial Theory，Series A，1983,34(1):140-182.

［39］ Lu Jiaxi.On large sets of disjoint Steiner triple systems IV-VI［J］. Journal of Combinatorial Theory，Series A，1984,37(3):136-192.

［40］ Teirlinck L..A completion of Lu餾 determination of the spectrum for large sets of disjoint Steiner triple systems［J］. Journal of Combinatorial Theory，Series A，1991,57(2):302-305.

［41］（张）湘霖.家羲,你走得太早了［J］. 报告文学，1985(3):28-35.

［42］ 冯泽君,汪受训.一位数学奇才的坎坷人生——记撷取世界数学皇冠明珠的陆家羲［J］. 名人传记，2003,19(2):34-39.

［43］ 康庆德.LD设计的一个递归构造［J］. 应用数学学报，1987,10(4):481-490.

［44］ 雷建国.关于LD成杓频囊桓龅莨槎ɡ恚跩］. 河北师范大学学报(自然科学版)，1991,15(1):20-23.

［45］ 常彦勋,康庆德,雷建国.LD和LD成杓频拇嬖谛裕跩］. 应用数学学报，1991,14(4):565-567.

［46］ 雷建国.关于柯克曼三元系的大集［D］. 石家庄：河北师范大学博士学位论文，2002.

［47］ 周君灵.组合设计的大集［D］. 北京：北京交通大学博士学位论文，2006.

［48］ 袁兰党.可分解三元系的大集和超大集［D］. 石家庄：河北师范大学博士学位论文，2007.

［49］ 康庆德.陆家羲与组合设计大集［J］. 高等数学研究，2008,11(1):8-17.

［50］ 罗见今.陆家羲对组合设计的贡献［J］. 内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)，2010,39(1):99-108.

［51］ 丘成桐：陈景润绝对不是伟大的,是媒体报道成功的［J/OL］. http://news.china.com/zh_cn/domestic/945/20060912/13619148.html，2006-09-12.

［52］ 张廓.生命的塑像——为数学家陆家羲(1935—1983)而作(报告文学)［N］. 人民日报，1984.11.02(第八版).

［53］ 兰碧红(朱安远之笔名).数学的魅力［N］. 自动化院报，1991.12.20(第四版).

［54］ Ray-Chaudhuri D.K.，Wilson R.M..Solution of Kirkman餾 schoolgirl problem［A］. In：Combinatorics（Proceedings of the Symposium in Pure Mathematics，University of California，Los Angeles，CA，Mar.21-22，1968)［C］.American Mathematical Society（Providence，RI)，1971(19)∶187-204.

［55］ Hanani H.，Ray-Chaudhuri D.K.，Wilson R.M..On resolvable designs［J］. Discrete Mathematics，1972,3(4):343-357.

［56］ Hanani H..On resolvable balanced incomplete block designs［J］. Journal of Combinatorial Theory，Series A，1974,17(3):275-289.

［57］ Ray-Chaudhuri D.K.，Wilson R.M..The existence of resolvable block designs［J］. A Survey of Combinatorial Theory（Ed.by J.N.Srivastava et al.)，North Holland Publishing Company，Amsterdam，1973,Chap.30∶361-375.

［58］ Ray-Chaudhuri D.K..Recent developments on combinatorial designs［A］. In：Actes du Congrès International des Mathématiciens（Nice，1970)［C］.Paris：Gauthier-Villars，1971(3)∶223-227.

［59］ Brylawski T..Combinatorial theory，Encyclopedia of Science & Technology［M］. New York，NY.：McGraw-Hill Book Co.，1977，4th ed..

［60］ Kurtas et al..Method and coding apparatus using low density parity check codes for data storage or data transmission［P］. US 7,000,168 B2，2006.02.14.

［61］ Richard Anthony Brualdi.Introductory combinatorics［M］. New York，NY.：Elsevier North-Holland，Inc.，1977.

［62］ Zhu Lie(朱烈)，Wu Lisheng(吴利生)，Kang Qingde(康庆德).Collected works of Lu Jiaxi on combinatorial designs［M］. Huhhot：Inner Mongolia People餾 Press，1990.

［63］ 纪念著名组合数学家陆家羲同志(专辑)［N］. 内蒙古日报，1984.08.09(第四版).

［64］ 刘子愈.陆家羲与寇克曼系列［N］. 内蒙古日报，1984.11.08(第四版).

［65］ 陆家羲.可分解平衡不完全区组设计的存在性理论［J］. 数学学报，1984,27(4):458-468.

［66］ 吴利生.关于S(2,3,v)的大集和RBIB的存在性问题——我国组合数学工作者陆家羲同志的贡献［J］. 数学研究与评论，1984,4(1):151-154.

［67］ 吴金,韩国忠,曾宪东.一颗数学之星的升起和陨落——关于中年数学家陆家羲同志献身科学事业的调查报告［J］. 内蒙古社会科学(汉文版)，1984(1):1-8.

［68］ 新华社呼和浩特电讯.拼搏二十多年,耗尽毕生心血——中学教师陆家羲攻克世界数学难题“斯坦纳系列”［N］. 人民日报，1983.12.21(第三版).

［69］ 自治区特别奖获得者陆家羲同志介绍［N］. 内蒙古日报，1984.10.31(第二版).

［70］ 一九八七年国家自然科学奖获奖项目［N］. 人民日报，1988.03.18(第三版).

［作者简介］ 朱安远(1964—),男,湖南邵东人,工学学士,高级工程师,高级销售经理,现任北京金自天正智能控制股份有限公司市场营销部副部长兼华东区区域经理,研究方向：工业自动化(尤其是冶金自动化三电系统)领域的市场营销和应用、低压交直流变流器及其电流过载能力指标,业余爱好：数学。