如何用轴对称求最短距离

魏禄山

摘 要：如何解决用轴对称就最短距离，可以从三个方面来解决：第一，已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点；第二，折线段长的最值问题，可以通过多次轴对称变换，利用两点之间线段最短求最值；第三，在已知直线上寻找与异侧两点距离之差最小的点。文章从这三个方面进行了举例说明。

关键词：轴对称；线段；最短距离

在研究几条线段长之和（差）的最小或最大值时，常常需要把这些线段集中到一起，然后将其与某条长度固定的线段进行比较。把其中的部分特殊点进行恰当的轴对称变换，是实现这一目标的有效手段，现举例说明。

一、为了在已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点，可通过轴对称变换，把同侧两点转化为异侧两点，再利用“三角形任意两边之和大于第三边”来确定

例1 如图1，牧童在A处放牧，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC、BD， 且A处到河岸CD中点的距离为500m。

（1）如牧童从A处将马牵到河边饮水后再回家，试问：在何处饮水，所走路程最短？

（2）最短的路程是多少？

解析：这个问题可简述为已知直线CD和直线CD同侧的两点A、B，在直线CD上求一点M，使AM+MB 最小。

（1）如图2，先作点A关于直线CD的对称点A1 ，再连接A1B、A1B交CD于点M，则点M为所求的点。证明如下：

在CD上任取一点M1 ，连接 A1M1、AM1 、BM1 、AM。

∵点A、 A1 关于直线CD对称，点M、 M，在CD上，

∴AM=A1M1，AM1=A1M1。

∴AM+BM=A1M+BM=A1B≤A1M1+BM1=AM1+BM1。

AM+BM最小。

（2）由（1）知，A1C=AC=BD，

∴△A1CM?劾△BDM(AAS)，∴ A1M=BM=AM,CM=DM。

故M为CD中点，且最短路程为A1B=2AM=1000m。

二、在涉及折线段长的最值问题的，一般是通过多次轴对称变换，利用两点之间线段最短求最值。

例2 如图3，牧童家在A处。现在牧童要先带马到河边（图中用直线a表示）饮水，再到草地（图中用直线b表示）吃草，然后回家。问：牧童让马在何处饮水、吃草，所走的总路程最短？

解析：设点B、点C分别是马饮水、吃草处，本题即是要求线段长之和AB+BC+CA的最小值。我们通常需要把它和固定线段相比较。可通过轴对称变换，把这些线段放在同一直线上，利用两点之间线段最短来解决。

如图4所示，分别作点A关于直线a的对称点A'，点A关于直线b的对称点A''。连接A'A''。A'A''交直线a于点B，交直线b于点C，则AB+BC+CA=A'B+BC+CA''＝A'A''。而对其他地点B'、C'，也都可以同样转化为A'B'+B'C'+C'A''，即为A"、A''两点间的折线段的长。根据“两点之间线段最短”得知，线段A'A''最短，点B、C即为所求。

三、为了在已知直线上寻找与异侧两点距离之差最小的点，可通过轴对称变换，把异侧两点转化为同侧两点，利用“三角形任意两边之差小于第三边”来确定

例3 如图5，已知直线l和位于直线l异侧的两点A、B。其中点A到直线l的距离大于点B到直线l的距离。求作直线l上一点C，使AC-BC 最大。

解析：如图6，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'。延长AB' 交直线l于点C，则AC-BC=AC-B'C=AB'。而对l上任意点C'，AC'-BC'=AC'-B'C' 。根据“三角形任意两边之差小于第三边”，知AC'-B'C'≤AB'，即AC'-BC'≤AC-BC ，点C即为所求。

参考文献：

[1]李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京:高等教育出版社,

1995.

[2]刘书妹.巧用轴对称——帮你找到最短距离[J].初中全科导

学,2011(6).

（通渭县花兰寺学校）