带电粒子在复合场的运动类型

高文平

一、复合场中的极值问题

例1如图1，第四象限内有互相正交的匀强电场[E=]0.5×103V/m與匀强磁场[B1=]0.5T. 在第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场[B2]，磁场的下边界与[x]轴重合．一质量[m＝]1×10-14kg、电荷量[q＝]1×10-10C的带正电微粒以某一速度[v]沿与[y]轴正方向60°从[M]点沿直线运动，经[P]点即进入处于第一象限内的磁场[B2]区域．一段时间后，小球经过[y]轴上的[N]点并与[y]轴正方向成60°的方向飞出．[M]点的坐标为(0，-10)，[N]点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，[g]取10m/s2．

图1

（1）判断匀强电场[E]的方向，并求微粒的运动速度[v]；

（2）匀强磁场[B2]的大小为多大？

（3）磁场区域[B2]的最小面积为多少？

解析（1）由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受洛伦兹力和电场力，且做直线运动.因速度的变化会引起洛伦兹力的变化，微粒必做匀速直线运动．这样，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，电场[E]的方向与微粒运动的方向垂直，即与[y]轴负方向成30°角斜向下．

由力的平衡，有[qE＝qvB1]

得[v＝EB1=0.5×1030.5=]103m/s

（2）画出微粒的运动轨迹，将[P]点速度的延长线及[D]点速度反向延长线相交于[E]点，可知性[△MEN]为等边三角形，[P]为[ME]中点，[NP]为中垂线，如图2.

图2

由几何关系，知微粒在第一象限内做圆周运动的半径[O1P=13NP]=[R=315m]

微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，有

[qB2v=mv2R]

解得[B2=32]T

（3）由图可知，匀强磁场[B2]的最小区域应该分布在矩形[PACD]内．由几何关系，有

[PD=2Rsin60°=0.2m]

[PA=R(1-cos60°)=330m]

所求磁场的最小面积

[S=PD⋅PA=15×330=3150m2]

点拨由于带电粒子在复合场中的受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等为突破口，挖掘隐含条件，并根据临界条件列出辅助方程，再与其它方程联立求解．此外特别要注意规范作图.

二、复合场中的对称性问题

例2如图3，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场.左侧匀强电场场强为[E]，方向水平向右，电场宽度为[L]；中间和右侧区域匀强磁场的磁感应强度均为[B]，方向垂直纸面向里.一个质量为[m]、电量为[q]、不计重力的带正电粒子从电场的左边缘的[O]点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到[O]点，然后重复上述运动过程. 求：

图3

（1）中间磁场区域的宽度[d]；

（2）带电粒子从[O]点开始运动到第一次回到[O]点所用的时间[t].

解析（1）带电粒子在电场中加速，设以速度[v]进入磁场，由动能定理，有

[qEL=12mv2]

在磁场中偏转，由牛顿第二定律，有[Bqv=mv2R]

由以上两式，得[R=1B2mELq]

粒子在两磁场区运动半径相同，如图4. 三段圆弧的圆心组成的三角形[△O1O2O3]是等边三角形，边长为[2R]. 则中间磁场区域的宽度为

[d=Rsin600=12B6mELq]

图4

（2）粒子在电场中运动的时间

[t1=2va=2mvqE=22mLqE]

在中间磁场运动的时间[t2=T3=2πm3qB]

在右侧磁场运动的时间[t3=56T=5πm3qB]

则粒子第一次回到O点所用的时间为

[t=t1+t2+t3=22mLqE+7πm3qB]

点拨先分清几个过程——粒子在电场中做匀加速直线运动，进入中间磁场后偏转，再进入右边磁场反向偏转，又进入中间磁场偏转，再返回电场回到起点. 依次画出轨迹图，依据对称性可证明，三段圆弧的圆心组成了一个正三角形，则各段圆弧的圆心角确定.

三、复合场中的周期性问题

例3如图5甲，竖直挡板[MN]的左侧空间有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度[E＝]40N/C，磁感应强度[B]随时间[t]变化的关系图象如图5乙，选定磁场垂直纸面向里为正方向．在[t＝]0时刻，一质量[m＝]8×10－4kg、带电荷量[q＝]+2×10－4C的微粒在[O]点具有竖直向下的速度[v＝]0.12m/s，[O′]是挡板[MN]上一点，直线[OO′]与挡板[MN]垂直，取[g＝]10m/s2．求：

[甲乙]

图5

（1）微粒下一次经过直线[OO′]时到[O]点的距离；

（2）微粒在运动过程中离开直线[OO′]的最大距离；

（3）水平移动挡板，使微粒能垂直射到挡板上，挡板与[O]点间的距离应满足什么条件．

解析（1）微粒所受重力[G＝mg＝]8×10-3N

电场力[F＝Eq＝]8×10-3N

重力与电场力平衡，则微粒先在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，有

[qvB＝mv2R ]

解得[R＝mvqB＝0.6 m]

由[T＝2πRv]，解得[T＝10πs]

则微粒在5πs内转过半个圆周，再次经直线[OO′]时与[O]点的距离[l＝2R＝1.2m]

（2）微粒运动半周后向上匀速运动，运动的时间[t＝]5πs，轨迹如图6．

图6

位移大小[x＝vt＝]0.6πm=1.88m

微粒离开直线[OO′]的最大距离[h＝x＋R＝]2.48m

（3）若微粒能垂直射到挡板上的某点[P]，[P]点在直线[OO′]下方时，挡板[MN]与[O]点间的距离应满足

[L＝(4n＋1)×0.6m(n＝0,1,2…) ]

若微粒能垂直射到挡板上的某点[P，P]点在直线[OO′]上方时，挡板[MN]与[O]点间的距离应满足

[L＝(4n＋3)×0.6m (n＝0,1,2…) ]

点拨解决复合场中的问题，与力学中的问题类似，也可以依据动力学观点或动量能量观点．注意受力分析和运动分析要结合起来，粒子的电性、重力是否考虑，粒子作直线、曲线、圆周运动的条件也要清楚.

四、复合场中的数理结合问题

例4如图7，在坐标系[xOy]的第一象限中存在沿[y]轴正方向的匀强电场，场强为[E]. 在其它象限中存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里. [A]是[y]轴上的一点，它到坐标原点[O]的距离为[h]；[C]是[x]轴上的一点，到[O]的距离为[l].一质量为[m]、电荷量为[q]的带负电的粒子以某一初速度沿[x]轴方向从[A]点进入电场区域，继而通过[C]点进入磁场区域，并再次通过[A]点，此时速度方向与[y]轴正方向成锐角. 不计重力作用，求：

（1）粒子经过[C]点速度的大小和方向；

（2）磁感应强度的大小[B].

图7

解析（1） 以[a]表示粒子在电场作用下做类平抛运动的加速度，有[qE＝ma]，加速度沿[y]轴负方向

设粒子从[A]点进入电场时的初速度为[v0]，由[A]点运动到[C]点经历的时间为[t]，有[x=v0t=ly=12at2=h]

由以上几式，得[v0=la2h]

设粒子从[C]点进入磁场时的速度为[v]，[v]垂直于[x]轴的分量，有[vx=v0vy=at=2ah]

综合得到[v=v2x+v2y=qE(4h2+l2)2mh]

如图8，画出粒子运行轨迹. 设粒子经过[C]点时的速度方向与[x]轴的夹角为[α]，有

[tanα=vyvx=][hl2=2hl]

则[α=arctan2hl]

图8

（2）粒子经过[C]点进入磁场后在磁场中做速率为[v]的圆周运动.若圆周的半径为[R]，有[qvB=mv2R]

设圆心为[P]，则[PC]必与过[C]点的速度垂直，且有[PC][=PA=P]，用[β]表示[PA] 与[y]轴的夹角，由几何关系，有[Rcosβ＝Rcosα＋hRsinβ＝l－Rsinα]

解得[R=h2+l22hl4h2+l2B=1h2+l22mhEq]

点拨电场中的类平抛运动和磁场中的匀速圆周运动是复合场中的常见运动形式，求解中常用到数学方法，对几何作图和运算能力要求较高. 带电粒子在复合场中的运动问题，难在受力情况和运动性质的判断．要做好以下三点：①分析受力；②掌握不同场对粒子作用的特点；③分析运动过程，发掘隐含条件，建立物理情景，把物理模型转化为数学表达式．